基于神经网络的经济仿真模型贝叶斯估计

（9） 虽然可能会采用其他密度估计程序，但我们对MDN的考虑主要是出于其理想特性。具体而言，MDN在理论上能够近似相当复杂的条件分布。这直接源于以下事实：正态随机变量的混合物是足够大K的通用密度近似器（Scott 2015），以及神经网络是通用函数近似器（Hornik et al.1989），前提是它们具有足够的表达能力。因此，如果K足够大，并且构建的神经网络足够深（和宽），上述方法应产生准确的条件密度估计。9注意，这些讨论主要是说明性的，有助于简要描述和激励我们的方法。附录A.2.4方法比较和基准中提供了对其实施的详细技术描述。鉴于我们现在已经描述了拟议的估算方法，我们将继续讨论我们的策略，以与Grazziniet al.（2017）的方法进行基准比较，我们在该策略中采用了与Platt（2019）中采用的策略类似的策略。我们首先让Xsim（θ，T，i）作为候选模型的输出，M。因为经验观察到的数据只不过是真实数据生成过程的一个实现，而真实数据生成过程本身可能被视为一个具有自己参数集的模型，因此我们可以考虑X=Xsim（θtrue，Temp，i*) 作为M可以校准到的真实数据的代理。在这种情况下，我们基本上是使用真实参数值θtrue已知的数据来估计一个完全特定的模型。

可以说，在这种理想化的情况下，一种好的估计方法将能够在一定程度上恢复这些真值，而产生更接近θ真值的估计值的方法将被认为是优越的。这导致我们定义了以下损失函数（θ真，θ）=θ真-^θ| |，（10），其中^θ是给定贝叶斯估计方法产生的参数估计（后验平均值）。在实践中，重要的是，在计算损失函数值之前，对^θ和θtrues进行归一化，以取区间[0，1]中的值。这是因为，即使与通常采用较大值的参数相关的相对较小的估计误差，也会大大增加损失函数值，而不是与通常采用较小值的参数相关的相对较大的估计误差（如果不进行归一化）。因此，对于每个自由参数，θj∈ [a，b]，我们设置^θ[0,1]j=^θj- ab公司- a、 （11）将类似变换应用于θtruej。上述内容使我们能够开发一系列基准测试练习，其中我们比较了与我们提出的方法相关的损失函数值和Grazzini et al.（2017）针对许多不同模型、自由参数集和θTrueValue的损失函数值。在所有这些比较练习中，我们的目标是确保实验的总体条件始终一致，而不管使用何种方法来近似可能性。因此，在所有情况下，我们将真实数据的Proxy长度设置为Temp=1000，将模拟集合中的蒙特卡罗复制次数设置为R=100，将模拟组件中每个系列的长度设置为Tsim=1000，并将所有自由参数的先验值设置为在探索的参数范围内统一。此外，我们还将samelag长度L=3用于所有涉及基于神经网络方法的估计尝试。

虽然这种选择看似武断，但其动机非常明确，第5.1节对此进行了详细讨论。最后，用于对后验值及其相关超参数进行采样的MCMC算法在所有实验中保持不变。我们没有使用标准的随机行走Metropolis-Hastings算法，而是采用了Grif fin和Walker（2013）提出的自适应方案，该方案允许更有效的初始化、更快的收敛和更好地处理多模态后验。3候选模型根据我们现在描述的评估和基准策略，我们将介绍我们尝试评估的候选模型。他们的选择主要是jus10，而构造的损失函数将作为我们的主要度量，我们还将考虑一些其他相关标准，例如获得的后验值的标准偏差。11附录B中给出了该程序的完整描述。根据其普遍性；每一项都出现在许多校准和评估研究中，使其成为该领域的标准测试案例。虽然模拟成本较低，但大多数都能够产生细微的动力学，因此对于大多数当代估算方法来说，这仍然是一个合理的挑战。由于我们在这里的重点是拟议估计程序的基准，而不是使用经验数据估计候选模型，因此我们的讨论将相对简短。

然而，在实证调查中，有必要证明所选模型是所考虑系统的合理表示。3.1 Brock and Hommes（1998）模型我们介绍的第一个模型，也是现有文献中最流行的模型，是Brock and Hommes（1998）模型，这是一类模拟模型的早期示例，该模型试图通过模拟遵循各种交易策略的异质交易者之间的交互来模拟艺术股票市场上的资产交易。我们关注的是该模型的一个特殊版本，它可以表示为一个耦合方程组，yt+1=1+rH∑h=1nh，t+1（ghyt+bh）+et+1，et~ N（0，σ），（12）nh，t+1=经验值（βUh，t）∑Hh=1exp（βUh，t），（13）Uh，t=（yt- Ryt公司-1） （ghyt-2+bh- Ryt公司-1） ，（14）式中，ytis时间t的资产价格（与基本值p的偏差*t） ，nh，tis遵循策略h的交易员代理人比例∈{1，2，…，H}在时间t，andR=1+r。每个策略H都有一个相关的趋势跟踪分量gh和偏差bh，两者都是实值参数。该模型还包括影响所有交易员代理人的正价值参数，无论他们目前采用何种策略，尤其是β，它控制着代理人在各种策略和现行市场利率之间切换的速度r。最后，假设i.i.d.股息过程，基本值p*t=p*isconstant，允许我们获得时间t的资产价格，pt=yt+p*. （15） 3.2结构断裂的随机游动我们考虑的第二个模型是能够复制简单结构断裂的随机游动，根据toxt+1=xt+dt+1+et+1等定义~ N（0，σt），（16）式中，dt，σt=（d，σt≤ τd，σt>τ。（17） 12例如，Recchioni et al.（2015），Lampertiet al.认为Brock and Hommes（1998）模型是可行的。

Franke和Westerhoff（2012）和Lux（2018）考虑了Kukacka和Barunik（2017）以及Franke和Westerhoff（2012）模型。13感兴趣的读者应参考Brock和Hommes（1998），详细讨论模型的模糊假设和上述方程组的推导。与Brock和Hommes（1998）模型不同，上述模型并不是真实世界系统的代表，而是专门构建的测试示例，旨在挑战估算方法。如前所述，许多大型资产负债管理产生了以结构断裂为特征的动态，并且允许我们将我们的方法与Grazzini et al.（2017）的方法进行比较，如果所考虑的数据显示了普遍动态的明显时间变化，则将其包括在内。3.3 Franke和Westerhoff（2012）模型我们讨论的最终模型与之前描述的Brock和Hommes（1998）模型在概念上有许多相似之处，这是一个异质代理模型，模拟了交易员遵循多种交易策略的互动。

然而，这在许多关键领域是不同的，特别是在如何确定代理从一种策略切换到另一种策略的可能性，以及在其只包含两种交易者类型，图表主义者和原教旨主义者。与Brock和Hommes（1998）模型一样，该模型的核心元素可以表示为耦合方程系统spt=pt-1+ unft公司-1英尺-1+nct-1dct-1., （18） dft=φ（p*- pt）+eft，eft~ N（0，σf），（19）dct=χ（pt- pt公司-1） +ect，ect~ N（0，σc），（20）nft=1+exp(-βat-1） ，（21）nct=1- nft，（22），其中PTI是t时的对数资产价格，p*是（常数）基本值的对数，Nf和Nc分别是时间t时原教旨主义者和图表主义者的市场份额，dft和dct是相应的平均需求，其余符号均对应于正值参数。在这一点上，值得指出的是，Franke和Westerhoff（2012）并没有引入单一的模型，而是在相同的基础上引入了一系列相关的公式（等式18-22）。这些模型在定义方式、t期末原教旨主义相对于宪章主义的吸引力方面有所不同，并融合了许多不同的机制，包括财富、羊群效应和价格失调。

这使得考虑模型的多个版本是有价值的，因此我们考虑两个建议的版本：at=αn（nft-nct）+α+αp（pt- p*), （23）称为放牧、易感和错位（HPM），GST=[经验值（pt）-exp（pt-1） ]dst-2，s={f，c}，（24）wst=ηwst-1+ (1 - η） gst，（25）at=αw（wft-wct）+α，（26）14 Lamperti（2017）首次使用该模型的这一特定实例来测试称为GSL-div.15αn、αw和αpare严格正的信息论标准，而α可以具有任何实际值。称为财富和倾向（WP）。最后，我们考虑rt=pt- pt公司-1、日志返回过程，而不是在我们的估算尝试中。4结果与讨论4.1 Brock和Hommes（1998）模型我们现在从Brock和Hommes（1998）模型开始，介绍我们的对比实验结果。在这些实验中，我们考虑了一个H=4交易策略的市场，并重点估计g、b、g和b，其中两种策略的趋势跟踪和偏差成分。对于第一个自由参数集，我们考虑g，b∈ [-1，0]和g，b∈ [0，1]，分别对应于具有负偏差的反向策略和具有正偏差的趋势跟踪策略。对于第二个自由参数集，我们考虑g，b，g∈ [0、1]和b∈ [-1，0]，分别对应于带有正偏差和负偏差的趋势跟踪策略。参考图1，我们观察到，对于第一个自由参数集，我们提出的方法与Grazzini等人（2017）的方法在性能上存在明显差异。

虽然这两种方法在估计偏差分量时表现相似，但我们提出的方法得出的gand G的边际后验概率不仅显著接近真实参数值，而且显著变窄和更峰值，其密度集中在参数空间的较小区域。这可以被视为减少估计不确定性的指标。1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0g20.00.51.01.52.02.5p（g2）先验密度TruePoster Meanster Density 1.0 0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0B20510152503540P（b2）先验密度TruePoster Meanster Density 0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0g30.51.01.52.0p（g3）先验密度TruePoster Meanster Density 0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0B305101520255350 03540P（b3）前密度真后平均后密度（a）MDN1.0 0.8 0.6 0.40.2 0.0g20.00.20.40.60.81.01.21.41.6p（g2）优先密度TruePoster Meanswer Density 1.0 0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0b205101520p（b2）优先密度TruePoster Meanswer Density 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0g30.00.20.40.60.81.01.21.4p（g3）优先密度TruePoster Meanswer Density 0.2 0.4 2530.6 0.8 1.0B305101520P（G30 b3）先验密度真后验平均后验密度（b）Kd图1：边缘Brock和Hommes（1998）模型自由参数集1的后验分布。表1详细阐述了这些发现，并揭示了在第二个自由参数集的情况下也会出现类似的行为。具体而言，我们发现，两种方法的后验平均数（uposterior）对b带的估计值或多或少相等，而我们提出的方法的后验平均数似乎对两种情况下的Gandgin的估计值都有显著的优势，从这一点起，最终领先16，我们使用KDE参考Grazzini等人（2017）的方法，使用MDN参考我们在所有表格和图表中提出的方法。降低损失函数值。

我们还观察到，我们的方法导致所有自由参数的后验标准差（σ后验）一致减少，这与我们在图1中观察到的估计不确定性减少的结果一致。表1:Brock和Hommes（1998）模型GBGBParam集1θtrue的估计结果摘要-0.7-0.4 0.5 0.3MDNu后-0.6931-0.4048 0.5505 0.3160σ后验0.1681 0.0105 0.1864 0.0103σ后验0.0051 0.0002 0.0055 0.0003LS 0.0536KDEu后验-0.5910-0.4004 0.4092 0.3083σ后验0.2787 0.0254 0.2603 0.0197σ采样0.0089 0.0012 0.0130 0.0011LS 0.1421参数集2θtrue0.6 0.2 0.7-0.2MDNu后验0.6021 0.2401 0.7493-0.2304σ后验0.1804 0.0149 0.1662 0.0147σ采样0.0116 0.0004 0.0090 0.0004LS 0.0705KDEu后验0.4658 0.2410 0.6461-0.2330σ后验概率0.2803 0.0677 0.2571 0.0666σ样本0.01693 0.0067 0.0145 0.0067LS 0.1539g=b=b=0，g=1.01，r=0.01，β=10，两个自由参数集的σ=0.04。在附录B中，我们描述了用于对后验值进行取样的方法，我们指出，我们在不同的初始条件下多次运行该程序，并将获得的样本合并为一个更大的样本，我们从中估计uposterior和σposterior。然而，我们可以单独估计每次运行的后验平均值，并确定算法实例中uposterioracross的标准偏差，我们称之为σsample。如表1所示，这两种方法的标准偏差通常非常小，表明后验平均值估计值通常是稳健的。4.2带结构断裂的随机游动根据Brock和Hommes（1998）模型，我们现在讨论带结构断裂的随机游动的估计。

在这些实验中，我们考虑固定的结构断裂位置，τ=700，并确定这两种方法能够估计断裂前后漂移d、d的程度∈ [0，1]和波动率σ，σ∈ [0，10]，对于17中不同的基本变化，这对于本研究中考虑的所有自由参数集和模型都是正确的。18这导致数据中存在一定程度的不对称，并导致比τ=500更具挑战性和现实性的估计问题。动力学虽然第2.4节中描述的损失函数仍将用作我们的主要指标，但我们注意到，由于考虑的自由参数直接决定了数据不同状态的动态特征，评估竞争方法能够正确识别参数之间关系的程度，以及由此导致的中断前和中断后动态变化，也是值得的(丹σ).表2：随机游走模型（波动率增加）σσ的估计结果汇总σ参数集1θtrue1 2 1MDNu后验1.0585 1.9957 0.9372σ后验0.8153 0.6517-σ取样0.0137 0.0629-LS 0.0059KDEu后验概率0.9966 1.9084 0.9118σ后验概率0.4113 0.2719-σ取样0.0430 0.0197-LS 0.0092参数集2θtrue1 2 1MDNu后验1.0205 1.9598 0.9393σ后验0.5660 0.4605-σ取样0.0216 0.0478-LS 0.0045KDEu后验0.9790 1.8930 0.9144σ后验0.0923 0.2141-σ取样0.0046 0.0169-对于自由参数集1，LS 0.0109d=0.4和d=0.5；对于自由参数集2，d=0.1和d=0.2。然而，在继续之前，应该强调一些细微差别。由于是随机游走，该模型明显产生非平稳时间序列，因此违反了Grazzini等人（2017）方法的关键假设。因此，有必要考虑一系列的第一个差异，xt- xt公司-1，而不是XT本身。