压力冲击应该有多大？

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英文标题：
《How big should a Stress Shock be?》
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作者：
David G Maher
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Stress shocks are often calculated as multiples of the standard deviation of a history set. This paper investigates how many standard deviations are required to guarantee that this shock exceeds any observation within the history set, given the additional constraint of kurtosis. The results of this analysis are then used to validate the shocks produced by some stress test models, in particular that of Brace-Lauer-Rado. A secondary application of our results is to investigate three known extensions of Chebyshev\'s Inequality where the kurtosis is known. It is found that our results give a tighter bound than the well-known inequalities.
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中文摘要：
应力冲击通常计算为历史数据集标准偏差的倍数。本文研究了在峭度的附加约束下，需要多少标准差才能保证该冲击超过历史集内的任何观测值。然后，使用该分析的结果来验证一些应力测试模型产生的冲击，尤其是支撑Lauer-Rado产生的冲击。我们结果的第二个应用是研究切比雪夫不等式的三个已知扩展，其中峰度已知。我们发现，我们的结果给出了一个比已知不等式更紧的界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：Quantitative Applications inequalities Application Measurement

压力冲击应该有多大？David G.Maher*2019年5月27日抽象应力冲击通常计算为历史数据集标准偏差的倍数。本文研究了在峭度的附加约束下，需要多少标准差才能保证这次冲击超过历史数据集内的任何观测值。然后，利用该分析的结果来验证一些应力测试模型产生的冲击，特别是布莱斯·劳尔·拉多的应力测试模型。我们的结果的第二个应用是研究切比雪夫不等式的三个已知张力，其中峰度是已知的。我们发现，我们的结果给出了一个比众所周知的等式更严格的界。关键词：应力模型验证、峰度、切比雪夫不等式。1简介确定应力冲击大小的常用方法是将风险因素的每日标准偏差σ乘以k。σ通常根据适当长度N的每日速率变化历史集进行校准。倍数k有时被称为尾部因子。这可以通过累积分布函数的倒数来计算。例如，如果收益率按正态分布建模，则百万分之一日冲击的尾部系数将为4.75。压力模型很少发布，因为1）它们是专有的，2）没有这样的监管要求。因此，据我们所知*DavidGMaher@yahoo.com.auis没有关于这些模型的性能或验证的文献。事实上，压力模型不能有效地进行回溯测试，因为它们的设计是为了产生足够大的冲击，从而不会有回溯测试例外。以下压力模型已传达给作者：o几家银行假设回报遵循低自由度的学生t分布（c.f.[5]）。

例如，3个自由度（分布具有有限方差的最低自由度）产生的总因子为103.3。历史记录集的长度因银行而异一家澳大利亚银行使用尾部系数7，对流动性较低的资产增加额外的附加系数。用于校准的历史记录集是2年的VaRhistory集。o一家加拿大银行和一家澳大利亚银行使用了布雷克·劳尔·拉多（Brace Lauer Rado）[3]的应力模型，该模型主要由给定的峰度值来参数化，以产生尾部因子。这些银行的历史记录长度各不相同。本文研究了以下问题：给定大小为kσ的应力冲击，我们能否确保该冲击超过历史数据中观察到的任何冲击？毕竟，如果在过去一两年中发现冲击比衍生的应力冲击大，那么这将有效地使应力模型失效。本文解决这个问题的方法是扩展Samuelson[8]的结果（另见[4]及其参考文献）。萨缪尔森（Samuelson）证明，没有哪个价值比√N- 1通过检查端点示例，其中一个观察值等于1，剩余N，与平均值的偏差- 1观测值设置为零。本文的主要结果是对这种端点分布的峰度施加条件（第2节），然后应用这些条件来验证上述应力测试模型，尤其是支撑Lauer-Rado的应力测试模型（第3节）。这是一种新颖的方法，可以认为是第一种通过错误测试分析压力模型的方法。按照萨缪尔森（Samuelson）[8]的概述，我们然后使用这个端点分布来检验切比雪夫不等式的三个扩展，其中峰度是已知的。这些是具有偶数阶高阶矩的切比雪夫不等式、泽伦不等式【11】和巴特查里亚不等式【2】的一个版本。

与萨缪尔森的结果类似，我们给出了切比雪夫不等式在有限情形下的三个已知扩展的更紧界。2将峰度纳入塞缪尔森分布[8]，塞缪尔森证明，没有任何一个值可以超过√N- 1与平均值的偏差。这是通过构造一个有限点分布来实现的，其中一个观测值等于1，剩下的N- 1观测值设置为零。作为资产价格极端波动的模型，这种分布是不现实的。这将相当于市场永远不会波动，除非10000天内有一天出现大幅跃升（甚至更多），我们对波动性的估计完全是由跃升的规模决定的。事实上，资产价格确实在变动，波动性也在不断变化和聚集，而且跳跃幅度也越来越小。为了将这些特性纳入萨缪尔森分布，我们将对峰度进行限制。专注于峰度是验证应力模型的理想选择，因为它不会对分布强加任何其他假设，只不过是分布重尾程度的一般度量。因此，让我们考虑具有低峰度的分布，再加上一个异常值。点位于±1处的双峰分布（峰度为1）是明显的候选分布。对于固定的峰度值，该分布使（X-\'\'X）/σ较大。严格证明峰度固定值的分布使（X）的值最大化-‘X）/σ是一个复杂的优化问题，类似于[8]中提出的问题。

为了确定此分布无法改进，将其与附录中的其他三个分布进行了比较：两者均未产生更大的（X）值-？X）/σ比双模。但除此之外-“X）/σ对任何分布选择都没有太大影响，因此我们对峰度的选择是一个很好的限制，因为它允许资产价格移动，并且以不同的方式移动，除了一次大的冲击外，还会对波动性产生一些影响。因此，套用【8】：当分布受到峰度限制时，一个人会有多大的偏差？考虑具有一个极值点的双峰分布，我们称之为ΦN：ΦN=（X，X，X，X，X，…，XN）=（a，b，-bb-b） 对于a，b和c进行归一化，使得E（X）=0，E（X）=1，andE（X）=κ。因此，a是偏离平均值的最大可能标准偏差数。我们证明如下：命题1。假设N≥ 5是奇数。值a=a（N，κ）由a=a（N，κ）=VuT给出-N- 1N+1+sN- 1N+1- G（N，κ），其中G（N，κ）=N（N- 1)- （N）- 1） κ（N+1）（N- 3） 此外，a~ [N（κ- 1） ]1/4对于大N.证明：假设非正态分布的平均值为。为了简化计算，假设N是奇数。

从每个观测值中减去y，X除外，给定se（X）=NNXi=1Xi=aN+N- 12牛顿(-b-ay）+N- 12N（b-ay）=aN-N- 1N。是的=> y=N- 1从第二个力矩开始：E（X）=NNXi=1Xi=aN+N- 12牛顿(-b-一- 1） +N- 12N（b-一- 1） =a（N- 1） +N- 1Nb=> b=NN- 1.- aN（N- 1） 由于E（X）=0且E（X）=1，峰度κ仅为E（X）：κ=E（X）=NNXi=1Xi=aN+N- 12牛顿(-b-一- 1） +N- 12N（b-一- 1） =aN+N- 12N（2b+12ba（N- 1） +2a（N- 1） ）替换b=NN-1.- aN（N-1） ：κ=aN+N- 1NNN型- 1.- aN（N- 1)+ 6.NN型-1.- aN（N-1)a（N- 1） +a（N- 1)=aN+N- 1NN（N- 1)-2Na（N- 1） +不适用（N- 1)+6Na（N- 1)-6Na（N- 1） +a（N- 1)=aN+N（N- 1） （N）- 1)+(6 - 2N）a（N- 1） +（N- 6N+1）aN（N- 1） =N（N- 1） （N）- 1)+6 - 2N（N- 1） a+N- 6N+1+（N- 1） N（N- 1） a=N（N- 1） （N）- 1)+-2（N- 3） （N）- 1） a+（N+1）（N- 3） （N）- 1） 面积排列，并乘以（N-1） （N+1）（N-3） 给出以下求积系数a：0=（a）- 2N个- 1N+1（a）+G（N，κ）（2.1），其中G（N，κ）=N（N- 1)- （N）- 1） κ（N+1）（N- 3） a的值作为κ和N的函数由二次公式给出，然后取正情况的平方根。这是对该命题的首次陈述。对于第二种说法，请注意让N变大yieldsa=a（N，κ）=q-1+p1+N（κ- 1) ~ [N（κ- 1） ]1/4表示大N。备注：在萨缪尔森分布中，a（高于平均值的标准偏差数）以N1/2的领先项增长，但我们的分布在N1/4中增长缓慢。

a也与[N（κ-1） [1/4对于第4节中的切比雪夫不等式，对于大N，这一点很重要。给定N的a值，以及各种峰度值，如下表所示：a=（最大平均值）/StDevN-1 sqrt（N-1）峰度=7峰度=10峰度=13峰度=16250 15.811 6.296 6.952 7.46 7.881500 22.361 7.464 8.247 8.853 9.3551000 31.623 8.855 9.789 10.511 11.10910000 100.000 15.682 17.349 18.638 19.705100000 316.22 27.849 30.817 33 35.01110000000 49.502-54.781 58.865 62.241833208 912.802 47.296 52.339 56.241 59.467表1：a=（最大值- 给定N和峰度的平均值）/标准偏差。因此，如果银行的目标是AA评级，则需要考虑其在833209天内的生存能力(≈ 3333年）历史数据集。对于无约束情况，需要大约913个标准偏差的尾部系数。对于具有峰度选择的分布，需要47到60个标准偏差的atail因子。这一结果在大幅度的应力冲击中，我们认为更为合理。对于所考虑的历史数据集的大小，可能还有其他考虑因素，尤其是无法获得3333年历史的每日价格数据集！例如，巴塞尔银行监管委员会（Basel Committee on Banking Supervision）最近建议，作为其“交易手册基本审查”（见[1]）的一部分，内部模型应根据10年的历史数据进行校准。历史集长度的选择导致11到14个标准差的尾部因子，我们在这里给出了上述峰度选择。这仍然是一个规模合理的压力冲击，尽管显然没有那么大。事实上，上述结果可以用来构造一个应力冲击，而不需要任何超出峰度的分布假设。

例如，N=8332009最适合作为AA评级的目标，N=10000适用于考虑一次发电冲击，N=3000适用于非典型商业周期中发生的冲击。在下一节中，通过将给出的冲击与上述结果进行比较，对强调峭度的应力模型产生的冲击进行验证。3应力模型的验证在本节中，上述结果用于验证引言中概述的三种应力模型产生的应力冲击：1）基于Student-t分布的应力冲击，2）尾因子7，在2年的历史数据集上校准，以及3）支撑Lauer-Rado的应力模型。3.1学生t分布只有当自由度大于2时，学生t分布才具有有限的标准偏差，只有当自由度大于4时，学生t分布才具有有限的峰度。下表列出了自由度为3、4、5和6的学生t分布的尾部系数。与之相反的是，当κ=6和3时，a（N，κ）的值，对应于情况5和6的自由度。只有当自由度为3时，当峭度约束到位时，才能保证应力冲击超过最大值。但由于这种分布没有明确的峰度值，因此无法进行比较。3.2尾部系数7一家澳大利亚银行使用的尾部系数7似乎相当。根据表1中的值，峭度为7的风险因子在校准两年历史数据集时可能产生超过应力冲击的值。尾部因素。

自由3 4 5 6 N \\κN/A N/A 6 3 A（N，κ=6）A（N，κ=3）250 6.322 4.908 4.262 3.898 6.023 4.828500 8.053 5.951 5.030 4.524 7.138 5.7091000 10.215 7.173 5.893 5.208 8.466 6 6 6 6.76010000 22.204 13.034 9.678 8 8 8 8 8.025 14.987 11.934100000 47.928 23.332 15.547 12.032 26.610 21.1711000000 103.299 41.578 24.771 17.83 47.298 37.619表2:Student-t分布与A（N，κ）的尾部因子。3.3 Brace Lauer-Rado模型在[3]中，作者基于Scott[9]和Wiggins[10]的随机波动率模型，提出了一种确定风险因素Xt的压力测试冲击的模型：Xt=exp-YtdYt=expVtdW（1）tdVt=-gVtdt+hdW（2）thdW（1）t，dW（2）ti=ρdt该模型有三个参数：ρ，偏度，g，它控制波动率随时间返回正常值的平均回复速度，以及h，它与峰度有关。该模型具有许多用于压力测试的理想特性。例如，它具有厚尾，但计算流动性持有期的分位数相对来说是一种直截了当的方法。Ytis的瞬时峰度由：κ：=E[dYt]E[dYt]=3 exph2g（3.1）给出。当h的值导致给定g的κ的唯一值时，可以根据ρ、g和κ来重新计算模型。然后，作者提出了以AA评级为目标的尾部因子，即生存概率为0.9997的各种G值-1（即平均回复的预期时间），ρ=0.5。

事实上，作者提出了各种流动性持有期的尾部因素，但这里我们只考虑1天的持有期：尾部因素-1峰度=7峰度=10峰度=13峰度=161m 13.648 17.485 20.445 22.8732m 13.397 17.148 20.041 22.4123m 13.278 16.986 19.846 22.1904m 13.204 16.886 19.726 22.0535m 13.153 16.817 19.642 21.9586m 13.115 16.765 19.579 21.886表3：支撑Lauer-Rado应力模型的尾部因素。将这些尾部因子与a=（Max）的值进行比较- 平均值）/标准偏差表1，峰度=7和g情况下模型给出的尾部因子-1=600万可能在5000个观测值的历史集合中被违反，即20年的数据（假设一年有250个工作日）。对于剩余的峰度=10、13和16的情况，这分别是9000、12250和15250。即分别为36年、49年和61年的数据。可以说，这些值有点低，因为我们的早期结果表明，针对AA级机构的生存能力。然而，只有在少数情况下才能获得如此长度的每日历史集，因此历史集中存在超过应力冲击的观测值将非常罕见。4具有更高动量的切比雪夫不等式如萨缪尔森[8]所述，这些分布的构造与切比雪夫不等式密切相关。在这一节中，我们展示了我们的端点分布Φn比已知峰度的切比雪夫不等式的三个扩展有更紧的界-据我们所知，这三个扩展是唯一考虑使用峰度的。这些是具有偶数阶高阶矩的切比雪夫不等式、泽伦不等式【11】和巴塔查里亚不等式【2】的一个版本。