仿射粗糙波动率的深曲线相关偏微分方程

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英文标题：
《Deep Curve-dependent PDEs for affine rough volatility》
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作者：
Antoine Jacquier and Mugad Oumgari
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We introduce a new deep-learning based algorithm to evaluate options in affine rough stochastic volatility models. We show that the pricing function is the solution to a curve-dependent PDE (CPDE), depending on forward curves rather than the whole path of the process, for which we develop a numerical scheme based on deep learning techniques. Numerical simulations suggest that the latter is extremely efficient, and provides a good alternative to classical Monte Carlo simulations.
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中文摘要：
我们引入了一种新的基于深度学习的算法来评估仿射粗糙随机波动率模型中的期权。我们证明了定价函数是依赖于曲线的偏微分方程（CPDE）的解，它依赖于前向曲线而不是整个过程的路径，为此我们开发了一个基于深度学习技术的数值方案。数值模拟表明，后者非常有效，为经典蒙特卡罗模拟提供了一个很好的替代方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Deep_Curve-dependent_PDEs_for_affine_rough_volatility.pdf (605.42 KB)

2022-6-24 03:03:20 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 波动率 偏微分 Quantitative

仿射粗糙挥发度的深曲线依赖型偏微分方程Toine JACQUIER和MUGAD OUMGARIAbstract。我们引入了一种新的基于深度学习的算法来评估粗糙随机波动率模型中的期权。我们证明了定价函数是曲线依赖型偏微分方程（CPDE）的解，它依赖于前向曲线而不是整个过程的路径，为此我们开发了一个基于深度学习技术的数值模式。数值模拟表明，后者非常有效，为经典蒙特卡罗模拟提供了一个很好的替代方案。1、简介自Black和Scholes模型[16]以来，金融建模中的随机模型经历了许多转变，其最新革命由Gatheral、Jaisson和Rosenbaum[38]首创，引入了粗糙波动率的概念。在这种情况下，瞬时波动率是由分数布朗运动驱动的异方差方程的解，该分数布朗运动具有小（小于一半）赫斯特指数，这是路径低H¨older正则性的同义词。这一特征不仅与历史时间序列（historicaltime series）[38]相一致，而且还可以进一步捕捉到股票期权的货币偏斜这一臭名昭著的现象，如[3、9、8、33、34]所述。从那时起，许多人致力于倡导这类新模型，并充分展示其能力，尤其是作为一大类资产的精确动力学，以及波动率指数的一致定价[50，54]。虽然没有什么是免费的，但这种新范式的另一面是计算成本。

除了拉夫赫斯顿模型[1、30、31、29、28]及其有效扩展[2、39]之外，分数布朗运动的马尔可夫性的缺失阻止了蒙特卡罗模拟以外的任何定价工具；传统上，连续高斯过程（包括分数布朗运动）的模拟只要比标准布朗运动慢一步。然而，这些粗糙波动率模型在估计和校准方面的明显优势鼓励了定价数值方法的深入和快速创新，特别是现在的标准混合方案[12，47]以及Donsker类型定理[49，67]、数值近似[6，46，40]和基于机器学习的技术[10，74]。事实上，行业实践往往根深蒂固，不是在纯粹的随机波动率模型中，而是在局部波动率成分“a la Dupire[21]增强的模型中，从而确保对观察到的欧洲期权价格表面的精确拟合。因此，粗波动率模型的下一步自然是包括此类成分。我们自然会在我们的环境中包含这种可能性，尽管只是以理论的方式。虽然这可以通过模拟来实现，但我们采用了不同的策略，遵循了Viens和Zhang[75]最近的发展，他们证明了粗糙挥发模型的Feynman-Kac定理的类似版本。然而，基本的区别在于，相应的偏微分方程是无路径依赖的。这迫使我们重新审视经典的市场完整性结果，建立粗糙局部随机波动率模型。Touzi、Zhang和合著者【24、25、26】对路径相关偏微分方程（PPDE）进行了深入研究，我们将从他们的工作中得出存在性和唯一性。

尽管取得了这些进展，但在数值上解决这些PPDE方面的研究还很少，唯一的例外是张和卓[5]以及任和谭[69]提出的Barles和Souganidis单调方案的路径依赖版本。然而，其执行情况还远不明显。在粗略波动的背景下，我们表明定价函数取决于前瞻性曲线，而不是日期：2020年11月26日。2010年数学学科分类。35R15、60H30、91G20、91G80。关键词和短语。粗糙波动性、深度学习、路径依赖型偏微分方程。此处表达的观点和意见是作者的，并不代表其雇主的观点。他们不对这些内容的任何使用负责。本演示文稿的任何部分均无意影响投资决策或推广任何产品或服务。作者要感谢Lukasz Szpruch和Bernhard Hientzsch对讨论的鼓励，以及裁判和副主编的深刻评论。2 ANTOINE JACQUIER和MUGAD OUMGARIthan介绍了整个过程（包括过去）。因此，我们考虑路径依赖型偏微分方程的一个子类，我们称之为曲线依赖型偏微分方程（CPDE），针对该类偏微分方程，基于定价CPDE的离散化，我们开发了一种新算法，然后使用E、Han和Jentzen开创的深度学习技术进行求解【23】。我们顺便注意到，使用机器学习（或深度学习）技术来解决高维alpdes最近是几种方法的焦点。很长一段时间以来，神经网络确实被用来求解偏微分方程（PDE）[60，61]；最近，Sirignano和Spiliopoulos【73】提出了一种不依赖于给定网格的算法（与之前的文献相反），从而允许更容易地扩展到多维情况。

在撰写本论文的过程中，我们又发现了另外两个思想，这两个思想在精神上与我们从[23]中借用的思想相似：Sabate Vidales、Siˇska和Szpruch[72]，以及andHur\'e、Pham和Warin[51]，他们也使用了与PDE相对应的BSDE——尽管方式不同——来应用机器学习技术。由于我们在这里的设置不仅仅是为了解决高维偏微分方程，因此我们暂时不需要对这些不同方案进行精确比较。本文将遵循一个自然的过程：第2节介绍了分析的财务建模设置，介绍了粗略的局部随机波动率模型，并证明了初步结果，为其在定量金融中的应用奠定了基础。在第3节中，我们表明，在这种情况下，金融衍生工具是曲线相关PDE的解决方案，为此我们提出了一种离散化算法，并采用了【23】中开发的深度学习方法。我们在第5节中展示了该技术对于粗糙Heston模型的有效性和准确性。我们在附录中收集了一些长的证明和提醒，以避免干扰论文的流动。2、建模框架为了深入了解建模框架和我们的主要设置，我们推迟到附录A，以查看由Viens和Zhang开发的随机Volterra系统的功能It^o公式【75】。我们引入了一个粗糙的局部随机波动率模型来研究股票价格过程的动力学。在divinginto进行数值考虑之前，我们将无套利和市场完整性的经典框架应用于此设置，以确保定价和校准完全有意义。2.1. 粗糙（局部）随机波动率模型。这里我们对随机波动率模型感兴趣，其中波动率是粗糙的，从[38]的意义上来说。

根据历史测量，这可以写成（2.1）St=S+ZturSrdr+Ztl（r，Sr，Vr）SrdWr，Vt=V+ZtK（t- r）b（Vr）dr+ξ（Vr）dBr,d hW，位=ρdt，其中ρ∈ [-1，0]，S，Vare严格正实数，W和B是两个标准的布朗运动。设置X=（S，V），我们可以将系统重写为（2.2）Xt=X+Ztb（t，r，Xr）dr+Ztσ（t，r，Xr）·dBr，其中b（t，r，Xr）=urSrK（t- r） b（Vr）和σ（t，r，Xr）=ρl（t，Sr，Vr）Srρl（t，Sr，Vr）Sr0 K（t- r） ξ（Vr）,式中ρ：=p1- ρ和B=（B⊥, B） ，W：=ρB+ρB⊥. X的SDE表示一个随机Volterra系统，通常不是马尔可夫系统。原则上，我们可以考虑更多的通用性，并在[75]之后假设，对于任何t≥ 0和r∈ [0，t]，系数b和σ取决于过去的轨迹Xr∧·,例如，包括具有延迟的模型。然而，在我们感兴趣的应用程序中不需要这样的扩展，我们也不会追求它。备注2.1。我们只能对函数l（·）的行为作出一般性假设，足以确保系统的存在性和唯一性。数学金融学中的一个经典例子是l（t，S，V）=（V），对于某些函数（·），在这种情况下（2.1）对应于一个（粗糙的）随机波动率模型。更一般的设置是局部（粗糙）随机波动率模型，l（·）的形式为l（t，S，v）=l（t，S）（v），仿射粗糙波动率3的深曲线依赖型偏微分方程，其中l（·，·）通常称为杠杆函数。根据Dupire【21】和Gy¨ongy【45】的结果，如果想要确保该模型精确校准到欧洲期权价格，那么等式σL（t，s）=等式l（t，St，Vt）| St=s= 均衡器L（t，St）（Vt）| St=s= L（t，s）等式（Vt）| St=s每t，s必须保持≥ 0，其中称为局部波动率的函数σLis（至少在理论上）直接从欧洲期权价格中获得。

这里Q表示任何给定的风险中性度量（我们稍后会显示，实际上有很多）。我们将在下面（假设2.2和定理2.5）说明这种概率测度的存在，从而使该模型对期权定价有意义。然后，只要右侧有意义，杠杆函数可以直接恢复为（2.3）L（t，s）=σL（t，s）pEQ[（Vt）| St=s]，下面的假设2.2确保了这一点。右边的项是关于股票价格的条件期望，因此，无论方差过程是否为马尔可夫过程，它只依赖于t和{St=s}。这类模型的优势在于确保对欧洲期权价格进行完美（至少在理论上）校准，同时为其他期权定价提供灵活性，尤其是路径相关或奇异期权。（2.1）的存在性和唯一性的严格证明超出了本文的范围；事实上，即使是在经典的（非粗略的情况）中，也还没有一个普遍的答案，只有最近在这个方向上取得了进展。从数值角度来看，可以使用Guyon和Henry Labord\'ere开发的粒子方法精确地校准杠杆函数【44】。

理想情况下，我们希望在不久的将来实现这一点，人们应该将后者与粗糙波动率成分的模拟相结合，以便完美地校准香草微笑，同时捕捉市场的其他具体情况。我们将始终在以下考虑因素下工作：假设2.2。（i） 内核K∈ Lloc（R+→ R） 允许第一类预解，并且存在γ∈ （0，2）使得zhk（t）dt=O（hγ）和zt[K（t+h）- K（t）]dt=O（hγ），对于每t≥ 0，当h趋于0时；（ii）函数b和ξ是线性的，形式为b（y）=b+by，ξ（y）=a+ay；（iii）对于任何t≥ 0，当任何v>0时，映射l（t，·，v）远离零且在C上方有界，且l（t，s，·）严格正，远离零且与l（t，s，y）一致H¨older连续≤C（1+| y | p）对于某些C>0和p∈ (0, 1).;（iv）系统（2.1）允许唯一（弱）解决方案；核K的形式确保方差过程具有平稳的增量。我们记得，如果这些品质*L=L*K=1保持，L：R+→ 局部有界变差的R，则L称为第一类K（此处* 表示卷积运算符）。我们借用[2]中的条件（ii），在纯随机波动率情况下，l（t，s，v）≡√v、 我们正处于一个有效的Volterrasystem（log（S），v）的设置中。事实上，仅此条件即可确保过程V是一个有效的Volterra过程，并且根据[2，定理3.3]，假设2.2（i）确保V的SDE允许连续弱解。这尤其意味着[2，定理4.3]，在适当的可积性条件下，（2.4）EeuVT公司英尺= exp{φ（T- t） +ψ（t- t） Vt}，对于任何0≤ t型≤ T、 其中，两个函数φ和ψ满足Riccati方程组|ψ（T）=bψ（T）+aψ（T）和|φ（T）=bψ（T）+aψ（T），边界条件ψ（0）=u，φ（0）=0。

假设2.2（i）再次借用了文献[2]，我们请感兴趣的读者参阅本文，以获得满足此条件的内核示例。迄今为止，定量金融中的大多数例子，如幂律核K（t）≡ tH公司-1/2和Gamma核K（t）≡ tH公司-1/2e-λt，forH∈ （0，1），λ>0，适用于该框架。最后，假设2.2（iii）允许表示（2.5）St=SexpZt公司uu-l（u、Su、Vu）du+Ztl（u、Su、Vu）dWu4 ANTOINE JACQUIER和MUGAD OUMGARIto是有效的，因为借助中兴通讯，随机被积函数是平方可积的l（u、Su、Vu）杜邦≤ CCZtE公司1+| Vu | 2p杜。备注2.3。函数l（·）的假设一开始可能看起来有限制，特别是关于S空间中的有界性；在局部波动率模型（备注2.1）中，这意味着每个t≥ 图L（t，·）的0；当通过（2.3）从市场数据推断时，它可能没有界限；但对于基础的大值，通常会截断它，我们始终遵循这一惯例。备注2.4。我们可以将略有不同的设置视为（2.1），其中内核不适用于过程V的整个动力学，而仅适用于差异部分，其精神是由VolterraGaussian噪声驱动的差异【8、38、48】。在简单的情况下，根据Comte和Renault[18]的研讨会论文，方差过程是Volterra随机方程（2.6）的唯一强解Vt=Vebt+aZteb（t-u） dBHu。其中bH是具有赫斯特指数H的分数布朗运动∈ （0，1），接受代表bht=RtK（t- u） Dbuf对于一些标准布朗运动B，其过滤作用与BH相同【19】。

（2.6）中的过程V是一个具有有限方差的连续高斯过程，Fernique的估计值[32]比Ehexpαsupt∈[0，T]| Vt | p对于任何α，T>0和p<2，都是有限的，因此对于任何α>0，EheαRtl（u，Su，Vu）dui≤ E经验值αCCZt1+| Vu | 2p杜邦≤ E“exp（αCCt”1+supu∈[0，t]| Vu | 2p#）#是有限的且（2.5）成立。2.2. 市场完整性和无套利性。在相关参数不同于-1和1，这两种噪音的存在使得市场不完整。为了能够使用系统（2.1）进行定价，我们需要说明如何完成市场，并检查是否存在某种概率测度，在这种概率测度下，股票价格是真鞅。El Euch和Rosenbaum【29】解决了后一个问题，而Gassiat【35】最近证明了具有非正相关的粗糙Bergomi案例。我们表明，这在我们的框架中仍然有效。我们假设存在一个产生无风险利率（rt）t的货币市场账户≥0、定理2.5。市场是不完整的，没有套利。证据我们在历史测度P下编写了（2.1），但出于定价目的，我们需要在定价测度Q下编写它。引入风险的市场价格作为适应过程（λt）t≥0和（βt）t≥0使得（2.7）ρλt+ρβt=ut- rtl（t，St，Vt），这是很好的定义，因为根据假设2.2（iii），分母是严格正的。现在，我们通过其Radon-Nikodym导数QDP定义概率测度Q英尺：=膨胀-Zt公司λs+βsds公司-Zt公司λsdB+βsdB⊥s,因此，Girsanov定理【58，第3.5章】暗示过程BQ和BQ，⊥由Bqt定义：=Bt+Ztλudu和BQ，⊥t： =B⊥Q下的t+Ztβuduare正交布朗运动。