利用波动率指数期货跟踪波动率指数：投资组合构建与绩效

即期波动率指数回报基于（a）1天回报和（b）10天回报。x轴表示即期VIX的收益率（以12月为单位），y轴表示1个月期的收益率（以小数为单位）。优于10天回报的观察值。然而，这种模式在通用电气公司并不适用。随着保持期的延长，R值或斜率系数中都没有可讨论的模式。这可以通过查看Ror斜率与保持期的曲线图来证明。我们在这里省略了这样一个曲线图，因为没有增加或减少预测能力（以R衡量）的明确模式，也没有复制任何到期合同曲线图中即期回报所需的平均值。（杠杆率可以通过斜率的倒数来衡量。）另一方面，如果我们确定持有期并增加合同到期日，我们会看到预测能力下降，斜率下降。（因此，增加必要的杠杆以复制现货。）我们在表2中展示了许多不同持有期（1、5、10和15天）的情况。在上半部分中，我们给出了期货收益率和现货收益率回归的斜率系数，在下半部分中，我们显示了R值。通过loo king在每一半的行中，人们注意到报告的统计数据有所下降。这证实了我们之前的观察，即短期期货比长期期货更能密切跟踪现货。事实上，在15天的时间内，结果表明，大约需要1.6倍的杠杆来跟踪1个月期的现货。7个月期货杠杆率为7.2倍。这些隐含杠杆值是通过计算斜率的倒数（分别为0.622和0.139）获得的。

7个月的未来杠杆相当可观，由于交易成本或交易所限制，在市场上可能不可行。第1天-周一2-周一3-周一4-周一5-周一6-周一7-MonSlope 1 0.604 0.428 0.321 0.267 0.226 0.200 0.1845 0.668 0.471 0.358 0.291 0.244 0.219 0.19910 0.641 0.424 0.320 0.254 0.206 0.185 0.16715 0.622 0.373 0.283 0.218 0.171 0.153 0.1390.792 0.759 0.718 0.688 0.648 5 0.615 0.5975 0.832 0.825 0.779 0.738 0.697 0.673 0.64910 0.750 0.750 0.691 0.630 0.562 0.540 0.51915 0.663 0.639 0.574 0.488 0.395 0.3760.352表2：不同持有期内期货收益率与波动率收益率回归的斜率和R的总和。尽管无法立即识别，但在图4中，与1天回报相比，10天回报的截距更为负值。这证实了我们已经讨论过的一个属性：相对于即期回报，未来表现不佳并亏损。更消极的拦截表明，这种表现在更长的时间内会恶化。为了更全面地了解这一点，在图5中，我们绘制了每个IOD（从1天到30天）许多不同持有量的1个月期（黑色）、3个月期（红色）和6个月期（蓝色）回报回归截距。很明显，随着等待期的延长，截距变得越来越负。此处报告的所有截距（以及之前的坡度）在1%显著水平上具有统计意义。因此，随着持有期的延长，存在并继续恶化统计上的显著差异。0 5 10 15 20 25 30-0.08-0.06-0.04-0.020.001-3个月-6月-图5所示的月份：根据交易日测量的持有期，从滚动期货头寸的回报回归到即期回报的截距。

从顶部到底部到m：6个月、3个月和1个月期货。3静态复制策略在本节中，我们将使用futures研究VIX的静态复制。考虑基于两种不同优化标准的投资组合。在第3.1节中，我们考虑通过优化投资组合的权重，以匹配培训期间VIX的实际美元价格。由于波动率指数的均值回复性质，最佳投资组合实际上是全部现金，因为这将使投资组合在整个样本期内大致接近波动率指数的平均水平。这促使优化投资组合以尽可能接近回报。随着标准的改变，性能得到了改善，但我们证明，很难用静态组合期货跟踪波动率指数。除非另有说明，培训或样本期为201年至2015年的5年期，测试或样本期外为2016年。3.1静态期货组合的物理复制在本节中，我们考虑静态头寸，包括1个或多个期货合约。我们所说的期货合约中的静态仓位，是指不断滚动到下一个期货合约中的仓位。例如，一个1个月期美元的静态投资将按如下方式进行。首先，购买当前1个月合同并持有至到期。当时头寸的价值可以用P表示。然后，人们使用该最终价值购买之前（例如，在时间0）的2个月期货，但现在是1个月期货。如果该期货价格表示为F，则无需购买新的1个月合约的市盈率，并持有该合约直至到期。该流程在每个到期日都会独立进行。滚动期间不会有现金提取/注入（例如。

以保持未来的单位数不变。）这使得头寸完全自我融资，尽管可实现期货单位的数量会随着时间的推移而变化（即，完全有可能P/F6=P/F）。从2011年1月3日开始的100美元的静态头寸将被称为第1个月期货合约的价值。可以类似地将2个月、3个月等值定义为始终保持2个月、3个月等合同中所有资金的头寸。j日的投资组合价值由Pjand表示，包括各种VIX期货合约。第j天的即期VIX值用Vj表示。期货中的预测将被选择为最小化平方误差之和：SSE=nXj=1（Vj- Gj），（3.1），其中n是样本期内的交易天数。设k为考虑中的期货合约数量，w：=（w，…，wk）为投资组合权重的重新估值向量。特别是，Wre表示货币市场账户的权重。接下来，用C表示∈ Rn×k+1a matr ix，列有货币市场账户和各种期货合约的历史价值。最后，用d表示∈ 包含VIX历史值的Rna载体。所有价格均来自样本集中，并在j=1的当天标准化为100美元。利用此符号和优化准则（3.1），我们导出以下约束最小二乘优化问题：minw∈Rk+1kCw- dks。t、 kXj=0wj=1。（3.2）非货币化意味着，从100美元开始的投资者将向JTH期货合约投资100美元，向货币市场账户投资100美元。为了简化后续分析，我们考虑包含以下四种合同中的任何一种的投资组合：1个月、2个月、6个月和7个月。

考虑到投资组合中的任何数量的期货，这自然会产生- 1=15（减去1，因为我们不使用期货来查看投资组合，因为这是微不足道的）不同的潜在投资组合。使用所有7种可用期货及其2- 1=127个子集将不成立，并模糊分析。这里选择的四份合同代表了波动率指数期货市场在样本期内和样本期外每天可用的最短和最长期限。优化结果如表3所示。如上所述，walways代表了货币市场账户的权重。订购所有其他WI，以便如果i<j，WIRE在比wj更接近期限的合同上显示权重。例如，在第6行中，我们正在考虑1个月和6个月期货的投资组合。因此，wis表示1个月期的权重，而Wre表示6个月期的权重。均方根误差（RMSE）具有方程式（3.1）中定义的标准定义。精确地说，RM SE：=rSSEn，（3.3），其中n=1258表示样本内周期，n=252表示样本外周期。我们选择100美元的初始资本，使我们能够将RMSE解释为样本内或样本外期间投资组合价值与现货价格的平均偏差百分比。RMSE值s相当大，表明样本内和样本外跟踪性能较差。为了标记性能，我们可以将RMSE值与VXX实现的值进行比较。VXX的样本内RMSE为72.05%，而样本外RMSE为21.97%。这些值表明，基于期货的投资组合在样本中的表现明显优于VXX。在样本之外，未来基础投资组合仅在少数情况下表现略好。备注3.1样品与。

VXX的样本不足主要是由于两个数据集的长度不同造成的。回想一下，VXX是波动率指数期货的无杠杆投资组合，我们在第2节中已经证明，该组合不会对波动率指数现货价格变动做出快速反应。因此，一旦VXX从VIX下跌，它就无法恢复到VIX的美元价值，并继续累积对SSE的增加。虽然性能比VXX好一些，但最终的策略与直觉不同。在所使用的各种期货合约中，所有投资组合几乎都是净多头。这在那些只有一个或两个期货的人身上尤为明显。例如，仅1个月的投资组合投资货币市场账户产生隔夜伦敦银行同业拆借利率。数据来自圣路易斯联邦储备银行（FRED）；看见https://fred.stlouisfed.org/series/USDONTD156N.only1个月期期货合约价值的15.2%和剩余的84.8%是现金。这是由于选择苏格兰和南方能源公司作为优化标准，并且我们根据实际美元价格衡量苏格兰和南方能源公司。这种组合使优化具有一定的前瞻性。它一次考虑了VIX将接管采样期的所有值。特别是，波动率指数（VIX）具有很高的回归性，因此，在这段时间内将投资组合价值保持在波动率指数（VIX）的平均水平是最好的选择。期货根本无法很好地跟踪现货，因此最好忽略任何峰值，并随时间保持不变。最后，在图6中，我们绘制了spot VIX、ET F VXX的时间序列，以及s个样本投资组合中的最优组合（跨所有por tfolio组件组合）。如上所述，最佳投资组合相对较低，持有其大部分价值（91.7%），在1个月和6个月的未来（8.3%）中几乎没有净长期投资。另一方面，VXX对sp ot价格变动的反应更为积极，但与spo t VIX的差异很快。

此后，该指数无法恢复，并继续从即期波动率指数下跌。到样本期结束时，VXX已降至3.44美元，样本期结束时，VXX已降至29.89美元。在这两个样本中，最优投资组合都没有以这种方式发散。相反，在这两个时期，它在波动率指数的平均水平上大致保持不变。这两种投资组合似乎都不是波动率指数交易的完美替代品，因此，我们将在下一节中考虑构建未来投资组合的替代方法，以追踪波动率指数。期货WWWWW IN RMSE out-RMSE1-m 0.848 0.152---30.724 23.3452-m 0.857 0.143---31.153 26.0746-m 0.811 0.189---31.026 28.8407-m 0.777 0.223---30.835 28.6161-m，2-m 0.932 2.114-2.046--27.741 19.5211-m，6-m 0.917 0.345-0.262--30.576 17.1971-m，7-m 0.840 0.137 0.022--30.722 23.8192-m，6-m 0.757-0.203 0.446--30.960 32.9712-m，7-m 0.669-0.252 0.582--30.627 33.5186米，7米0.492-2.146 2.654--29.801 27.0211-m、2-m、6-m 0.453 3.770-5.615 2.392-23.40 4 22.1741-m，2-m，7-m 0.341 3.745-5.095 2.009-22.41 4 24.7421-m、6-m、7-m 0.229 1.979-11.066 9.858-22.960 61.7132-m、6-m、7-m 0.359 2.449-11.032 9.224-27.437 37.2181-m、2-m、6-m、7-m 0.225 3.292-3.151-5.548 6.183 21.492 44.222表3：跟踪波动率指数美元价值的波动率指数期货投资组合的最优利润权重/绩效指标。Porfolios使用1个月、2个月、6个月和7个月合同的任何子集。3.2返回静态端口组合的复制第3.1节的结果激励考虑不同的跟踪标准。特别是，跟踪投资组合基本保持不变，几乎都是净多头波动率指数期货。此外，VXX存在大量差异，在长期交易期间无法恢复，但至少对VIX价格波动有一定影响。

我们的计算表明，VXX在跟踪波动率指数相对于我们投资组合的回报方面做得很好。如果我们计算回报的RMSE值（而不是物理价格），我们发现样本VXX的回报RMSE为4.63%，而我们的最佳组合（之前的1个月、6个月组合）的回报RMSE为7.51%。这些值在样本期外分别为4.55%和7.21%。由于VXX能够很好地跟踪收益，因此建议构建VIXfutures的组合，也可以跟踪收益。在上一节中，我们跟踪投资组合的目标是VIX的美元价值。如果在所有时间点都能实现这一点，那么投资组合必然会与样本中的VIX r e turnsSpotVXXPortfolio0 200 400 600 800 1000 1200050100150200250（a）相匹配。图6：即期VIX、ETF VXX和最佳VIX美元价值交易组合的时间序列。x轴表示交易日数，y轴表示价格。所有价格标准化为100美元。每天也一样。反之不必为真：当物理值仍随时间变化时，回报可能接近VIX回报。上述段落清楚地证明了这一点，VXX比我们的投资组合更接近回报，但VIX的实际价格比跟踪投资组合更差。尽管如此，在本节中，我们将把回报匹配作为构建投资组合的标准。优化问题在数学上与第3.1节：minw中所述相同∈Rk+1kBw- yks。t、 kXj=0wj=1。（3.4）矩阵B以列的形式包含货币市场账户的收益和考虑中的各种未来合同。向量y包含spot VIX的历史记录。

最终样本内和样本外绩效基于（3.3）中定义的RMSE，但这是在投资组合与现场的回报上完成的。优化结果如表4所示。通过考虑这一新标准，我们获得了净多头且杠杆化的投资组合。第2节的回归分析表明，情况就是这样。事实上，对于所有15个投资组合，货币市场账户上的权重w都是负数，这表明需要借款。例如，6个月/7个月的投资组合需要大约3倍的杠杆率来跟踪波动率指数回报（它从银行借款的价值约为其价值的2倍）。这在仅6个月的投资组合和仅7个月的投资组合中也是如此。对于这一跟踪标准，几乎所有投资组合在样本内（RMSE=4.63%）和样本外（RMSE=4.55%）都优于VXX。例外情况是仅6个月、仅7个月和6个月/7个月的投资组合。这两个观察结果（极端杠杆和不良跟踪绩效）与我们之前的讨论相呼应，即长期合同与短期合同对现货波动的反应不同。就物理公共关系复制而言，bo th VXX和优化的产品组合继续表现不佳，但这不是本节的目标。相反，我们关心的是返回应用程序。事实上，优化后的投资组合对波动率波动更为活跃，并且不再在时间段内保持不变，RMSE计算表明投资组合正在跟踪波动率回报率。然而，由于杠杆作用，投资组合的价值已经侵蚀到目前为止，无论是样本内还是样本外，它都变成了负值！杠杆作用加上波动率指数期货即使在现货不变的情况下也会亏损，这导致了价值的大幅损失。

有趣的是，这个投资组合的平均值并不是很高（只有大约1.24倍）。负的投资组合价值并不常见，但在有杠杆作用的情况下也会出现。作为一个简单的例子，假设一个投资者从100美元开始，在RMSE out-RMSE1-m中的资产未来WWWWW中构建一个3倍的杠杆投资-0.317 1.317--3.620 3.4912-m-0.751 1.751--3.929 3.6856米-2.018 3.018----4.926 4.6597-m-2.178 3.178----5.020 4.8321-m，2-m-0.499 0.921 0.578--3.532 3.4301米，6米-0.542 1.210 0.333--3.603 3.4921米，7米-0.503 1.237 0.265--3.610 3.4912-m，6-m-0.445 2.033 -0.588--3.903 3.6072米，7米-0.380 2.050 -0.669--3.896 3.5986米，7米-1.989 3.391 -0.401--4.925 4.6451米、2米、6米-0.319 0.905 0.769 -0.355-3.522 3.4001-m、2-m、7-m-0.244 0.904 0.810 -0.470-3.515 3.3961米、6米、7米-0.463 1.215 1.269 -1.021-3.592 3.4942-m、6-m、7-m-0.379 2.040 0.193 -0.854-3.896 3.6001-m、2-m、6-m、7-m-0.237 0.910 0.770 0.594 -1.03 6 3.511 3.405表4：跟踪波动率指数回报的波动率指数期货投资组合的最优投资组合权重/绩效指标。Porfolios使用1个月、2个月、6个月和7个月合同的任何子集。报告的RMSE值用于投资组合的回报。目前定价为30美元。因此，她以5%的固定利率（年综合利率）从银行借了200美元，并购买了10套资产。假设1年后，资产价值暴跌至20美元。该投资者的10个单位总计价值200美元，但她欠银行的债务为200·1.05=210美元。因此，她的投资组合净值为，-这意味着，仅仅为了清算投资组合，就必须注入10美元的现金。这里的跟踪订单也出现了类似的情况（虽然没有那么极端）。