基准下担保可变年金的公平定价

本节大部分内容摘自Platen和Heath（2006），感兴趣的读者可参考这些内容以获得更完整的治疗。我们考虑一个由多维布朗运动W驱动的不确定性的一般差别金融市场模型，W（t）={（W（t），…，W（t）d）>，t∈ [0，T]}，定义在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P），其中T是某个固定的时间范围，过滤F={Ft，T∈ [0，T]}满足权利连续性和完整性的通常条件，并对信息随时间的累积进行建模；见Karatzas和Shreve（1991）。假设存在一个本地无风险储蓄账户S（t）和m个非负风险主安全账户S（t）=（S（t）。。。，Sm（t））>满足向量随机微分方程（SDE）dS（t）=S（t）（a（t）dt+b（t）·dW（t）），t∈ [0，T]，（A.1），其中A（T）是瞬时漂移向量，b（T）是瞬时波动矩阵，这两个矩阵都假设是可预测的，并且存在上述SDEs系统的唯一强解。我们假设所有股息和利息都进行了再投资。在不损失一般性的情况下，我们进一步假设S（t）≡ 这意味着我们以本地无风险储蓄账户的单位为所有证券定价。实际上，本地无风险储蓄账户可以近似为以滚动方式投资短期国债的货币市场账户。因此，在我们的注释中，所有主要证券账户都由本地无风险储蓄账户贴现。我们用Sπ表示严格正的自我融资投资组合的价值过程，投资组合权重π（t）=（π（t）。。。，πm（t））>，t∈ [0，T]，在T时将总财富的一小部分πj（T）投资于第j个主要证券账户，剩余财富投资于本地无风险储蓄账户。

数值过程满足SDEdSπ（t）Sπ（t）=π（t）>（a（t）dt+b（t）·dW（t）），t∈ [0，T]。（A.2）根据伊藤公式，对数价格的SDE为对数sπ（t）=π（t）>a（t）-b（t）b（t）>π（t）dt+b（t）·dW（t）, t型∈ [0，T]。（A.3）我们考虑增长最优投资组合（GP）Sπ*在这个投资宇宙中，所有t的内在预期增长率，即（A.3）的漂移最大。这是通过设置最佳投资组合权重π来实现的*（t） 至π*（t） =arg maxππ>a（t）-b（t）b（t）>π, t型∈ [0，T]。（A.4）我们假设（A.4）的解存在于所有t∈ [0，T]。π给出了一个这样的势解*（t）=b（t）b（t）>+a（t），t∈ [0，T]，（A.5），其中b（t）b（t）>+表示自伴矩阵b（t）b（t）>的Moore-Penrose广义逆。请注意，GP的价值过程是唯一的，然而，分数可能会因主要证券账户中的潜在冗余而变化。为了使市场模型可行，我们假设GP过程，表示为S（t）：=Sπ*（t） ，t∈ [0，T]，带π*（t） 由（A.5）给出，存在且严格为正。通过将（A.5）代入（A.2），我们得到了SDEdS（t）S（t）=kθ（t）kdt+θ（t）·dW（t），t∈ [0，T]，（A.6），其中θ（T）=b（T）>π*（t） 。上述SDE可进一步写成：ds（t）=α（t）dt+pα（t）S（t）dB（t），t∈ [0，T]，（A.7），其中漂移α（T）=kθ（T）kS（T）假设为严格正，且B*（t） ，由SDEdB（t）=θ（t）kθ（t）k·dW（t）t定义∈ [0，T]，（A.8）带B*（0）=0，根据Levy的特征定理形成标准布朗运动。到目前为止，我们只重新参数化了GP动力学，这与常见的波动率建模规范不同。注意，在这个阶段，上述漂移α（t）可能仍然非常普遍。

之后，我们将使这种漂移更加具体，从而产生一个合适的模型。GP是一种独特的投资组合，当用作数字或基准时，它使任何基准投资组合过程^Sπ，定义为^Sπ（t）=Sπ（t）S（t），一个局部鞅。如果我们假设投资组合过程是非负的，则基准投资组合过程会被Fatou引理所超越。给定FT可测非负或有索赔H（T）≥ 0到期日为T时，BA下的所谓公平价格过程由实际世界定价公式asH（T）=EtS（t）S（t）H（t）, t型∈ [0，T]，（A.9），其中Et（·）=E（·| Ft）表示现实世界概率测度P下的Ft条件期望。基准公平价格过程定义为^H（T）=H（T）S（T），然后形成非负（F，P）-鞅。基准公平价格过程^H（如果可复制）代表了所有基准非负自我融资复制投资组合中成本最低的投资组合，这些投资组合构成了超级大赢家。附录B.标的权益指数建模本节规定了SDE管理标的权益指数的模型参数（1）。模型参数分别在风险中性定价框架和BA下描述。如第2节所述，我们以本地无风险安全账户为计价单位，并考虑所有以本地无风险储蓄账户单位计价的价格。附录B.1。Black-Scholes模型经典BSM可能是在风险中性定价理论框架内描述风险证券价格动态的最广为人知的模型。

在BSM下，一般公式（A.7）中的漂移α（t）被建模为α（t）=σS（t），其中σ是恒定波动率参数，股票指数遵循真实世界概率测量P下的SDEdS（t）=σS（t）dt+σS（t）dB（t），（B.1），其中B是标准的P-布朗运动。因此，股票指数遵循几何布朗运动（t）=S（0）expσt+σB（t）, t型∈ [0，T]。（B.2）遵循Girsanov定理的标准程序，BSM承认一个唯一的等效风险中性定价度量Q，Radon-Nikodym导数由z（t）=e给出-σB（t）-σt=S（0）S（t），t∈ [0，T]，（B.3），其形式与（A.9）中的贴现系数相同，如预期。在风险中性度量Q下，指数S是无漂移的，满足度（t）=σS（t）dBQ（t），t∈ [0，T]，（B.4），其中BQ（T）=B（T）+σT是标准的Q-布朗运动。附录B.2。最小市场模型最小市场模型（MMM），见Platen（2001），是BA下的一种风格化模型。MMM与风险中性定价框架不兼容，因为不存在等效的风险中性概率度量。当我们应用MMM时，我们做出两个重要假设。首先，通常很难构建给定投资领域的GP。然而，Platen和Rendek（2012）表明，股票市场的GP可以通过各自的多元化股票指数来近似。MMM假设权益指数是GP的良好代理。其次，一般GPmodel（A.7）中的漂移系数α（t）在理论上是一个复杂的过程，取决于风险的瞬时市场价格，因此很难具体说明。MMM通过假设α（t）是一个简单的确定性指数函数α（t）=αeηt来进行临界简化。

因此，在MMM下，GP S（t）遵循具有确定性时间变换的四维时间变换平方贝塞尔过程，并满足SDEdS（t）=αeηtdt+pαeηtS（t）dB（t），t∈ [0，T]（B.5）在真实世界概率测度P下；见Revuz和Yor（1999年）。这里η是股票指数的长期预期增长率，α是代表指数初始规模的常数。我们将模型中的归一化GP定义为Y（t）=ηαeηtS（t），t∈ [0，T]，满足SDEdY（T）=（1- Y（t））ηdt+pY（t）ηdB（t），t∈ [0，T]。（B.6）归一化GP在1级附近出现均值回复。归一化指数的平均反转意味着GP围绕其长期指数增长的“趋势反转”。有充分的证据表明，从长期来看，多元化程度较高的指数，如标准普尔500指数，会以趋势逆转的模式移动，这种趋势通常被解释为缓慢移动的“基本价值”过程；参见Shiller（2015）。通过将GP分解为标准化的GP指数Y（t）和一个简单的指数基值函数αeηtη，theMMM节约地捕捉到了这一重要的程式化事实。此外，归一化GP的瞬时平方波动率等于GP的瞬时平方波动率，与归一化GP的值成反比，从而产生所谓的杠杆效应。（B.6）中描述的归一化GP是一个维数为4的时间变换平方根过程，具有非中心卡方（NCX）分布的过渡定律，给定Nbyy（u）L=1- e-η（u-t） χ4e-η（u-t） 1个- e-η（u-t） Y（t）！，0≤ t<u≤ T、 （B.7）式中，χ（ζ）表示4阶NCX随机变量和非中心参数ζ；例如，见Broadie和Kaya（2006）。χ（ζ）随机变量具有所有正序的有限矩。

概率密度函数（PDF）由f（ζ，x）=e给出-ζ+xrxζ我pζx, x>0，（B.8），其中I（·）是第一类一阶修正贝塞尔函数，参见Revuz andYor（1999）。因此，归一化指数的转移密度函数由p（t，Y（t）给出；u、 Y（u））=1- e-η（u-t） f4e级-η（u-t） 1个- e-η（u-t） Y（t），1- e-η（u-t） Y（u）！。（B.9）值得一提的是，归一化GP是无量纲的，并且作为非平凡状态变量，因为时间段（t，u）上的跃迁密度非线性地取决于当前状态Y（t）。这与BSM形成了鲜明的对比，BSM将当前价格作为时间齐次几何布朗运动的比例因子。这种依赖性的一个含义是，与BSM不同，（B.5）既不是标度也不是时不变的。然而，请注意，GP作为时间变换的平方贝塞尔过程，具有一些自相似性。附录C.VA的定价与保证在本节中，我们考虑第2节所述VA产品的定价。对于一组给定现金流的定价，我们采用了随机贴现因子（SDF）的概念，其中现金流的现值由其预期值之和给出，经SDF贴现后，以所有当前信息为条件。风险中性定价和BA下的定价均可根据适当的SDF制定。有关风险中性定价理论的更多信息，请参见Delbaen和Schachermayer（2006）的一篇文章。有关BA的简要说明，请参见附录A。为了使用保证值函数V（0，X（0））对VA进行定价，我们注意到在任何提款日期（tn）之间均未进行提款-1，tn），并且财富账户在此期间是自我融资的。

这导致（左连续右极限）保证值函数V（t+n）的以下递推关系-1，X（t+n-1） ）=Et+n-1（D（tn-1，tn）V（tn，X（tn）），（C.1），其中Et（·）=E（··| X（t））是真实世界概率测度P下的期望，条件是X（t）和D（t，u）表示的当前信息，0≤ t<u≤ T是SDFover（T，u）。在BA下，SDF由D（t，u）=S（t）S（u）给出，即逆EGP的比率。在风险中性定价框架下，SDF D（t，u）=Z（u）Z（t），其中Z（t）：=EtdQdP作为测量值的Radon-Nikodym导数，从实际概率测量值P变为等效风险中性测量值Q，条件是t时的所有可用信息。在时间tn，0<n<n退出时，值函数的左侧极限满足以下跳跃条件V（tn，X（tn））=V（t+n，X（t+n））+C（γn，X（tn））。（C.2）换言之，提款前的担保价值是提款后的价值与提款现金流之和。主动保单持有人遵循一种动态策略，我们将其作为相应随机控制问题的解。也就是说，对于0<n<n，提取金额γ根据以下总价值最大化策略选择，γn=Γ（tn，X（tn））=arg max0≤γ≤A（tn）V（t+n，X（tn）\\γ）+C（γ，X（tn））, （C.3）其中X（tn）\\γ表示提取γ后的状态变量X（t+n），给定提取前的状态变量X（tn）的值。另一方面，被动策略文件夹遵循预先确定的退出值的静态策略。因此，契约值V（0，X（0））可以从（9）、（5）、（6）（C.2）和（C.1）以及所选策略中递归计算。算法1总结了这些步骤。

为了评估（C.1），我们将潜在风险因素离散化，并使用有限的总和近似（C.1）中的条件预期。对于BSM，风险因子取标度布朗运动B（t）√t、 对于MMM，风险因素是归一化的GP Y（t）。这两个风险因子都具有闭合形式的跃迁密度，以便于数值计算。动态策略下的契约值从下到下由任何简单策略（如静态策略）的相应值限定。如果简单策略的封闭式定价公式算法1递归计算V（0，X（0））1：初始化V（T+，X（T+））=02：设置n=N3：当n>0时，do4：使用最优策略（C.3）或预先确定的静态策略计算提款金额γnw 5：使用适当的现金流应用跳跃条件（C.2）计算V（tn，X（tn））。6：计算V（T+n-1，X（t+n-1） ）通过计算（C.1）的终值V（tn，X（tn））和适当的SDF D（tn-1，tn）7：设置n=n- 18： 结束时9：返回V（0，X（0））=V（0+，X（0+）值可用，算法1可以轻松修改，以计算简单策略次优值之上的最佳提取Premium。