高维协方差的稀疏近似因子估计

非零对角线元素从均匀分布U（0,0.2）中独立绘制。最后，我们考虑的最后一个设计是基于Bai和Yao（2012）的广义尖峰协方差模型。更准确地说，我们使用以下定义：∑∑∑s=diag（r，r，r，r，0，··，0）+∑∑u，（14），其中r- R对应于四个尖峰特征值，∑∑∑Ui是基于等式（13）中的统一m设计的协方差矩阵。由于协方差矩阵设计符合近似因子模型框架，基于事实rmodel规范的估计方法可能会从该设置中受益。更准确地说，方程式（14）的第一部分符合四因素AF M中公共分量的特征值分布，而方程式（14）的第二部分对应于特质分量的协方差矩阵，允许误差之间存在弱相关性。在模拟中，我们考虑了以下峰值特征值的规格：r=r=N，r=N0.8，r=N0.5。该设计符合弱因素框架，其中前两个因素是强因素，后两个对应于弱因素。对于所有三种协方差矩阵设计，我们从具有零总体均值的多元正态分布中绘制了一个时间独立的随机数据序列XXX。G时间维度T设置为60，这与具有5年月度数据的数据集有关。复制的数量是1000。此外，我们考虑XXX和setN的几个维度∈ {30, 50, 100, 200}. 作为真实协方差矩阵和估计协方差矩阵之间差异的拟合优度标准，我们使用Frobenius范数。4.2备选协方差估计策略Stable1概述了在蒙特卡罗实验中比较的协方差矩阵估计方法。

补编第S.3节提供了备选策略的更多详细说明。由于观察因子模型SIM和FF3F需要额外的、可观察的经济因子，因此仅在我们对投资组合选择的实证应用中考虑它们。4.3模拟结果下表2包含真实协方差矩阵均匀设计的蒙特卡罗结果，表3给出了基于稀疏协方差矩阵设计的结果，而表4显示了具有尖峰特征值的协方差矩阵设计的结果。有趣的是，我们发现了一个非常相似和清晰的画面。就拟合优度而言，我们的稀疏近似因子模型方法提供了最小的Frobenius范数，即SAF最适合真实协方差矩阵。这些结果适用于所有三种截然不同的设计、所有维度以及变量之间的关联度。请注意，相同蒙特卡罗实验的优势是基于五个自由度的多元t分布数据得出的。

结果与多元正态分布非常相似，可根据要求获得。表1：考虑的模型1/N等权投资组合样本协方差矩阵估计器因子模型SAF稀疏近似因子模型POET协方差矩阵估计器byFan、Liao和Mincheva（2013）DFM动态因子模型估计为inDoz、Giannone，Reichlin（2011）SIM Single Index Model bySharpe（1963）FF3F 3-Fama and Fr ench（1993）协方差矩阵收缩策略Ledoit and Wolf（2003）KDM线性收缩估计量Kourtis、Dotsis和Markellos（2012）ADZ反向协方差矩阵估计量Abadir、Distas o、，Zikeˇs（2014）LW-NL非线性收缩估计器byLedoit和Wolf（2018）稀疏协方差估计器软阈值估计器inRothman、Levina和Zhu（2009）BT稀疏协方差矩阵估计器byBien和Tibshirani（2011）SAF模型在准确估计真实协方差矩阵时，当N增加时更加明显，特别是对于N=100、200和T=60的两个高维设置。关于替代方法，ST与我们的方法非常相似，在大多数场景中表现次佳。然而，对于小样本（N=30，50），对于均匀稀疏协方差矩阵设计，LW-NL优于LW-NL。此外，对于高维和强相关性（N=100，2 00，η=0.075）的一致协方差矩阵设计，ADZ的性能略优于ST。

还值得注意的是，直接l-范数惩罚表2：模拟结果-一致协方差矩阵设计N模型ηN模型η0.025 0.05 0.075 0.025 0.05 0.075样本14.78 14.80 14.82样本168.25 167.80 167.00SAF 0.89 1.17 1.44SAF 2.45 8.47 18.54POET 6.92 7.24 7.67 POET 25.72 28.15 32.02DFM 6.59 6.84DFM 25.53 27.94 31.74LW 3.88 4.26LW 15.19 20.52 25.79ADZ 2.45 2.86 3.13ADZ5.56 12.11 23.54LW-NL 0.96 1.31 1.55LW-NL 14.10 24.05 33.85ST 1.96 2.22 2.46ST 5.36 11.60 21.82BT 1.83 2.38 3.29BT 11.60 17.64 28.46样本41.51 41.35 41.33样本674.22 672.98 671.15SAF 0.87 2.33 4.75SAF 8.96 33 33 63.74POET 11.16 11.87 12.09POET 64 64.55 78.16 98.27DFM 11.00 69 12.03DFM 64.20 77.51 98.85LW 5.96 7.31 8.75LW 44.41 66.45 89.96ADZ 2.91 4.36 6.40ADZ 18.49 39.61 68.02LW-NL 1.53 2.885.10LW-NL 58.09 134.27 126.48ST 2.15 3.72 6.24ST 14.87 39.81 81.27BT 4.29 5.85 8.48BT 35.32 59.57 100.65注：表中给出了泡沫形态的平均拟合优度。Bien和Tibshirani（2011）提出的协方差矩阵的化并不像我们的方法那样早，这得益于因子负荷矩阵的稀疏性和特质成分协方差矩阵的阈值化。