最优拍卖期限：一种价格形成观点

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英文标题：
《Optimal auction duration: A price formation viewpoint》
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作者：
Paul Jusselin, Thibaut Mastrolia, Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider an auction market in which market makers fill the order book during a given time period while some other investors send market orders. We define the clearing price of the auction as the price maximizing the exchanged volume at the clearing time according to the supply and demand of each market participants. Then we derive in a semi-explicit form the error made between this clearing price and the efficient price as a function of the auction duration. We study the impact of the behavior of market takers on this error. To do so we consider the case of naive market takers and that of rational market takers playing a Nash equilibrium to minimize their transaction costs. We compute the optimal duration of the auctions for 77 stocks traded on Euronext and compare the quality of price formation process under this optimal value to the case of a continuous limit order book. Continuous limit order books are found to be usually sub-optimal. However, in term of our metric, they only moderately impair the quality of price formation process. Order of magnitude of optimal auction durations is from 2 to 10 minutes.
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中文摘要：
我们考虑一个拍卖市场，其中做市商在给定的时间段内填写订单，而其他投资者发送市场订单。我们将拍卖的结算价格定义为根据每个市场参与者的供需情况，在结算时使交易量最大化的价格。然后，我们以一种半显式的形式推导出该结算价格与有效价格之间的误差，作为拍卖持续时间的函数。我们研究了市场接受者的行为对这一错误的影响。为此，我们考虑了天真的市场接受者和理性的市场接受者通过纳什均衡来最小化交易成本的情况。我们计算了在泛欧交易所交易的77只股票的最优拍卖持续时间，并将此最优值下的价格形成过程的质量与连续限价指令簿的情况进行了比较。连续限制订单簿通常是次优的。然而，就我们的衡量标准而言，它们只会适度削弱价格形成过程的质量。最佳拍卖持续时间的数量级为2到10分钟。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：价格形成 Differential Optimization Quantitative Participants

最优拍卖持续时间：价格形成观点Paul Jusselin*, Thibaut Mastrolia+和Mathieu Rosenbaum''Ecole Polytechnique，CMAP2020年6月30日版本及补充材料。我们考虑的是一个拍卖市场，其中做市商在给定时间段内填写订单，而其他投资者发送市场订单。我们将拍卖的结算价格定义为根据每个市场参与者的供需情况，在结算时最大化交易量的价格。然后，我们以半显式形式推导出该结算价格与有效价格之间的误差ma，作为拍卖持续时间的函数。我们研究市场接受者的行为对这一错误的影响。为此，我们考虑了所有市场接受者和理性市场接受者的情况，他们通过纳什均衡来最小化交易成本。我们计算了泛欧交易所（Euronext）77只股票的最优拍卖持续时间，并将该最优值下的价格形成过程的质量与连续限价订单的情况进行了比较。连续限制订单簿通常是次优的。然而，就我们的衡量标准而言，它们只会适度削弱价格形成过程的质量。最佳拍卖持续时间的数量级为2至10分钟。关键词：微观结构、市场设计、拍卖、限价指令簿、连续交易、做市、纳什均衡、BSDE。1简介在大多数历史（lit）市场中，交易通过连续时间双重拍卖系统进行：连续限额订单簿（CL OB）。这种机制允许市场参与者在任何时间点以报价购买或出售股票。然而，市场订单系统地（至少）支付差价作为交易成本。

此外，随着做市商调整价格，成交量会影响价格*保罗。jusselin@polytechnique.edu+thibaut。mastrolia@polytechnique.edu马修。rosenbaum@polytechnique.edupositions作为对订单流量的反应，导致额外的交易成本。除此之外，有人认为某些机械故障是CLOB固有的，尤其是在高频交易的情况下。这场争论始于学术文献，尤其是影响深远的论文Budish et al.（2015），另见Farmer和Skouras（2012）；Wah和Wellman（2013）。在这项工作中，作者解释说，CLOB会导致明显的机械套利，并在高频做市商之间产生速度而非价格的竞争，从而损害最终投资者的利益。他们令人信服地表明，频繁的批量拍卖可以弥补这些缺陷。拍卖可能是金融市场运作的合适机制，这一观点并不新鲜。例如，在重要的论文Madhavan（1992）中，也可参见Garbade和Silber（1979），已经对拍卖与CLOB相比的利益进行了调查。当然，这项工作中的讨论并不是关于高频套利机会，而是基于这样一个事实，即拍卖将有利于价格形成过程，使投资者能够直接在其他人之间进行交易，避免向做市商支付差价成本。在Budish et al.（2015）中，作者提供了导致消除CLOB高频波动（约100毫秒）的拍卖期下限的数量级。然而，前面提到的文献表明，更长的拍卖时间可能是合适的，但通常没有给出数字。这就是为什么引用Budish et al.（2015）的话，更深入地了解延长拍卖间隔时间的成本是一个重要的话题。

这正是我们在本文中所做的。我们对金融市场上的最佳拍卖持续时间进行了可靠且可操作的定量分析，并将该机制的效率与CLOB的效率进行了比较。我们采用基于价格形成过程质量的标准，如Madhavan（1992），但在现代高频市场的背景下，如Budish等人（2015）。因此，我们希望弥合这两篇开创性论文之间的差距。事实上，人们对在标准CLOB之外进行交易的做法越来越感兴趣。例如，交易活动中很重要的一部分仍然是场外交易，越来越多的市场参与者转向新形式的市场结构，如暗池或拍卖。许多以aCLOB为主要机制的市场已经定期组织了一些拍卖，通常在交易日的开始和结束时进行。也存在拍卖市场，拍卖一整天都在一个接一个地进行，两次拍卖之间没有连续的交易阶段。在拍卖过程中，市场参与者可以发送和取消限价或市场订单。然后在某个时间（可能是随机的），确定清算价格，以最大化交易量，并以此价格执行匹配的订单。例如，BATS Cboe欧洲股票定期拍卖市场就是这样。在这个市场中，当发送第一个订单（限额或市场）时，就会触发拍卖。然后在随机时间进行结算，这样拍卖就不能持续超过预定的持续时间（100毫秒）。在拍卖背景下，监管机构或交易所的关键问题是为拍卖设定适当的时间段，并将该机制与CLOB的相关性进行比较。

Du和Zhu（2017）中，作者研究了拍卖市场在拍卖持续时间方面的效率。他们提出了一个基于微观agent的模型，其中包含确定或随机到达的私人和公共信息。代理根据其信息和一些个人特征优化其需求计划。以所有代理的平均效用为准则，证明了最优拍卖持续时间与外生信息到达规律有关。作者还研究了代理的异质速度的影响。他们表明，速度快的经纪人更喜欢短时间的拍卖，而速度慢的经纪人更喜欢长时间的拍卖。然而，对于不确定因素，它们不会给出最佳拍卖过程的任何结果。关于这一主题的大多数其他作品都使用价格形成的观点来评估拍卖规格的质量。Garbade和Silber（1979）就是这种情况，作者提出了拍卖市场价格形成的简单模型。有效价格和清算价格之间的平均平方差作为衡量标准，表明始终存在正的最佳拍卖持续时间。建议的最佳期限是平均效应（较长的期限允许大量代理人参与拍卖，从而减少对有效价格的不确定性）和波动风险（较短的期限导致较小的波动风险）之间的权衡。该模型已在Fricke和Gerig（2018）中重新定义。

在本文中，作者研究了该框架的几种一般化，例如多资产情况或做市商的存在，使用过滤技术和观察相关资产来推断清算时的有效价格。在我们的工作中，与Fricke和Gerig（2018）中的驱动力相同；Garbade和Silber（1979）将是确定最佳期限的关键：平均RSU波动风险的影响。然而，Fricke和Gerig（2018）的一个重要限制；Garbade和Silber（1979）认为，没有考虑市场秩序，因此所有代理人都可以被视为流动性提供者。有必要放宽这一假设，因为人们在实际交易中观察到了很大一部分市场需求，见Boussetta et al.（2017）。例如，具有按市值计价基准或在执行中寻求优先权的市场参与者通常可以使用市场订单。在计算最佳拍卖持续时间时，这类订单将发挥关键作用。这是因为持续时间长导致市场订单流量不平衡的差异较大，导致定价不准确。另一个重要的评论是《杜朱》（2017）；Fricke和Gerig（2018）；Garbade和Silber（1979），无法对拍卖和CLOB市场进行比较。这是因为球状结构不包括在其模型范围内。他们获得了生产市场的最佳持续时间，但不能说CLOB市场是否次优。在我们的建模中，https://markets.cboe.com/europe/equities/trading/periodicauctionsbookCLOBs与持续时间为零的拍卖完全一致，这使得在拍卖和CLOBs之间进行比较成为可能。在本文中，受早期文献的启发，我们将价格发现作为计算最佳拍卖持续时间的标准。

我们的方法在各个方向上延伸到inFricke和Gerig（2018）；Garbade和S ilber（1979）；Madhavan（1992年），其内容如下。我们考虑一个再生拍卖市场，拍卖从市场订单发出时开始，持续时间h。更准确地说，我们假设在（i- 1)-第次拍卖清算（endedat timeτcli-1） 限价订单簿被清空，新的市场阶段开始独立于过去。新的拍卖会在发送第一份市场订单的时间τopi开始。这一新的拍卖结束时间τcli=τopi+h。我们的模型包括CLOB和拍卖市场结构，因为CLOB对应于持续时间为0的拍卖（因为拍卖是由市场订单的到达触发的，就像在几个实际市场中一样，我们假设LO B在生产清算时永远为空）。在CLOB市场中，做市商优化报价与做市商寻找合适的执行时间之间存在竞争。在拍卖市场中，市场接受者还有获得廉价流动性的额外可能性：他们可以尝试将自己的订单与其他相反方向的市场订单进行匹配。例如，如果在拍卖结算之前发送了大量的买方市场订单，这对卖方市场接受者来说是一个很好的机会，可以按照之前的价格执行订单。在这种情况下，买卖市场接受者之间可能会出现一种新的竞争形式，市场制造商扮演着次要角色。我们还调查了这种情况，即市场接受者采取战略并采取最佳行动，以降低其交易成本。我们显著地证明了这个博弈存在一个纳什均衡。

在这个框架中，我们可以计算Etoo函数，从而找到最佳拍卖持续时间。从数学的角度来看，纳什均衡的存在归结为求解一个完全耦合的多维BSDE，该BSDE由具有非正间断生成器的计数过程驱动。Hamad\'ene和Mu（2014）在布朗框架下研究了与具有不连续生成器的BSDE系统相关的纳什均衡的存在性。与Hamad\'ene和Mu（2014）中的BSDE相关的BSDE基本上已在一维布朗案例中进行了调查（例如，见Jia（2008）；范和江（2012）；段和任（2013）；Tian et al.（2013））考虑将半连续生成器与Y过程联系起来，将Lipschitz连续生成器与Z联系起来。通常可以获得这些BSDE的解的存在性，这不是唯一性的情况，参见f或实例（Jia，2008，备注4）。Fan（2018）提出了对多维情况的扩展（仍然考虑关于Z的g Lipschitz连续生成器），并给出了唯一性结果。在Heyne et al.（2014）中，作者成功地削弱了关于Z分量的连续性假设，并证明了在正生成器或宽松条件下一维情况下最小解的存在性和唯一性，参见（Heyne et al.，2014，第3.3节）。据我们所知，我们的存在性结果是新的，并将Hamad\'ene和Mu（2014）扩展到计数过程的情况。如上所述，唯一性问题特别复杂，超出了本文的范围。最后，基于泛欧交易所的数据，我们使用我们的模型计算了77只在泛欧交易所交易的欧洲股票的最优拍卖持续时间。

Firststriking结果表明，建议的持续时间远大于几毫秒，而不是1到5分钟。第二个问题是，根据我们的度量，CLOB是ind-eed次优的。然而，CLOB市场的价格形成过程的质量与最佳持续时间拍卖的质量相差不远。当然，这项工作只是全面分析拍卖问题的第一步，因为我们在这里关注的是一个特定（但至关重要）的标准。其他方面，如流动性、交易量效应和费用或潜在的套利机会，当然应该在未来的工作中加以考虑。我们还忽视了做市商策略的潜在优化，例如，他们可以根据当前市场订单的不平衡，在拍卖过程中修改报价。尽管如此，我们相信我们的结果是独创的，足以帮助交易所和金融机构从市场设计的角度重新思考其政策。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了拍卖机制和我们的模型。我们还提供了关于函数E计算的第一个主要结果。第3节考虑了战略市场接受者优化其交易成本的情况。我们的校准方法和股票数据的数值结果见第4节。第5节提供了财务见解。证据被归入附录。2模型在本节中，我们介绍我们的拍卖市场模型。我们描述了市场的组织和两类代理人的行为：做市商填写限价指令簿（LOB）和做市商发送市场指令。然后我们导出清算规则并计算清算价格。

最后，我们提供了价格形成过程质量的半显式表达式。2.1拍卖市场设计我们认为拍卖市场是由市场订单引导的独立顺序拍卖组织的。更准确地说，在市场开放或拍卖清算后，新的拍卖将在发送第一份市场订单时开始。我们写（τopi）i∈N*拍卖开放时间顺序和（τcli）i∈N、 对于清除时间序列，τcl=0。拍卖会的持续时间为h秒，允许市场参与者会面。当h=0时，我们的模型对应于CLOB市场，因为任何市场订单都与LOB中存在的限额订单相匹配。对于在某个时间τopi开始的给定拍卖，市场参与者可以发送市场或限制订单。在拍卖清算时间τcli=τopi+h时，以Pclτcli表示的清算价格被设置为最大化交易量。更准确地说，愿意以低于Pclτcli的价格出售股份的卖方将其股份出售给愿意以高于Pclτcli的价格购买股份的买方。每个已清算股份以清算价格出售，独立于相关限额订单（如有）的标价（有利于参与者发送限额订单）。2.2做市商和做市商在一天中，做市商随机进入市场，并发送限价订单以填充LOB。在i期间-市场p期做市商到达时间由（τcli）给出-1+τi，mmk）k≥0其中τi，mmkis是k-计数过程的第次事件时间（Ni，mms）s≥我们描述了k提供的流动性-由其供应职能部门Sk组成的做市商。这种供应函数取决于做市商在结束限价指令时对结算时有效价格的看法。有效定价过程为（Ps）s≥0和可以被视为特定时间做市商对标的资产“公允”价值的平均意见。