融资融券定价之谜的两种解决方案

（14） 自r起- rL<0和（1- B） +在B中是凸的，我们有一个凹函数和一个线性函数的和，结果如下。图3给出了（1）的典型图- B） +r- （B）- 1） +rL。图4给出了单个优质股票或指数上杠杆式押注的增长率Γ（b）的典型图。提案2。如果交易员使用保证金债务，他的再平衡规则将是b*=Σ-1(u - rL1），其中1是1的n×1向量。如果交易者持有正现金余额，他的赌注将是b*= Σ-1(u - r1）。如果交易者的净现金头寸为零，他将使用投资组合b*= Σ-1(u - λ1），其中λ=（1∑-1u - 1)/1Σ-11、提案3。设λ=（1∑）-1u - 1)/1Σ-11、只有当rL<λ时，交易员才会使用保证金债务ifand。当且仅当λ<rD时，交易者将持有正现金余额。当且仅当rD时，交易者的净现金头寸为零≤ λ ≤ rL。图3：（1）的曲线图- B） +r- （B）- 1） r=0.01和rL=0.06时为+rL。推论1。在时间t，交易者对保证金债务的需求isq=Vt（b）[1∑-1u - 1.- (1Σ-11） rL]=Vt（b）（1∑-11)(λ - rL）=C- DrL，（15），其中C=Vt（b）（1∑-1u - 1） D=Vt（b）1∑-11、推论2。连续时间凯利赌徒对保证金债务需求的弹性由下式给出 =rLλ- rL，（16），其中λ是保证金债务的影子价格。图4：一只股票上不同赌注b的增长率，σ=0.2，ν=0.09，u=ν+σ/2，rL=0.03。扭结为b=1，方钻杆规则为b*= 过度膨胀（b>2）是疯狂的，因为它会导致较低的增长率和更高的风险。3.2垄断定价我们假设经纪人具有垄断行为，瞬时利润π（rL）=D（λ- rL）（rL- r） 。（17） 不同的是，我们有一阶条件（λ- rL）- （rL- r） =0。（18） 因此，保证金债务的垄断价格（对于连续时间Kellygamblers的客户）isrL=r+λ=r+（1∑）-1u - 1)/1Σ-1.（19）示例1。

对于漂移u、波动率σ和增长率ν=u的单个股票-σ/2，保证金债务的垄断价格isr*L=r+u- σ=r+ν- σ/4（20），净息差为rL- r=（ν- r） /2个- σ/4. 因此，r的利率在上升，但r的净息差在下降。随着资产变得更有吸引力（更高的增长率和更少的波动性），利率上升。示例2。对于r=0.035、ν=0.09、σ=0.25的值，垄断经纪人应收取4.7%的保证金利息。示例3。假设有两支股票的相关性ρ=0.5，两者的复合增长率ν=0.09，波动率σ=0.25，货币市场利率为r=0.035。经纪人应对保证金贷款收取5.47%的利息。3.3古诺定价一般来说，我们可以考虑由N个寡头垄断经纪人在科诺竞争中提供的保证金贷款。反向总需求曲线为rL=λ- Q/D，其中Q=NPi=1QI是保证金贷款的总量，QI是经纪人i的数量。经纪人i的收益为πi（q，…，qN）=qi（λ- r- 合格中介机构/日- Q-i/D），（21），其中Q-i=Pj6=iqjis i的竞争对手提供的总数量。经纪人i的一阶条件为λ- r- 季度/日- qi/D=0。（22）在（对称）古诺均衡中，所有经纪人提供相同数量的qi≡ q、 我们有q=Nq。因此，我们有q=D（λ- r） N+1Q=ND（λ- r） N+1rL=Nr+λN+1rL- r=λ- rN+1∏=NDλ - 注册护士+1,（23）其中∏是总利润，rL- r是净息差。3.4具有有限期限的风险规避经纪人在本小节中，我们将经纪人建模为具有有限期限的风险规避垄断者。我们让e-βtdenote是经纪人的贴现因子，我们让πtdenote是单位时间的固定收益率。

因此，经纪人选择一个利率rl，该利率可解最大∈（r，λ）E∞Ze公司-βtlogπtdt, （24）式中，πt=Vt（b）（1∑-11)(λ - rL）（rL- r） 和b=∑-1(u - rL1）是客户不断重新平衡的投资组合。经过简化和单调变换后，（凹）目标函数变为comesu（rL）=βlog(λ - rL）（rL- r）+ α - b∑b/2=β对数(λ - rL）（rL- r）+ rL+（u- rL1）∑-1(u - rL1）。（25）经纪人的一阶条件为∑-11(λ - rL）（rL- r） =2βr+λ- rL型. （26）提案4。如果经纪人是一个期限有限的风险规避型垄断者，那么其利润率总是低于瞬时垄断价格（r+λ）/2。证据由于一阶条件（26）的左侧为正，因此右侧也必须为正。这产生rL<（r+λ）/2。提案5。经纪人的保证金率在贴现率中严格增加（drL/dβ>0）。Asβ→ +∞, 经纪人的保证金率r*L（β）收敛于瞬时垄断率（r+λ）/2。Asβ→ 0+，保证金利率接近货币市场利率r证明。通过隐式区分经纪人关于β的一阶条件，我们发现βrL型- r-λ - rL+r+λ- 2rL= 1/β. （27）括号中的表达式为正：即，设x=rL- r、 y=λ- rL，其中y- xis阳性。我们必须证明1/x- 2年+2/（年）- x） >0，（28），相当于2x+y（y- x） >0，这是真的。现在，作为β→ +∞, （26）的左手边是一个有界量。因此，右侧也必须保持边界。避免矛盾的唯一方法是rL→ （r+λ）/2。类似地，作为β→ 0+，右侧趋于0。因此，我们必须有rL→ λ或rL→ r、 然而，由于rli小于区间（r，λ）的中点，我们必须有rl→ r、 推论3。

对于给定经纪人收取的任何观察到的保证金率rL<（r+λ）/2，有一个唯一的贴现率β使rL合理化。图5曲线图r*对于σ=25%年收益率且复合增长率为ν=10%的单一股票，Lagainstβ。资金成本假设为r=3.5%。3.5一般随机控制问题在本小节中，我们制定并解决经纪人随机控制问题的一般版本。这样做，我们表明对固定利率的限制图5：保证金利率与经纪人个人贴现率：n=1，r=0.035，ν=0.1，σ=0.25。政策不会失去普遍性。现在，我们允许经纪人的瞬时利率rL=rL（Vt）取决于客户的财富Vt。因此，经纪人选择反馈控制策略rL（Vt）来解决MaxRL（·）E∞Ze公司-βtlogVt（λ- rL）（rL- r）dt公司, （29）根据过渡法DVT/Vt={rL+（u- rL1）∑-1(u - rL1）}dt+nXi=1biσidWit，（30），其中b=∑-1(u - rL1）是客户的投资组合。让J=J（V）表示经纪人的最大值函数，我们得到了HJB方程（Kamien和Schwartz1981）βJ（V）=maxrL日志V（λ- rL）（rL- r）+rL+（u- rL1）∑-1(u - rL1）V J（V）+（u- rL1）∑-1(u - rL1）VJ（V）.（31）我们猜测J（V）=c+阻塞V，其中cand care待定系数。简化后，这将HJB方程转化为βc+（βc-1） 对数V=最大值日志(λ-rL）（rL-r）+crL+（u-rL1）∑-1(u-rL1）.（32）由于HJB方程的右侧不依赖于V，我们必须使C=1/β。因此，我们得到c=maxrLβ对数(λ - rL）（rL- r）+βrL+（u- rL1）∑-1(u - rL1）. （33）尽管csolely的形式复杂，但我们已经成功地用模型参数β、λ、r、u和∑表示csolely。最大化器r*五十、 它独立于V，以我们已经推导出的一阶条件（26）为特征。

对于这些特定的系数c和c，替换J=c+clog V将HJBequation转化为恒等式。这证明了经纪人的最优反馈控制策略是一个常数利率r*五十、 解决上述最大化问题（33）的速率。4结论本文提供了《财富》（2000）保证金贷款定价的两种可能的解决方案。《财富》（2000）指出，与实际（低）信用风险和基金成本相比，股票经纪人收取的保证金利率非常高。在Black-Scholes（1973）的世界中，经纪人可以通过不断做空客户投资组合的动态精确金额来消除风险，从而在保证金贷款中赚取大量套利利润。首先，我们将《财富》杂志对默顿（1974）无套利方法的应用扩展到alllow，适用于在贷款期限内只能多次修改对冲的经纪人。我们得出结论，修订频率的微小差异（例如，每3天额外修订四次）可以很容易地解释观察到的保证金贷款利率的巨大差异。接下来，我们研究了客户为连续时间凯利赌徒的经纪人的垄断（或寡头垄断）保证金贷款定价（Luenberger 1998）。这是一个合理的假设，因为持续时间的凯利赌徒将逐渐“挤出”其他经纪客户，持有（在限额内）所有客户财富，并承担所有保证金债务。连续时间凯利赌徒对保证金贷款需求的瞬时弹性为 = rL/（λ）- rL），其中λ=（1∑-1u - 1)/(1Σ-11） 是一美元保证金贷款的影子价格。这里，u表示股票市场的漂移向量，∑是单位时间瞬时回报率的协方差，Rli是经纪人收取的（连续复合）年利率。

我们发现，保证金债务的瞬时垄断价格为（r+λ）/2，即经纪人资金成本和客户影子价值的中点。更一般地，在与N个经纪人进行古诺竞争的情况下，正确的利率是凸组合（Nr+λ）/（N+1），净息差是（λ- r） /（N+1）。最后，我们在有限的时间范围内将经纪人建模为一个耐心、规避风险的垄断者（使用logutility）。这导致了三次方程∑-11(λ - rL）（rL- r） =2βr+λ- rL型, （34）其唯一表征了最优利率rL。在这些假设下，我们发现经纪人收取的价格总是低于即时垄断价格（r+λ）/2。然而，随着经纪人变得越来越不耐烦（他的贴现率β趋于+∞), 他的利润率单调地增长到间接垄断率。随着经纪人变得更有耐心（β→ 0+，他的价格收敛于货币市场利率r。由于经纪人的贴现率β与其保证金率rL之间的唯一对应关系，我们能够唯一地将观察到的异质定价行为rL合理化∈r、 （r+λ）/2, 基于经纪人对记账当前利润的不同程度的不耐烦。为了结清票据，我们证明经纪人没有从将其利率rL=rL（Vt）限制在客户财富Vt上获得任何好处。我们制定并解决了经纪人随机控制问题的一般版本，发现最优反馈控制策略rL（Vt）是设定恒定利率r*五十、 以（34）为特征的速率。参考文献【1】Bensaid，B.，Lesne，J.P.，Pages，H.和Scheinkman，J.，1992年。具有交易成本的衍生资产定价。《数学金融》，2（2），第63-86页。[2] Black，F.和Scholes，M.，1973年。期权定价和公司责任。

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