基于Ito演算的Clark-Ocone型公式及其应用

我们考虑f（x）=ex{x>0}的情况。假设假设2.1适用于某些α≥ 2、假设2.6自动满足。定义F（t，x）：=E[F（XT）| XT=x]，我们有F（t，x）=exZ∞-xeypt（y）dywhere pti是XT的密度函数- Xt。因此，我们获得Fx（t，x）=F（t，x）+pt(-x） 。因此，定理2.7提供了ext{XT>0}=EeXT{XT>0}+ZT公司EheX′T-s+Xs{X′T-s+Xs>0}Xsi+ps(-Xs）σdWs+ZTZREheX′T-s+Xs-ey{X′T-s+Xs-+y> 0}- 1{X′T-s+Xs->0}Xs型-ieN（ds，dy）。3数字期权的局部风险最小化本节的主要目标是通过使用定理2.7为指数L'evy模型（1.3）提供数字期权的LRM策略表示。此外，我们还讨论了1{XT的Malliavin可微性≥c} 在本节的最后一部分。3.1准备我们考虑一个到期日T>0的金融市场，该市场由利率为r的无风险资产组成≥ 0和一项风险资产。时间t的风险资产价格∈ [0，T]描述为：=ert+Xt，其中X是（1.1）给出的L'evy过程。此外，我们用BS表示资产价格贴现过程，即bSt：=e-rtSt，也作为以下随机微分方程的解给出：dbSt=bSt-budt+σdWt+ZR（ex- 1） eN（dt，dx）, （3.1）其中bu：=u+σ+ZR（ex- 1.- x） ν（dx）。接下来，我们对LRM战略进行了定义。以下定义是基于Schweizer【13】定理1.6的简化版本，因为Schweizer【12】和【13】提出的原始定义相当复杂。注意，[13]在假设r=0的情况下处理了这个问题。对于r>0的情况，参见，例如，Biagini和Cretarola【4】。定义3.1。

（1） 策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ是一个可预测的过程，满足“ZTξsdhbSis#<∞, （3.2）且η是一个经过调整的过程，使得在时间t时的贴现值∈ [0，T]，定义为bVt（Д）：=ξtbSt+η这是一个右连续过程，其中e[bVt（Д）]<∞ 每t∈ [0，T]。注意，ξ和η分别表示投资者在时间t时持有的风险资产和无风险资产的单位数量。（2）对于策略Д，由bct（Д）定义的过程bc（Д）：=bVt（Д）-ZtξsdbSsfor t∈ [0，T]被称为^1的贴现成本过程。自我融资ifbC的策略是一个常数。（3） 设H为平方可积随机变量，表示到期日T时或有权益的支付。如果策略Д复制H，则称为H的局部风险最小化（LRM）策略，即满足bvt（ДH）=bH，[bC（ДH），cM]是一致可积鞅，其中cM是bs的鞅部分。粗略地说，如果在所有复制策略中，策略ДH=（ξH，ηH）是将BC（ДH）引起的风险最小化的复制策略，则不一定是自我融资的策略，称为LRM策略。【13】的命题5.2规定，在所谓的结构条件（SC）下，LRM策略ДH=（ξH，ηH）对于H∈ L（P）存在的条件是且仅当bh（=e-rTH）允许F¨ollmer-Schweizer分解，即bH具有以下分解bH=bH+ZTξF SsdbSs+LF ST，（3.3），其中bH∈ R、 ξF Sis是满足（3.2）的可预测过程，LF Sis是LF S=0的平方可积鞅正交tocM。此外，ИHis givenbyξHt=ξF St，ηHt=bH+ZtξHsdbSs+LF St- ξHtbSt。因此，有必要获得ξHor的表示，等价地，ξF Sinorder可以得到ДH。因此，我们在本文中用ДHin来识别ξhw。为了讨论LRM策略，我们需要考虑最小鞅测度（MMM），用P表示*.

它被定义为一个等价的鞅测度，在此测度下，任何平方可积的P-鞅正交tocM都保持不变。因此，（3.3）中的LF不仅在P下是鞅，而且在P下也是鞅*, 和正交tocM，即hLF S，cMi=0。P的密度*提供asdP*dP=exp(-buσ+CWT-buσ2（σ+C）T+ZRlog1.-bu（ex- 1） σ+CeN（[0，T]，dx）+TZR日志1.-bu（ex- 1） σ+C+bu（ex- 1） σ+Cν（dx）），其中C：=RR（ex- 1） ν（dx）。请注意，Cis FINITE和P*存在于以下假设3.2下。此外，根据Girsanov定理，W*t： =Wt+b|∑σ+Ct（3.4）andeN*（[0，t]，dx）：=eN（[0，t]，dx）+bu（ex- 1） σ+Cν（dx）t（3.5）是P*-布朗运动与nunderp的补偿Poisson随机测度*, 分别地然后我们可以重写（3.1）asdbSt=bSt-σdW*t+ZR（ex- 1） 恩*（dt，dx）.注意，即使在P下，X也是L'evy过程*, 和Levy测度*表示为ν*（dx）：=1.-bu（ex- 1） σ+Cν（dx）。3.2主要理论我们将通过使用P*. 因此，我们需要将假设2.1改写为一个基本假设*. 请注意，如例2.13所述，假设2.6自动生效。假设3.2。（1） RR（ex- 1） ν（dx）（=C）<∞, 这意味着EP*eαXT< ∞ 保留一些α≥ 1、该α在本节中固定。(2) 0 ≥ bu>-σ- C、 （3）对于任何t∈ [0，T），存在一个可积函数h*R上的t（v）使得|φ*（t，izv）|1+| zv+| zv|ZR（e-零电压x- 1+zvx）ν*（dx）≤ h类*t（v）堡垒∈ [t，t+t]，其中φ*（t，z）：=EP*[eiz（XT-Xt）]用于z∈ C、 注意，假设3.2（1）确保了结构条件（SC）；和MMMP*通过上述（2）作为P的等效概率度量存在。此外，（3）对应于假设2.1（2），并确保XT- X在P下具有丰富的连续密度*, 用p表示*t、 备注3.3。

通过与示例2.3类似的论证，Merton跳跃扩散过程满足假设3.2，没有任何参数限制。对于Nig过程，取α∈ （，2），a>和-< b≤ -, 从Arai等人的观点来看，我们可以看到假设3.2是令人满意的。另一方面，VG过程通过与示例2.4类似的论证违反了假设3.2。有关该事项的更多详情，请参见下文备注3.5。注意，以下公式*和ν*[2]中分别给出了Merton跳跃扩散过程和VGP过程，以及[1]中给出了NIG过程。定理3.4。在假设3.2下，数字选项1{ST的LRM策略ξH≥K} K>0时，由ξHt=e给出-rTbSt公司-（σ+C）κtσ+ZRψ*t型-（K，x）（例如- 1） ν（dx）（3.6）对于t∈ [0，T]。此处κt：=p*t（对数K- rT公司- Xt）和ψ*t（K，x）：=P*（X′T-t型≥ 日志K-rT公司-Xt公司-x | Xt）-P*（X′T-t型≥ 日志K-rT公司-Xt | Xt），其中X′T-是XT的独立副本- Xt。备注3.5。通过[3]的例子3.9，我们可以通过使用L'evy过程的Malliavin演算得到与定理3.4相同的结果，如果1{ST≥K}∈ D1,2，其中D1,2在【6】第2.2节中定义。实际上，如Geiss等人[9]第4.2节所示，如果σ=0，RR | x |ν（dx）<∞ XT有一个有界密度，那么我们有{XT≥c}∈ D1,2，换句话说，1{ST≥K}∈ D1,2。例如，VG过程满足所有这些条件，尽管它们不满足备注3.3中的假设3.2。换句话说，当X是VG过程时，定理3.4不可用，但我们可以通过Malliavin演算得到相同的结果。下文第3.4节将讨论指标功能的马氏体差异性。3.3定理3.4的证明，通过ξt（3.6）的右侧，并定义P*-LH=0的鞅asLHt：=EP*“e-rT{ST≥K}- e-rTEP*[1{ST≥K} ]-ZTξsdbSs英尺，我们有-rT{ST≥K} =e-rTEP*{ST≥K}+ZTξsdbSs+LHT。

（3.7）足以证明（3.7）是E的F¨ollmer-Schweizer分解-rT{ST≥K} ，Payoff函数的贴现值。为此，我们认为LH是一个与tocM正交的P-鞅。定义[0，T]×R asF（T，x）上的函数F：=EP*[1{ST≥K} | Xt=x]=P*（XT）- Xt公司≥ 日志K- rT公司- x） ，我们有F（t，Xt）=F（0，x）+ZtFx（s，Xs）σdW*s+ZtZRF（s，Xs-+ y）- F（s，Xs-)恩*（ds，dy）=F（0，X）+ZtκsσdW*s+ZtZRψ*s-（K，y）eN*（ds，dy）根据假设3.2和示例2.13。因此，我们有lht=e-rTF（t，Xt）- e-rTF（0，X）-ZtξsdbSs=中兴通讯-rTκsσdW*s+ZtZRe-rTψ*s-（K，x）eN*（ds、dx）-ZtξsbSs-σdW*硫+锆（ex- 1） 恩*（ds、dx）. （3.8）为了证明LH是一个P鞅，我们计算如下：e-rTκsσ-ξsbSs-σbuσ+C=e-rT公司κsC-ZRψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）buσ（σ+C）和Zre-rTψ*s-（K，x）-ξsbSs-（例如- 1)bu（ex- 1） σ+Cν（dx）=ZRe公司-rTψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）-ξsbSs-Cbuσ+C=e-rT公司ZRψ*s-（K，x）（例如- 1） ν（dx）- κsCs的buσ（σ+C）∈ [0，T]。因此，（3.8）以及（3.4）和（3.5）意味着lht=Zte-rTκs-ξsbSs-σdWs+ZtZRe-rTψ*s-（K，x）-ξsbSs-（例如- 1)eN（ds，dx），其中lh是P-鞅。接下来，我们看到LH与tocM正交。为此，我们只需看到，cMi=0。注意，CM的给定值为DCMT=bSt-σdWt+ZR（ex- 1） eN（dt，dx）,我们有DHLH，cMit=bSt-σe-rTκt-ξtbSt-dt+bSt-锆e-rTψ*t型-（K，x）-ξtbSt-（例如- 1)（例如- 1） ν（dx）dt=bSt-e-rT公司κtσ+ZRψ*t型-（K，x）（例如- 1） ν（dx）dt公司-ξtbSt-（σ+C）dt=0。因此，（3.7）是e的F¨ollmer-Schweizer分解-rT{ST≥K} ，这意味着ξH=ξ。这完成了定理3.4.3.4指标函数Malliavin可微性的证明，如备注3.5，1{XT所示≥c}∈ D1,2适用于任何c∈ R当X是一个VG过程时。也就是说，通过使用[3]的示例3.9，我们可以获得与VGP过程的定理3.4相同的结果。另一方面，众所周知{XT≥c}/∈ D1,2σ>0时。

换句话说，如果X包含一个布朗成分，如默顿跳跃扩散过程，我们需要使用定理3.4来计算ξHin（3.6）。此外，如下面的命题3.6所示，即使σ=0，我们也有1{XT≥c}/∈ D1,2as长RR | x |ν（dx）=∞ 例如NigProcess。因此，我们可以说，定理3.4提供了计算默顿跳跃扩散和NIG过程的数字期权LRM策略的唯一方法。3号提案。设X为纯跳跃L'evy过程，L'evy测度ν满足r[-1,1]| x |ν（dx）=∞. 此外，假设XT有一个有界连续密度函数p。那么，我们有1{XT≥c}/∈ D1,2对于所有c∈ P（c）>0时的R。证据修复c∈ p（c）>0时的R任意。请注意，对于任意x，我们可以发现ε>0，从而p（x）>p（c）∈ （c）- ε、 c+ε）。从Sol'e等人[14]的命题5.4来看，有必要证明e“ZTZR |ψs，x{XT≥c} | xν（dx）ds#=∞,式中，ψs，xis是【14】第5.1节中定义的增量商运算符。因此，我们有e“ZTZR |ψs，x{XT≥c} | xν（dx）ds#=ZTZRE|ψs，x{XT≥c}|xν（dx）ds=ZTZRE|1{XT+x≥c}- 1{XT≥c} | xxν（dx）ds=ZTZ∞P（c>XT≥ c- x） ν（dx）+Z-∞P（c-x>XT≥ c） ν（dx）ds公司≥ TZεP（c>XT≥ c- x） ν（dx）+Z-εP（c-x>XT≥ c） ν（dx）≥ Tp（c）Z(-ε、 ε）| x |ν（dx）=∞,sinceRI | x |ν（dx）=∞ 对于任何间隔I R包括0作为内点。致谢Stakuji Arai感谢第18K03422号MEXT Grantin科学研究援助（c）的财政支持。参考文献[1]T.Arai，Y.Imai，R.Nakashima，《正态逆高斯模型二次套期保值策略的数值分析》，载于：S.Kusuoka，T.Maruyama（编辑），《数理经济学进展》，新加坡斯普林格出版社，2018年，第1-24页。[2] T.Arai，Y.Imai，R.Suzuki，《指数L'evy模型局部风险最小化的数值分析》，Int.J.Theor。应用程序。财务19（02）（2016）1650008，https://doi.org/10.1142/S0219024916500084.[3] T.Arai，R。

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