粗糙Volterra随机波动率模型的分解公式

然后^mt（u）=Et[Yu]=E“ZuK（u，s）dWsFWt#=ZtK（u，s）dWsand^r（u，u | t）=E[（Yu- ^mt（u））（于- ^mt（u））| FWt]=E“ZuK（u，v）dWv-ZtK（u，v）dWv·ZuK（u，v）dWv-ZtK（u，v）dWvFWt#=E“ZutK（u，v）dWvZutK（u，v）dWvFWt#=Zu∧utK（u，v）K（u，v）dv=r（u，u）-ZtK（u，v）K（u，v）dv。在接下来的章节中，我们将表示^r（u | t）：=^r（u，u | t）。在一般波动过程（6）下，我们得到vt=T- tZTtEt公司g（u，Yu）duand the martingaleMt=ZTEtg（u，Yu）杜。在接下来的引理中，我们用平均函数^mt（u）表示未来平方波动率的条件期望。让我们表示：F（t，^mt（u））：=Etg（u，Yu）,引理4.2（一般波动率模型分解公式中的辅助项）。Let0≤ t型≤ u和F（t，^mt（u））=Etg（u，Yu）, thendF（t，^mt（u））=F（t，^mt（u））+F（t，^mt（u））K（u，t）dt+F（t，^mt（u））d^mt（u），（12）dhM·，W·it=ZTF（t，^mt（u））K（u，t）du dt，（13）dhM·，M·it=ztF（t，^mt（u））F（t，^mt（u））·K（u，t）K（u，t）dududt。（14） 证明。让0≤ t型≤ u和XT（u）=Etg（u，Yu）. （15） 定理4.1表示xt（u）=ZRg（u，z）^Иt（u，z）dz，其中^Иt（u，z）=p2π^r（u | t）exp-（z）- ^mt（u））^r（u | t）（16） 是具有随机平均值^mt（u）和确定性方差^r（u | t）的高斯密度函数。为了计算二次变化，我们注意到^Иt（u，z）=f（t，^mt（u）），（17），其中f（t，m）=p2π^r（u | t）exp-（z）- m） ^r（u | t）.

（18） 由于h^m·（u）it=K（u，t）dt，我们通过it^o的公式df（t，^mt（u））检索以下表达式=f（t，^mt（u））+f（t，^mt（u））K（u，t）dt+f（t，^mt（u））d^mt（u），因此，dhf（·，^m·（u））it=(f（t，^mt（u））K（u，t））dt。原因：f（t，^mt（u））=z- 我们得到了它=z- ^mt（u）^r（u | t）^Иt（u，z）K（u，t）dt。更一般地，我们有dh^И·（u，z），Д·（u，z）it=（z- ^mt（u））（z- ^mt（u））^r（u | t）^Иt（u，z）^Иt（u，z）K（u，t）dt，因此，dhX·（u）it=dZRg（u，z）^И（u，z）dz，ZRg（u，z）^И（u，z）dzt=ZZRg（u，z）g（u，z）dh^И（u，z），^И（u，z）itdzdz=ZRG（u，z）g（u，z）（^mt（u）- z） （百万吨（u）- z） ··^Иt（u，z）^Иt（u，z）K（u，t）^r（u | t）dzdzdt。设F=F（t，m）是时间t的C1,2-函数，预测鞅的“点”m=^mt（u）。由于过滤相同，我们通常有dhF（·，μm·（u）），W·it=F（t，^mt（u））K（u，t）dt。现在我们设置f（t，^mt（u））=Xt（u）=ZRg（u，z）^Иt（u，z）dz，并应用It^o公式，我们得到（12）。此外，dhM·，W·it=d*ZTF（·，^m·（u））du，W·+t=ZTdhF（·，^m·（u）），W·itdu=ZTF（t，^mt（u））K（u，t）du dt和dhm·，M·it=d*ZTF（·，^M·（u））du，ZTF（·，^M·（u））du+t=ztdhf（·，^M·（u）），F（·，^M·（u））itdudu=ZTZTF（t，^mt（u））F（t，^mt（u））K（u，t）K（u，t）dududt。4.2指数Volterra波动率模型假设Xt是对数价格过程（2），σt是指数Volterra波动率过程σt=g（t，Yt）=σexpξYt-αξr（t）, t型≥ 0，（19）式中（Yt，t≥ 0）是满足假设（A1）和（A2）的高斯-沃尔特拉过程（7），r（t）是其自协方差函数（9），σ>0，ξ>0和α∈ [0，1]是模型参数。引理4.3（指数Volterra挥发模型分解公式中的辅助项）。设σtbe如（19）和0所示≤ t型≤ u

ThenF（t，^mt（u））=σexp2ξ^mt（u）+2ξ^r（u | t）- αξr（u）, (20)F（t，^mt（u））=2ξF（t，^mt（u）），（21）dhM·，W·it=2σξZTexp2ξ^mt（u）+2ξ^r（u | t）- αξr（u）K（u，t）du dt，（22）dhM·，M·it=4σξZTZTexp{2ξ（^mt（u）+^mt（u））}··exp2ξ（^r（u | t）+^r（u | t））·· 经验值-αξ（r（u）+r（u））·· K（u，t）K（u，t）dududt。（23）证明。设^Иt（u，z）由（16）给出。ThenF（t，^mt（u））=ZRg（u，z）^Иt（u，z）dz，=σe-αξr（u）ZRe2ξzp2π^r（u | t）exp-（z）- ^mt（u））^r（u | t）dz。现在很容易计算偏导数F我们得到F（t，^mt（u））=σe-αξr（u）ZRe2ξzp2π^r（u | t）exp-（z）- ^mt（u））^r（u | t）z- ^mt（u）^r（u | t）dz。更改变量v=z- ^mt（u）√^r（u | t）和dz=p^r（u | t）dv，我们得到F（t，^mt（u））=σe-αξr（u）p^r（u | t）e2ξmt（u）ZRe2ξ√^r（u | t）vvφ（v）dv=σe-αξr（u）p^r（u | t）e2ξmt（u）Ee2ξ√^r（u | t）ZZ,其中Z~ N（0，1）。利用公式E[ZeαZ]=αEα，我们得到F（t，^mt（u））=2σξexp2ξ^mu（u）+2ξ^r（u | t）- αξr（u）= 2ξF（t，^mt（u））。其余公式如下所示。备注4.4。使用F（t，^mt（u））=Etσu, 很容易看出dmt=2ξZTtEtσuK（u，t）du！dWt，（24）dhM·，W·it=2ξZTEtσuK（u，t）du dt，（25）dhM·，M·it=4ξztzetσuEt公司σuK（u，t）K（u，t）dududt。（26）引理4.5。设σtbe如（19）和0所示≤ t型≤ u、 然后，我们可以重写F（t，^mt（u））asEtσu= σtexp-αξ（r（u）-r（t））+2ξZt（K（u，z）-K（t，z））dWz+2ξ^r（u | t）. （27）此外，我们还有以下等式集σuexp2ξZu（K（s，z）-K（u，z））dWz= σtexpn-αξ（r（u）-r（t））+ξZt（2K（s，z）+K（u，z）-3K（t，z））dWz+ξZut（2K（s，z）+K（u，z））dzoandEtσuexp2ξZu（K（s，z）+K（v，z）- 2K（u，z））dWz= σtexpn-2αξ（r（u）-r（t））+2ξZt（K（s，z）+K（v，z）- 2K（t，z））dWz+2ξZut（K（s，z）+K（v，z））dzo。证据获得这些语句的计算非常简单。命题4.6（指数Volterra挥发模型近似公式中的术语）。设σtbe如（19）和0所示≤ t型≤ u

ThenUt=ρξσtZTtZTexp-αξ（r（u）-r（t））+ξZt（2K（s，z）+K（u，z）-3K（t，z））dWz· 表达式ξZut（2K（s，z）+K（u，z））dz- αξ（r（s）-r（u））+2ξ^r（s | u）o·K（s，u）ds du（28）and rt=ξσtzttztexpn-αξ（r（s）+r（v）-2r（t））+2ξ（^r（s | u）+^r（v | u））+2ξZt（K（s，z）+K（v，z）- 2K（t，z））dWz+2ξZut（K（s，z）+K（v，z））dzo·K（s，u）K（v，u）ds dv du（29），尤其是u=ρξσztexpnξZu[2K（s，z）+K（u，z）]dzo·expn2ξr（s | u）-αξr（u）-αξr（s）oK（s，u）ds du（30）and r=σξztztexpn2ξZu[K（s，z）+K（v，z）]dzo··expn2ξ（r（s，u）+r（v | u））- αξ（r（s）+r（v））o··K（s，u）K（v，u）ds dv du。（31）证明。我们有：ut=ρEt“ZTtσudhM·，W·iu#=ρξEt”ZTtσuZTEuσsK（s，u）ds！du#=ρξZTtEt“σuZTEuσsK（s，u）ds#du=ρξZTtZTEtσuexpn-αξ（r（s）-r（u））+2ξZu（K（s，z）-K（u，z））dWz+2ξ^r（s | u）正常（s，u）ds du=ρξZTtZTEtσuexpn2ξZu（K（s，z）-K（u，z））dWzo· expn公司-αξ（r（s）-r（u））+2ξ^r（s | u）正常（s，u）ds du=ρξσtZTtZTexp-αξ（r（u）-r（t））+ξZt（2K（s，z）+K（u，z）-3K（t，z））dWz· 表达式ξZut（2K（s，z）+K（u，z））dz- αξ（r（s）-r（u））+2ξ^r（s | u）oK（s，u）ds dus同样，我们得到了rt=Et“ZTtdhM·，M·iu#=ξEtZTtZTEuσsK（s，u）ds！杜邦=ξZTtEtZTEu公司σsK（s，u）ds！du=ξZTtEt“ZTZTEuσs欧盟σvK（s，u）K（v，u）ds dv#du=ξZTtEt“ZTZTσuK（s，u）K（v，u）exp-αξ（r（s）+r（v）-2r（u））+2ξZu（K（s，z）+K（v，z）- 2K（u，z））dWz+2ξ（^r（s | u）+^r（v | u））ds dvdu=ξzttzttetσuexp2ξZu（K（s，z）+K（v，z）- 2K（u，z））dWz经验值-αξ（r（s）+r（v）-2r（u））+2ξ（^r（s | u）+^r（v | u））K（s，u）K（v，u）ds dv du=ξσtzttztexpn-αξ（r（s）+r（v）-2r（t））+2ξ（^r（s | u）+^r（v | u））+2ξZt（K（s，z）+K（v，z）- 2K（t，z））dWz+2ξZut（K（s，z）+K（v，z））dzo·K（s，u）K（v，u）ds dv du。对于指数Volterra波动率模型，我们可以通过以下方式确定价格近似的误差上界。定理4.7（指数Volterra波动率模型的误差上界）。设Xtbe为一个价格过程（2），σt为指数Volterra波动过程（19）。

然后，我们可以使用命题4.6中的过程Rt、UT表达看涨期权公允价值VT。特别地，Vt=BS（t，Xt，Vt）+∧ΓBS（t，Xt，Vt）Ut+ΓBS（t，Xt，Vt）Rt+t、 在哪里皮重错误订单条款Oξ+ ρξ.证据注意，使用（24）我们得到thatd hM，Mit=4ξZTtEtσuK（u，t）du！dt，d hM，W it=2ξZTtEtσuK（u，t）du！dt。将Jensen不等式应用于（27），我们可以看到≥ σt（t- t） exp（t- tZTt公司-αξ（r（u）-r（t））+2ξ（^mt（u）- ^mt（t））+2ξr（u | t）du）。那么，很容易发现这一点- tat公司≤σexp(-2ξ^mt（t）+αξr（t）-T- tZTt公司-αξ（r（u）-r（t））+2ξ（^mt（u）- ^mt（t））+2ξr（u | t）du）其中指数-2ξ^mt（t）+αξr（t）-T- tZTt公司-αξ（r（u）-r（t））+2ξ（^mt（u）- ^mt（t））+2ξr（u | t）杜。是一个高斯过程。因此，所有订单的最终时刻都是有限的。使用附录A和引理3.1中规定的误差项，我们发现每个项的分解如下Et“ZTte-r（u-t） ΓBS（u、Xu、vu）d hM、Miu#- ΓBS（t、Xt、vt）Rt≤CEt“ZTte-r（u-t）金+金+金+金+金Rud hM，Miu#（32）+CρEt“ZTte-r（u-t）金+金+金Ruσud hW，Miu#+CρEt“ZTte-r（u-t）au+auσud hW，Riu#+CEt“ZTte-r（u-t）金+金+金d hM，Riu#。和ρEt“ZTte-r（u-t） ∧ΓBS（u，Xu，vu）σud hW，Miu#- ∧ΓBS（t，Xt，vt）Ut≤CEt“ZTte-r（u-t）金+金+金Uud hM，Miu#（33）+CρEt“ZTte-r（u-t）au+auUuσud hW，Miu#+CρEt“ZTte-r（u-t） auσud hW，Uiu#+CEt“ZTte-r（u-t）au+aud hM，Uiu#。由于之前的所有条件预期都是明确的，因此错误顺序为Oξ+ ρξ.此外，当Ytis是半鞅时，我们表示指数Volterravolatility过程的n次方的微分。引理4.8。设σtbe如（19）和Yta半鞅。让n≥ 1，我们有dσnt=σntK（t，t）hnξdWt+nξK（t，t）（n-α） dti。（34）证明。该公式是It^o公式的直接结果。引理4.9。设σtbe如（19）所示，Ytis为半鞅。