随机条件下看涨期权价格的高阶近似

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英文标题：
《Higher order approximation of call option prices under stochastic
  volatility models》
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作者：
Archil Gulisashvili, Ra\\\'ul Merino, Marc Lagunas and Josep Vives
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the present paper, a decomposition formula for the call price due to Al\\`{o}s is transformed into a Taylor type formula containing an infinite series with stochastic terms. The new decomposition may be considered as an alternative to the decomposition of the call price found in a recent paper of Al\\`{o}s, Gatheral and Radoi\\v{c}i\\\'{c}. We use the new decomposition to obtain various approximations to the call price in the Heston model with sharper estimates of the error term than in the previously known approximations. One of the formulas obtained in the present paper has five significant terms and an error estimate of the form $O(\\nu^{3}(\\left|\\rho\\right|+\\nu))$, where $\\nu$ is the vol-vol parameter, and $\\rho$ is the correlation coefficient between the price and the volatility in the Heston model. Another approximation formula contains seven more terms and the error estimate is of the form $O(\\nu^4(1+|\\rho|)$. For the uncorrelated Hestom model ($\\rho=0$), we obtain a formula with four significant terms and an error estimate $O(\\nu^6)$. Numerical experiments show that the new approximations to the call price perform especially well in the high volatility mode.
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中文摘要：
本文将Al`{o}s引起的买入价分解公式转化为含有随机项的无穷级数的Taylor型公式。新的分解可以被认为是Al`{o}s、Gatheral和Radoi\\v{c}i\\{c}最近的一篇论文中发现的买入价分解的替代方法。我们使用新的分解来获得赫斯顿模型中买入价格的各种近似值，与之前已知的近似值相比，误差项的估计值更精确。本文得到的其中一个公式有五个有效项，误差估计形式为$O（\\ nu ^{3}（\\ left | \\ rho \\ right |+\\ nu））$，其中$\\ nu$是vol-vol参数，$\\ rho$是赫斯顿模型中价格与波动率之间的相关系数。另一个近似公式包含七个以上的项，误差估计的形式为$O（\\nu^4（1+）\\rho |）$。对于不相关的Hestom模型（$\\rho=0$），我们得到了一个包含四个有效项的公式和一个错误估计值$O（\\nu^6）$。数值实验表明，新的看涨期权价格近似方法在高波动模式下表现得尤其好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Higher_order_approximation_of_call_option_prices_under_stochastic_volatility_models.pdf (362.4 KB)

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关键词：Applications Quantitative composition Computation significant

随机波动率模型下看涨期权价格的高阶近似。Archil Gulisashvili、Raúl Merino2,3、Marc Lagunas和JosepVives俄亥俄大学数学系，俄亥俄州雅典市，邮编：45701。巴塞罗纳大学马蒂克学院，Gran Via585，08007 Barcelona，SpainVidaCaixa S.A.，投资风险管理部，C/Juan Gris，2-8，08014 Barcelona，西班牙。挪威奥斯陆大学数学系，邮政信箱1053Blindern，0316奥斯陆。2019年5月16日摘要本文将一个因阿尔萨斯而产生的买入价格分解公式转换为一个包含随机项的有限序列的泰勒型公式。新的分解可被视为对最近Alòs、Gatheral和Radoici'c论文中发现的买入价分解的替代。我们使用新的分解得到了赫斯顿模型中的各种买入价格近似值，其误差项的估计值比以前已知的近似值更为精确。本文中获得的其中一个公式为五个重要术语和形式O的误差估计（ν（|ρ|+ν）），其中ν是体积参数，ρ是赫斯顿模型中p-rice和波动性之间的相关系数。另一个近似公式包含七个以上的项，误差估计的形式为O（ν（1+|ρ|）。对于不相关的Hestom模型（ρ=0），我们得到了一个包含四个重要项的公式和误差估计O（ν）。数值实验表明，新的买入价格近似值在高波动率模型中表现得特别好。为了解释恒定波动率假设中的各种不利因素，引入了chastic波动率模型简介，这是cele-brated BlackScholes模型的基础。

最流行的随机波动率模型之一。作者感谢扬·波西尔的有益讨论。是赫斯顿模型，由赫斯顿（1993）开发。有关股票波动率模型的更多信息，请参见Gatheral（2006）。本文推导了Heston模型中callprice的s-harp近似公式。这些高阶近似改进了先前已知的近似。在Alòs（2006）和Alòs（2012）中，分别使用Malliavin calculus和It^ocalculus发现了Heston模型中c all期权价格的特殊分解。这两种分解之间的主要区别在于，前一种分解使用未来方差的平均值，而后一种分解基于这种平均值的条件期望。请注意，由未来方差的条件期望组成的随机过程是一个适应过程，而真实平均值的过程是一个激励过程。在Alòs（20 12）中，获得了赫斯顿模型中买入价格的一个带有一般误差项的近似公式。Alòs et a l.（2015）对该误差项进行了量化，结果表明误差项的形式为O（ν（|ρ|+ν））。在前面的表达式中，ν是体积-体积参数，ρ是赫斯顿模型中的相关系数。然而，在上述近似公式中，忽略了一些ν阶项，而保留了其他相同阶项。这可能被认为是Alòs等人（2015）得出的近似公式中的adrawback。在其他早期作品中，我们想提及Merino和Vives（2015）的论文，其中Alòs（2012）中获得的扩展扩展扩展到了一般的离散型随机波动模型。此外，在Merino等人。

（2018），获得了一般随机波动率模型的对数价格过程平滑函数的一般分解公式，以及现场活动跳跃有限的模型中的看涨期权的分解公式。本文递归使用Mer ino等人（2018）中的定理3.1，以近似alòs（2012）中通过一系列有限的随机项得到的确切买入价格分解。新扩展中的前两个术语与Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中的相同。此外，我们的结果与Alòs e t Al.（2018）中获得的结果一致，但呈现和获得的方式不同。在Heston模型的情况下，我们使用新的通用近似公式，在上述扩展中添加两个更重要的项，以获得形式为O的误差（ν（|ρ|+ν））（见定理4.1），以及七个更重要的项，以获得误差估计O（ν（1+|ρ|））（见定理4.2）。在零相关的特殊情况下，我们推导了一个具有四项的近似公式，误差为O（ν）阶。接下来，我们将简要描述论文的结构。在第2节中，我们提供了初步信息，并讨论了本文中使用的符号。在第3节中，我们建立了一个通用的分解公式，并展示了如何递归使用它来获得看涨期权价格的高阶近似公式。在第4节中，我们得到了赫斯顿模型中买入价格的两个新的近似公式（见定理4.1和4.2）。这些公式中的误差估计分别为O（ν（|ρ|+ν））和O（ν（1+|ρ|））。我们还推导了zer O correlationcase的O（ν）阶公式的近似值（见推论4.3）。在第5小节中，我们提供并讨论了一些数值结果。

最终结论见第6.2节序言和注释。设T>0为时间范围，W和fw为完全概率空间上定义的两个独立布朗运动(Ohm, F、 P）。由FW和FFW分别表示W和FW生成的过滤。设置Ft：=FWt∨ F▄重量，t∈ [0，T]。考虑一个随机波动率模型，其中资产价格过程S={St，t∈ 满足随机微分方程DST=rStdt+σtStρdWt+p1- ρdWt, （1） 其中r≥ 0是利率，ρ∈ (-1, 1). 波动率过程σ是一个平方可积过程，适用于W生成的过滤，并且假设过程σ的路径为严格正的P-a.s。可以认为P是一个无风险的度量，即贴现资产价格过程sst 7→ e-rtSt，t∈ [0，T]是鞅。该过程的初始条件将由s>0表示。我们将主要处理原木价格过程Xt=原木St，t∈ [0，T]。它满足方程式dxt=r-σtdt+σtρdWt+p1- ρdWt, （2） 初始条件由x=log s给出。本文将使用以下符号：oEt：=E（·| Ft）。oBlack-Scholes函数将用（BS）表示。由（BS）（t，x，y）=exΦ（d+）给出- Ke公司-rτΦ（d-),式中，τ=T- t是成熟时间，y是恒定波动率，Kis是短期价格，r是利率，Φ表示标准正态律的累积分布函数。符号d+和d-代表以下功能：d±=x- ln K+（r±y）τy√τ.o Black-Scholes模型中的看涨期权价格由VT=e给出-r（T-t） Et[（外部- K） +]。o众所周知，函数（BS）满足Black-Scholes方程（BS）（t，x，y）=0，其中：=t+ytx个+r-年初至今x个- r

（3） o本文将使用以下不同运算符：∧：=x、 Γ：=x个- x个, 和Γ=Γo Γ.o 给定两个连续的半鞅X和Y，我们定义了[X，Y]t：=Et“ZTtσud[X，Y]u#和d[X，Y]t：=Et“ZTtd[X，Y]u#，其中过程s u 7→ [X，Y]u，u∈ [0，T]是过程X和Y的二次协变量。3一般扩展公式已知，如果随机波动率模型中的波动率过程独立于资产价格过程（此类模型被称为不相关），则以下公式适用于欧式看涨期权：Vt=Et[（BS）（t，Xt，(R)σt）]。（4） 这里的符号‘σ（t）代表‘σt：=t’定义的未来平均方差- tZTtσsds。（4）中的等式称为赫尔-怀特公式（见Fouque et al.（2000），第5-1页）。对于相关模型，即ρ6=0的模型，存在赫尔-怀特公式的一般化（例如，见Fouque et al.（2000）中的公式（2.31））。然而，公式的后者比（4）中的公式要复杂得多。Alòs（2006）提出了推广赫尔-怀特公式的另一种方法。Alòs（2006）中使用的思想是获得随机变量VT的展开式，其前导项等于Et[（BS）（t，Xt，(R)σt）]，并使用Malliavin演算技术获得额外项。在Alòs（2012）中，发现了一个类似的公式，其中前导项包含未来方差的自适应投影，即数量vt：=Et（(R)σt）=t- tZTtEt[σs]ds，而不是未来方差|Μσ。。前面的重新标记说明了从预期过程转换的一个重要步骤7→ 非预期（调整）工艺t 7→ vt.Alòs（2012）在赫斯顿模型的情况下进一步阐述了这一想法，该模型得出了一个船体白色型公式，其前导项等于（BS）（t，Xt，vt）和两个以上的项（见下文定理3.1）。

在Merino和Vives（2015）中，后一种看涨期权价格扩展被推广到任何随机波动率模型。让我们定义=ZETσsds。不难看出以下等式成立：dvt=T- t型dMt公司+及物动词- σtdt公司.根据Alòs定理3.1（BS展开公式），下一个断言包含上述分解公式。每t∈ [0，T]，Vt=（BS）（T，Xt，Vt）+ρEt“ZTte-r（u-t） ∧Γ（BS）（u，Xu，vu）σud[W，M]u#+Et“ZTte-r（u-t） Γ（BS）（u，Xu，vu）d[M，M]u#=（BS）（t，Xt，vt）+（I）+（II）。（5） 我们需要Merino等人（2018）的以下声明。定理3.2（公式的一般展开）。让Bt，t∈ [0，T]，是关于过滤FW的连续半鞅，设a（T，x，y）是C1,2,2（[0，T]×[0，∞) × [0, ∞)) 函数，并让VT和Mtbe如上所述。那么，对于每个人来说∈ [0，T]，以太-r（T-t） A（t，XT，vT）BTi=A（t，XT，vT）Bt+Et“ZTte-r（u-t）yA（u、Xu、vu）但是- uvu公司- σudu#+Et“ZTte-r（u-t） A（u、Xu、vu）dBu#+Et“ZTte-r（u-t）x个- x个A（u、Xu、vu）Buσu- vu公司du#+Et“ZTte-r（u-t）yA（u，Xu，vu）Bu（T- u） d[M，M]u#+ρEt“ZTte-r（u-t）x、 yA（u、Xu、vu）BuσuT- ud[W，M]u#+ρEt“ZTte-r（u-t）xA（u，Xu，vu）σud[W，B]u#+Et“ZTte-r（u-t）yA（u、Xu、vu）T- ud【M，B】u#。下面的陈述可以从定理3.2中推导出来。推论3.3。假设函数At：=A（t，Xt，vt），t∈ [0，T]，满足Black-Scholes方程（3），B适用于过滤FW。然后，对于每个t∈ [0，T]，e-r（T-t） Et【ATBT】=ATBT+ρEt“ZTte-r（u-t） ∧∧ΓAuBuσud[W，M]u#+Et“ZTte-r（u-t） ΓAuBud[M，M]u#+ρEt“ZTte-r（u-t） ∧Auσud[W，B]u#+Et“ZTte-r（u-t） ΓAud[M，B]u#+Et“ZTte-r（u-t） AudBu#。备注3.4。定理3.1源自推论3.3和B≡ 1和At=（BS）（t、Xt、vt）。备注3.5。为了简短起见，本文将使用以下符号：（BS）t：=（BS）（t，Xt，vt），t∈ [0，T]。公式（5）中的（I）和（II）项不容易评估。

因此，找到（I）和（II）的简单近似值并估计误差项非常重要。接下来，我们将解释如何获得呼叫价格Vt的最终扩展，在下一节中，将在赫斯顿模型的情况下获得Vt的高阶近似值。构建Vtis最终扩展的起点是（5）中的公式。在Alòs（2012）中，推论3.3适用于（5）中的等式。仅保留了扩展中的两个主要术语Alòs（2012），而忽略了其余术语。本文使用的主要思想是对每个新术语应用推论3.3，得到一个包含随机术语的有限序列。通过选择在近似公式中保留哪些项以及丢弃哪些项，可以控制近似误差。上述过程导致Vt的以下扩展：Vt=（BS）t+∧Γ（BS）tρL[W，M]t+∧Γ（BS）tρL[W，M]t+ Γ（BS）tD【M，M】t+Γ（BS）tD【M，M】t+ ∧Γ（BS）tρL[W，M]tD【M，M】t+ . . . （6） 备注3.6。在Alòs et Al.（2018）中，VTI的精确表示是在迭代积分林中给出的，也称为菱形。本节中发现的认购价格的扩大相当于inAlòs等人（2018）获得的价格。4赫斯顿模型中的买入价近似值赫斯顿模型中的对数价格过程X满足以下随机微分方程系统：dXt=r-σtdt+σtρdWt+p1- ρdfWtdσt=κθ - σtdt+νqσtdWt。在这里，过程σ模拟了资产价格的随机变化，θ>0是长期平均方差水平，κ>0是σt与平均θ的比值，ν>0是波动参数的波动率，r≥ 0是利率。波动过程σ和对数价格过程X的初始条件将分别表示为σ>0和X。

在本文的其余部分，我们将假设Feller条件n 2κθ≥ ν（非命中条件）满足。在本节中，第3节中建立的一般结果用于获得赫斯顿模型中买入价格的新近似公式。我们的结果推广并验证了Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中获得的近似公式，提供了认购价格小体积渐近展开的更多条件。此外，我们公式中的误差项的阶数比Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中出现的o（ν（|ρ|+ν））形式的误差项的阶数更高。这些结果的证明将在下一小节中给出。我们从一个断言开始，该断言提供了orderO（ν（|ρ|+ν））的近似值。定理4.1（二阶近似公式）。每t∈ [0，T]，Vt=（BS）（T，Xt，Vt）+Γ（BS）（T，Xt，Vt）D【M，M】t+ ∧Γ（BS）（t、Xt、vt）ρL[W，M]t+∧Γ（BS）（t、Xt、vt）ρL[W，M]t+ ρ∧Γ（BS）（t，Xt，vt）L[W，ρL[W，M]]t+t，其中是满足| t的误差项≤ ν|ρ| + |ρ|+ νr∧（T- t）π（κ，θ）和∏（κ，θ）是一个正常数，取决于κ和θ。下一个断言包含一个近似公式，其误差项的形式为O（ν（1+|ρ|）。定理4.2（三阶近似公式）。每t∈ [0，T]，Vt=（BS）T+∧Γ（BS）TρL[W，M]t+∧Γ（BS）tρL[W，M]t+∧Γ（BS）tρL[W，M]t+ ∧Γ（BS）tρL[W，M]tD【M，M】t+ ρ∧Γ（BS）tL[W，ρL[W，M]]t+ρ∧Γ（BS）tL[W，D[M，M]]t+λΓ（BS）tD[M，ρL[W，M]]u+ρ∧Γ（BS）tρL[W，M]]t+ρ∧Γ（BS）tL[W，ρL[W，M]]t+ρL（BS）tD【M，M】t+ t.其中是满足| t |的误差项≤ ν1 + ρ1 + ρ+ |ρ|ν1 + ρr∧ （T- t）π（κ，θ）和∏（κ，θ）是一个正常数，取决于κ和θ。对于不相关的Hes-ton模型，我们得到了类似的fewerterms展开式和更好的误差估计。推论4.3。

如果ρ=0，则Vt=（BS）t+Γ（BS）tD【M，M】t+Γ（BS）tD【M，M】t+Γ（BS）tD[M，D[M，M]]t+t其中是满足| t |的误差项≤ νr∧ （T- t）π（κ，θ）和∏（κ，θ）是正常数，取决于κ和θ。备注4.4。对于贝茨模型，也可以获得与上述赫斯顿模型中公式类似的买入价格近似值（有关贝茨模型中买入价格近似值的更多信息，请参见Merino et al.（2018））。5数值结果在本节中，我们比较了Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中提出的买入价格近似公式与本文中获得的新近似公式的性能。为了简化符号，我们将Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中获得的公式称为误差阶为O（ν）的公式，而本文中获得的两个公式将分别称为误差阶为O（ν）和O（ν）的公式（见定理4.1和4.2）。我们还对零相关情况进行了类似的比较。在这里，我们将fo公式与Alòs（2012）和Alòs et Al.（2015）中建立的erro r order O（ν）进行比较，并将新公式与本文中发现的order O（ν）进行了误差比较（见推论4.3）。作为基准价格，我们选择使用基于傅立叶变换的定价公式获得的买入价格。这是股票波动率模型下欧洲期权定价的标准方法之一。特别是，我们使用一个带有一个数值积分的s e mi闭式解作为参考价格（见Mrázek和Pospísil（2017））。