总时间序列冲击下的政策评估

商品价格冲击和民事冲突：来自哥伦比亚的证据。《经济研究评论》，80（4）：1384–14212013。Esther Du Flo和Rohini Pande。大坝。《经济学季刊》，122（2）：601–6462007。KS Evdokimov和AndreiZelenev。具有测量误差的半参数模型的简单估计。技术报告，工作文件，普林斯顿大学，2016年。塞尔吉奥·菲尔波和维托·波塞博姆。综合控制方法：推理、敏感性分析和置信集。《因果推理杂志》，6（2），2018年。保罗·戈德史密斯·平坎、艾萨克·索金和亨利·斯威夫特。巴蒂克仪器：什么、什么时候、为什么和如何。《美国经济评论》，110（8）：2586–26242020。Adam Guren、Alisdair McKay、Emi Nakamura和J’on Steinsson。我们从宏观经济学的跨地区经验估计中学到了什么？技术报告，国家经济研究局，2020a。Adam M Guren、Alisdair McKay、Emi Nakamura和J’on Steinsson。住房财富效应：长期观点。《经济研究评论》，2020b。詹姆斯·汉密尔顿。为什么永远不要使用hodrick prescott过滤器。《经济与统计评论》，100（5）：831–8432018。大卫·艾希伯格。变量误差最小二乘法。技术报告，斯坦福大学，2021。道格拉斯·霍尔茨·埃金、惠特尼·纽伊和哈维·S·罗森。使用面板数据估计向量自回归。《计量经济学：计量经济学学会杂志》，第1371-13951988页。郑孝、H Steve Ching和水基湾。项目评估的面板数据法：衡量香港与中国大陆政治和经济一体化的效益。《应用计量经济学杂志》，27（5）：705–7402012。David A Jaeger、Joakim Ruist和Jan Stuhler。转移共享工具和迁移的影响。技术报告，国家经济研究局，2018年。Hyungsik Roger Moon和Martin Weidner。

具有未知数量因子作为交互固定效应的面板的线性回归。《计量经济学》，83（4）：1543–15792015年。Hyungsik Roger Moon和Martin Weidner。具有交互固定效应的动态线性面板回归模型。计量经济学理论，33（1）：158–1952017年。Emi Nakamura和Jon Steinsson。货币联盟中的财政刺激：来自美国地区的证据。《美国经济评论》，104（3）：753–922014。Nathan Nunn和Nancy Qian。美国粮食援助和民间冲突。《美国经济评论》，104（6）：1630–662014。Susanne M Schennach。测量误差文献的最新进展。《经济学年鉴》，8:341–3772016。罗马人维什宁。《高维概率：数据科学应用导论》，第47卷。剑桥大学出版社，2018年。在线附录A准备A。1符号和定义我们使用k·kto表示欧几里德范数，k·kHSto表示希尔伯特-施密特范数，k·kop表示算子范数。对于确定性序列，我们称之为xn~ ynif limnxnynexists且不等于0或单位。这同样适用于概率收敛到确定性极限的随机序列。我们使用上标（0）和（1）分别区分属于周期[1，T]和（T+1，T）的数据。例如，Y（0）对应于周期[1，T]和L（w）的结果的n×T矩阵，（1）对应于矩阵L（w）的最后（T，T）列的asub矩阵。此约定适用于任何n×T矩阵。对于T×T矩阵∧（z），∧（h），我们使用∧（k），（0）和∧（k），（1）（k∈ {z，h}）表示子矩阵，其行分别对应于[1，T]和（T，T）。

我们还将每个矩阵∧（k），（j）分为两部分：∧（k），（j）和∧（k），（j），因此∧（k），（j）ν（k）=∧（k），（j）ν（k），（0）+∧（k），（j）ν（k），（1）。定义以下投影矩阵：∏（k）f=I- ψ（k）（（ψ（k））>ψ（k））-1（ψ（k））>π（0）r=I- （z） ，（0）(（z） ，（0））>（z） ，（0））-1(（z） ，（0））>π（0）=∏（0）f∏（0）r∏α=In-对于k，nn（1n）>（1.1）∈ {0，1}确定回归和相关系数：η（k）H | Z：=ρagtrace∧（h），（k）>∏（k）f∧（z），（k）k∏（k）f∧（z），（k）kHSρ（k）H | z=ρagtrace∧（h），（k）>∏（k）f∧（z），（k）k∏（k）f∧（z），（k）kHSk∏（k）f∧（h），（k）kHS（1.2）定义了以下对称矩阵，该矩阵随后对偏差分析起着关键作用：Γ：=^σWL（w），（0）π（0）f（L（w），（0））>+^Y∧L（Y），（0）π（0）f（∧L（Y），（0））>+（1-（ρ（0）H | Z）k∧（H），（0）kHS^σW（θ（W））（θ（W））>+（1-（ρ（0）H | Z）k∧（H），（0）kHS^σY（￠θ（Y））（￠θ（Y））>。（1.3）定义- D∈ Rn使（D- D） i=Di-nPni=1，类似定义π- π. 对于ζ>0，定义A-1测量Dian和πi之间相关性的以下数量：s（ζ）：=（D）- D） >ζIn+T∏αΓ∏α-1(π -π） （D）- D） >ζIn+T∏αΓ∏α-1（D- D）（1.4）最后，对于任意权重▄ω，定义以下对象：β（y）（▄ω）：=nnXi=1（β（y）i+τβ（w）i）▄ωi，β（w）（▄ω）：=nnXi=1β（w）i▄ωi，θ（y）（▄）：=nnXi=1（θ（y）i+τθ（w）i）▄ωi，θ（w）（▄ω）：=nnXi=1β（w）i▄ωi，π（w）（￠ω）：=nnXi=1π（w）i￠ωi，L（y）t（￠ω）：=nnXi=1（L（y）it+τL（w）it）￠ωi，L（w）t（￠ω）：=nnXi=1L（w）it￠ωi，（w） t（￠ω）：=nnXi=1（w） 它是ωi，（y） t（￠ω）：=nnXi=1(（y） it+τ（w） it）ωi.（1.5）A-2A。2假设消耗A.1。（普适常数）对于某些固定普适常数cp、cag、ch | z、cσ、cτ，所有n、T、tf都满足以下限制：dim{ψT}<cp，|ρag |<cag<1，maxk∈{0,1}n |η（k）H | Z | o<ch | Z，max{σw，σy}<cσ，|τ|<cτ。（1.6）假设A.2。

（时间冲击的对齐和大小）随着T、Tgo到单位，k满足以下限制∈ {0，1}：maxj∈{z，h}k∧（j），（k）kopk∧（j），（k）kHS≤警察√Tk，k（λ（h），（k））>λ（z），（k）kopk（λ（h），（k））>λ（z），（k）kHS=o（1），k∧（z），（k）kop~ k∧（h），（k）kop，k∧（z），（k）kHS~ k∧（h），（k）kHS（1.7）对于一般矩阵a QuantityKakhsKakop概括了秩的概念，因此该假设的第一部分表示，在投影后，大多数冲击不会与少量方向对齐。第二部分简单地说（h） 以及（z） 没有太大差别。假设A.3。（后处理趋势的行为）作为Tgo，存在序列测定→ ∞ 使以下限制保持不变：supx6=0，x>n=0，α，βkx公司αL（w），（1）+βИL（y），（1）>∏（1）f∧（z），（1）k∞kx公司αL（w），（1）+βИL（y），（1）>∏（1）f∧（z），（1）k≤sT（1.8）该假设要求L（w），（1）和L（y），（1）中的确定性趋势随时间“均匀分布”，即使在投影和与∧（z），（1）积分后也是如此。对于有界确定性趋势和由平稳过程生成的∧（z），（1），我们预计St的行为如下√T、 假设A.4。（可预测部分的大小）为T，Tgo，以确定假设A.3中的以下条件：k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k=op（sT）。（1.9）该假设限制了（z） （1）使用过去可以预测。在平稳自回归模型中，我们有k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k=Op（1），因此，对于任何发散序列，假设是满足的。如果（z） 进行随机游走，然后k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k~√T、 因为St不能大于√T、 在这种情况下，假设A.4不适用于我们主要感兴趣的制度（T~ T） 。A-3假设A.5。（方差的顺序）以下为n，t对于普适恒量cvara和确定性κ的一致性：maxσY，σW≤ κ（1+op（1）），κmin{σY，σW}≤ cvar（1+op（1））。（1.10）假设A.6。

（Di的质量和尺寸）Let（D-D） i：=Di-nPni=1并假设以下情况成立：kD- 丹麦~√n（1.11）对于某些普适常数cs>0，以下情况成立：infκζ>max{σw，√σy+τσw+2τρidσyσw}| s（ζ）|>cs（1.12）A-4A。3技术引理A.1。设∏是p维子空间或rta上的正交投影，并考虑一个T×n矩阵，使得kakopkakhs=o√p. 那么以下公式成立：k（IT- ∏）AkHSkAkHS=1+o（1）（1.13）证明。结果如下所示：k（IT- ∏AkHSkAkHS- 1.≤k∏AkHSkAkHS≤k∏kHSkAkopkAkHS=√p×o√p= o（1）（1.14）引理A.2。假设假设假设3.4、A.1、A.2成立，则当T、Tgoes到in-finity fork时，以下为真∈ {0，1}：k∏（k）f（z） ，（k）kk∧（z），（k）kHS=1+op（1）(（h） ，（k））>π（k）f（z） ，（k）k∏（k）f（z） ，（k）k=η（k）H | z+Opk（λ（h），（k））>λ（z），（k）kHSk∧（z），（k）kHS,信息技术-k（z） ，（0）k（z） ，（0）(（z） ，（0））>∏（0）f（h） ，（0）k∧（h），（0）kHS=1-ρagtrace∧（z），（0）（∧（h），（0））>k∧（z），（0）kHSk∧（h），（0）kHS+op（1）（1.15）证明。我们证明了k=1的前两个主张，k=0的结果以完全相同的方式遵循。Vershynin（2018）中的定理6.3.2暗示了以下内容：k∏（1）f（z） ，（1）k- k∏（1）f∧（z），（1）kHS= Op公司k∏（1）f∧（z），（1）kop（1.16）与假设A.1、A.2和引理A.1一起，意味着第一个权利要求。我们还有以下分解：(（h） ，（1））>π（1）f（z） ，（1）=ρag（λ（h），（1）ν（z））>π（1）f∧（z），（1）ν（z）+q1-ρag（λ（h），（1）ν（h））>π（1）f∧（z），（1）ν（z）（1.17）将Hanson-Wright不等式应用于第一部分，Vershynin（2018）的引理6.2.3，假设A.1，假设A.2和引理A.1，我们得到以下结果：(（h） ，（1））>π（1）f（z） ，（1）- ηH | Zk∏（1）f∧（z），（1）kHS= Op公司k（λ（z），（1））>λ（h），（1）kHS（1.18）证明第二项权利要求。

第三个以同样的方式出现。A-5B一般结果B。1定理1的一般版本本小节中的结果适用于取决于样本第一部分的一般权重￠ω。B、 1.1估计量的扩展我们分别关注第一阶段和简化形式系数。我们从第一阶段的分解开始：^π=n|ω>W（1）∏（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）=n|ω>π+偏压（W）+时间噪声（W）+交叉噪声（W）偏压（W）：=n|ω>θ（W）（H（1））>π（1）fZ（1）（Z（1）时间噪声（W）：=n|ω>L（W），（1）∏（1）时间噪声（W）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）交叉噪声（W）：=n|ω>E（W），（1） π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）（2.1）类似的分解适用于简化形式：^δ=n￠ω>Y（1）∏（1）fZ（1）（Z（1））>π（1））=τn￠ω>π+偏差（Y）+时间噪声（Y）+交叉噪声（Y）：=n￠ω>（￠θ（Y））（H（1））>π（1）fZ（1））>π（1 fZ（1）时间噪声（Y）：=n￠ω>~L（Y），（1）π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）交叉噪声（Y）：=n￠ω>~E（Y），（1）π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）（2.2）B.1.2误差分析B.1。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2成立，则以下为真：交叉噪声（y）交叉噪声（w）=kωknk∧（z），（1）kHS（ξcr+op（1））（2.3），其中ξcr~ N（0，∑）。证据首先，我们以￠ω，Z为条件，并利用特质误差随时间和ofB-6独立的事实（z） ，则，（h） 具有正态分布。然后我们用引理A.2从k∏（1）f出发（z） ，（1）kto k∧（z），（1）khsat（1+op（1））因子的费用。定义以下对象：ρ（|ω）：=|ω>L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）ω>L（w，（1）π（1）f∧（z），（1）>k|||¤ω>|¤L（y），（1）k∏（1）f∧（z），（1）kk|ω>L（w），（1）k∏（1）f∧（z），（1）k，∑ag（|ω）：=k▄ω>▄L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）knk∧（z），（1）kHSk▄ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）knk∧（z），（1）kHSp1级-ρ(~ω) ρ(~ω)0 1（2.4）引理B.2。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2、A.3、A.4成立，则我们有以下情况：时间噪声（y）时间噪声（w）= ∑ag（|ω）（ξz，T+op（1））（2.5），其中E[ξz，T]=0，V[ξz，T]=I，ξz，与ξcr无关。随着ξz的增加，T在分布上收敛于N（0，I）。证据

为了证明这一点，我们首先将（z） ，（1）分为两部分：可预测自（z） ，（0）和不可预测的。通过假设3.4，我们得到不可预测部分等于∧（z），（1）ν（z），（1），可预测部分等于u1 | 0：=∧（z），（1）ν（z），（0）。不可预测部分提供了陈述中描述的结果（使用引理A.2）分布。渐近正态性来自假设A.3和多元Lindeberg的CLT。为了完成屋顶，我们必须证明u1 | 0的偏差较小。它来自假设A.3、A.4所遵循的不等式链：|Иω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）ν（z），（0）| k∧ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k=|∧ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z），（0）| k￠ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k≤k|ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k∞k（λ（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z），（0）kk￠ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k≤k（λ（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z）ksT=op（1）。（2.6）同样适用于▄L（y），（1）而不是L（w），（1）结束证明。推论B.1。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2成立，则以下为真：偏差（y）偏差（w）=n▄ω>▄θ（y）n▄ω>θ（w）ηH | Z+Opk（λ（h），（1））>λ（z），（1）kHSk∧（z），（1）kHS（2.7）证明。结果是引理a.2和偏差定义的直接结果。下一个定理来自上面的引理。B-7定理B.1。假设假设3.3、3.4、A.1、A.2、A.3、A.4保持不变。那么以下是正确的：^δ -τnω>π^π-nΩ>π=n▄ω>▄θ（y）n▄ω>θ（w）ηH | Z+Opk（λ（h），（1））>λ（z），（1）kHSk∧（z），（1）kHS+∑ag（|ω）（ξz，T+op（1））+k|ωknk∧（z），（1）kHS（ξcr+op（1））（2.8）B-8B。2定理2的一般版本我们之前的分析表明，任意加权估计量的偏差的关键组成部分取决于权重与θ（w）和θ（y）的协方差。在本节中，我们使用Hirshberg（2021）的结果来限制这种协方差。

在本节中，ω指第2.2节中描述的重量。B、 2.1随机预言权重集Ecs[·]是关于噪声E（w），E（y）的期望值，条件是ν（z），（0），ν（h），（0）。我们定义了随机预言权重ω？作为以下问题的解决方案：ω？=arg min{w}（ζTnkwk+Ecsknw>Y（0）π（0）k^σY+Ecsknw>w（0）π（0）k^σw）根据：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.9）定义r？：=ω - ω?– 经验权重与oracle权重的偏差。定义以下参数：△σy：=σy+τσw+2τρidσyσw，△ζ：=κζ+κσy（T- p- 1） T^σY+κσw（T- p- 1） T^σW，（2.10）和以下对称矩阵：^Γ：=^σWL（W），（0）π（0）（L（W），（0））>+^σYL（Y），（0）π（0）（L（Y），（0））>+k∏（h） ，（0）k^σW（θ（W））（θ（W））>+k∏（h） ，（0）k^σY（|θ（Y））（|θ（Y））>+^σWL（w），（0）π（0）（h） ，（0）（θ（w））>+^σwθ（w）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>+^σYL（Y），（0）π（0）（h） ，（0）（￠θ（y））>+σy￠θ（y）(（h） ，（0））>π（0）（L（y），（0））>（2.11）B-9使用（2.9）中的这些定义和计算期望，我们得到ω？的另一个表示：ω?= arg min{w}（~ζTnkwk+κw>^Γw）受制于：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.12）B.2.2确定性甲骨文权重我们定义了额外的“确定性”甲骨文权重ωdet作为以下问题的解决方案：ωdet=arg min{w}（~ζTnkwk+κnw>Γw）受制于：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.13）det：=ω？- ωdet–随机预言权重与确定性权重的偏差。B、 2.3技术引理第一个引理描述了ωdet.定义χ：=max{σw，~σy，cfe}的关键性质。引理B.3。此外，假设假设假设3.5、A.1、A.5、A.6保持为n，并且假设完整性κζχ=cζ+o（1），其中cζ>2，TN=casp+o（1），其中casp>0。那么，对于n和t足够大，以下是正确的：kD- 丹麦≤ kωdetk≤ cn（1+cvar）cˇω1+cfecζχcasp！（1+op（1））κω>detΓω≤ 中国大陆cˇω（caspcζχ+cfe）（1+cvar）（1+op（1））（2.14）B-10证明。

为了证明这一结果，我们定义了另一个权重：▄ωdet=arg min{w}（▄ζTnkwk+κnw>Γw），取决于：nnXi=1wiπi=1，nnXi=1wi=0，（2.15）这些权重和ωdet之间的差异，它们相对于πi的平均值为1，而不是差。向前看，溶液具有“脊”形式：nωdet=（|ζIt+κT∏αΓ∏α）-1(π -π)(π -π） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π） （2.16），因此我们得到以下n（|ωdet）>D=（D- D） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π)(π -π） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π） =sζκ！（2.17）通过构造，我们得到了n，t足够大的￠ζκ>ζ>cζmax{σw，￠σy，cf e}2κ>max{σw，￠σy}κ，通过假设a。6表示s~ζκ以Cs为界远离零，因此我们可以定义以下权重：ˇωnew：=s~ζκωdet（2.18），现在平均值为1乘以Di。利用这些权重，我们得到以下不等式：|ζTnkωdetk+κn（ωdet）>Γ（ωdet）≤ζTnkˋωnewk+κn（ˋωnew）>Γ（ˋωnew）=s~ζκИζTnkˋωdetk+κn（ˋωdet）>Γ（ˋωdet）（2.19）因此，我们只需要装订最后一部分。在这里，我们使用假设3.5得到n，t足够大的以下结果：|ζTnkˋωdetk+κn（ˋωdet）>Γ（ˋωdet）≤ c（1+cvar）（cζcaspχ+cfe）（1+op（1））（2.20）将该束缚分别应用于￠ζTnkωdet和κn（ωdet）>Γ（ωdet），并使用kωdetk不能比kD更小的事实- Dk（λζ等于单位的解）我们得到了结果。B-11我们的下一个引理提供了ω？ωdet.Lemma B.4。假设假设假设3.4、3.5、A.1、A.2、A.5保持不变，K∧（h），（0）kHS=o（1），κζχ=cζ+o（1）和cζ>2为n，Tapproach in finity。那么以下是n，Tapproach的真实性：| r>detθ（w）|=oppκ（ωdet）>Γωdetk∧（h），（0）kHS|r> detθ（y）|=oppκ（ωdet）>ωdetk∧（h），（0）kHS！krdetk=oppκ（ωdet）>ωdet√Tcζχ！(ω?)>^Γω?≤ c（ωdet）>Γωdet（1+op（1））（2.21）证明。注意，在所述区域中，我们有以下|ζ≥ cζmax{σw，￠σy}。

考虑以下不等式链：0≥ T？ζkω？k+κ（ω？）>^Γω?- T▄skωdetk- κ（ωdet）>ωdet≥2κr>det（^Γ）- ωdet+κr>det（^Γ）- Γ）rdet+κr>detΓrdet+Tζkrdetk（2.22）这里，第一个后面是ω？的定义？，第二个是ωdet的定义。定义以下变量：x：=Tζkrdetkx：=κr>detΓrdetx：=κ（ωdet）>Γωdet（2.23）。我们将使用此性质将前两项约束在上述总和中。我们有以下展开式：κ（^Γ）-Γ）=κ^σWL（w），（0）（π（0）- π（0）f）（L（w），（0））>+κ^σYL（Y），（0）（π（0）- π（0）f）（￠L（y），（0））>+（k∏（h） ，（0）k- (1 - （ρ（0）H | Z））k∧（H），（0）kHS）κ^σW（θ（W））（θ（W））+κ^σY￠θ（Y）（￠θ（Y））>+κ^σWL（w），（0）π（0）（h） ，（0）+κ^σWθ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>+κ^σYL（Y），（0）π（0）（h） ，（0）（￠θ（y））>+κ^σy￠θ（y）(（h） ，（0））>π（0）（L（y），（0））>（2.24）We结合κr>det（^Γ）- Γ）rdetin | x |和| x |的术语。我们只需要约束最后六个条款，因为前两个条款是积极的。我们从最后四个开始，它们的行为方式都是一样的，所以我们关注B-12涉及θ（w）和L（w）的一个：κ^σW（rdet）>θ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>rdet≤（1+op（1））| | x | k∧（h），（0）kHS(（h） ，（0））>π（0）∏（0）f（L（w），（0））>rdetk∏（0）f（L（w），（0））>rdetk≤（1+op（1））| | x | k∧（h），（0）kHSsupx，kxk=1，x∈Im（π（0）f（L（w），（0））>）|(（h） ，（0））>π（0）x |（2.25）设∏wbe投射在Im（（L（w），（0））∏（0）f）上，通过假设3.5，我们知道这个子空间的维数是o（min{n，T}）。利用这个和引理A.1，A.2，我们得到如下结果：supx，kxk=1，x∈Im（π（0）f（L（w），（0））>）|(（h） ，（0））>π（0）x |=k∏（0）w∏（0）（h） ，（0）k≤k∏（0）w（h） ，（0）k+|^η（0）h | Z | k∏（0）w（z） ，（0）k=opk∧（h），（0）kHS（2.26）这意味着以下界限：κ^σW（rdet）>θ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>rdet≤ op公司x个（2.27）使用引理A.2，我们得到以下结果：k∏（h） ，（0）k- (1 - （ρ（0）H | Z））k∧（H），（0）kHSκ^σW（rdet）>（θ（W））（θ（W））>rdet+κ^σY（rdet）>￠θ（Y）（￠θ（Y））>rdet=op（x）（2.28）下一步我们出发κω>det（^Γ）-Γ）rdet关于x，x。