随机偏微分仿射实现的存在性

，hζd，hi）∈ Rdfor h∈ 五、我们定义了连续映射▄α：R+×Rd→ Rd和￠σ：R+×Rd→ （Rd）nasα（t，z）：=hA*ζ、 φ（t）+t zi+hζ，α（φ（t）+t z）i，△σ（t，z）：=hζ，σ（φ（t）+t z）i∈ R+和h∈ Mtwe确定过程zh：=hζ，rh- φ（t+o）i，其中rh表示（1.1）的弱解，r=h。现在，让t∈ R+，h∈ M和v∈ V任意。然后我们有（4.6）Zh+vt- Zht=hζ，rh+vt- φ（t+t）i- hζ，rht- φ（t+t）i=hζ，rh+vt- rhti=hζ，h+vi+Zt哈*ζ、 rh+vsi+hζ，α（rh+vs）ids+Zthζ，σ（rh+vs-)idXs- hζ，hi-Zt公司哈*ζ、 rhsi+hζ，α（rhs）ids公司-Zthζ，σ（rhs-)idXs=hζ，vi+Ztα（t+s，Zh+vs-) - α（t+s，Zhs-)ds+Ztσ（t+s，Zh+vs-) - σ（t+s，Zhs-)dXs，t∈ R+。此外，由于叶理（Mt）t∈R+对于（1.1）是不变的，我们有rho，rh+vo∈Mt+o达到瞬逝集，因此rh+v- 右侧∈ V到Evanscentset。与（4.6）一起，我们得到RH+v- rh=T（Zh+v- Zh）=v+ZtT（|α（t+s，Zh+vs-) - α（t+s，Zhs-))ds+ZtT（△σ（t+s，Zh+vs-) - σ（t+s，Zhs-))dXs，t∈ R+。8 STEFAN TAPPENow，letξ∈ D（A*) 要专横。那么我们有（4.7）hξ，rh+vt- rhti=hξ，vi+Zthξ，T（|α（T+s，Zh+vs）- α（t+s，Zhs-))ids+Zthξ，T（|σ（T+s，Zh+vs-) - σ（t+s，Zhs-))idXs，t∈ R+。另一方面，由于rhand rh+变弱解为（1.1），r=手r=h+v，我们有（4.8）hξ，rh+vt- rhti=hξ，vi+Zt哈*ξ、 相对湿度+相对湿度- rhsi+hξ，α（rh+vs）- α（rhs）ids+Zthξ，σ（rh+vs-) - σ（rhs-)idXs，t∈ R+。结合（4.7）和（4.8），我们得到*ξ、 六=ξ、 T型Иα（t+s，hζ，h- φ（t）+vi）- Иα（t+s，hζ，h- φ（t）i）- hξ，α（h+v）- α（h）i。该恒等式表明ξ7→ 哈*ξ、 vi在D（A）上连续*), 证明v∈ D（A**).因为A=A**, 见【20，第13.12条】，我们得到v∈ D（A），得出（4.1）。因此，我们得到α（h+v）- α（h）=Av- TИα（t+s，hζ，h- φ（t）+vi）- Иα（t+s，hζ，h- φ（t）i）∈ 五、 这表明∏Uα（h+V）- πUα（h）=0，证明（4.2）。

（4.6）和（4.7）中的类似计算表明，（4.9）hξ，rht- φ（t+t）i=hξ，h- φ（t+t）i+Zthξ，t（|α（t+s，Zhs-))ids+Zthξ，T（￠σ（T+s，Zhs-))idXs，t∈ R+。另一方面，由于rhis是（1.1）的弱解，我们有（4.10）hξ，rht- φ（t+t）i=hξ，h- φ（t+t）i+Zt哈*ξ、 rhsi+hξ，α（rhs）ids+Zthξ，σ（rhs-)idXs，t∈ R+。因此，我们得到σ（h）=Tσ（t，hζ，h- φ（t）i）∈ Vm，显示（4.3）。剩下的陈述是引理4.4（应用于t=0和v=0）和（1.1）弱解唯一性的结果。（二）=> （i） ：此含义源自引理4.4和（1.1）弱解的唯一性。4.5. 评论假设映射α：H→ H和σ：H→ HM仅连续，而不是Lipschitz连续。如果我们修改定义4.2，要求所有t∈ R+和h∈ Mt，那么我们可以建立定理4.3的类似版本：o蕴涵（i）=> （ii）保持真实。随机偏微分方程的仿射实现9o对于蕴涵（ii）=> （i） 此外，我们假设（4.4）和（4.5）存在弱解。因此，定理1.1及其后续结果的类似版本在没有Lipschitz条件的情况下也是成立的，前提是我们存在（4.4）和（4.5）类型方程的弱解。[21]和[22]研究了C叶理的不变性。我们记得，对于C叶理（Mt）t∈R+和t∈ R+切线空间定义为T Mt：=ddtψ（T）+V，其中ψ表示（Mt）T的参数化∈R+。4.6. 定理。假设（Mt）t∈R+是C叶理。那么以下陈述是等价的：（i）叶理（Mt）t∈对于SPDE（1.1），R+不变。（ii）我们有 D（A），（4.11）Ah+α（h）∈ T Mt，h∈ M和t∈ R+，（4.12）σk（M） 五、 k=1。

，m.（4.13）如果之前的条件已满，则每小时∈ M（1.1）的弱解，r=his也是强解。证据该证明类似于[21，Thm.2.11]，因此省略。4.7. 评论假设叶理（Mt）t∈对于SPDE（1.1），R+不变。根据定理4.3和4.6，以下陈述是正确的：o如果（Mt）t∈R+是C叶理，那么我们有M D（A），每h∈M（1.1）的弱解，r=his也是强解如果（Mt）t∈R+只是C叶理，那么我们只有V D（A），因此，对于h∈ （1.1）的弱解r=hdoes不需要是astrong解。以下结果显示了条件（4.2）和切向条件（4.12）之间的关系。4.8. 提议假设我们有（4.1），并且PDE（4.4）有一个强解ψ∈ C（R+；H）带ψ（R+） D（A），这是一个固定（Mt）t的参数化∈R+。那么以下陈述是正确的：（1）我们有（4.11）。（2） 条件（4.2）和（4.12）是等效的。证据第一个陈述来自（4.1）和关系ψ（R+） D（A）。为了证明第二个陈述，让t∈ R+和v∈ V是任意的，seth：=ψ（t）+V∈ 根据偏微分方程（4.4）和条件（4.1），我们得到了ah+α（h）=Aψ（t）+Av+πUα（ψ（t）+v）+πvα（ψ（t）+v）=ddtψ（t）- πUα（ψ（t））+Av+πUα（ψ（t）+v）+πvα（ψ（t）+v）=滴滴涕ψ（t）+Av+πvα（ψ（t）+v |{z}∈T公吨+πUα（ψ（t）+v）- πUα（ψ（t））,表明条件（4.2）和（4.12）是等效的。

为了举例说明我们以前的结果，考虑抽象的柯西问题（drt=Artdtr=h.（4.14）10 STEFAN TAPPEFix任意h∈ H并让叶理（Mt）t∈R+由Mt给出：={Sth}。根据定理4.3，叶理（Mt）t∈对于abstractCauchy问题（4.14），R+是不变的，我们可以指出以下几点：o如果h∈ D（A），然后（Mt）t∈R+是C叶理，因此M D（A）。o如果A是可微半群（St）t的生成元≥0，然后映射7→ 在（0，∞) 我们有Mt D（A）对于所有t>0。最后，我们给出了一个例子，表明情况M∩D（A）= 可能发生。为此，我们从[9，Sec.5]中选择前向曲线的空间，我们将在第6节稍后使用。设H是所有绝对连续函数的空间H:R+→ R例如，KHK：=|h（0）|+ZR+| h（x）| w（x）dx1/2< ∞对于一些非减量C函数w:R+→ [1, ∞) 使w-1/3∈ L（R+）。然后是平移半群（St）t≥0是H上的C-半群，域上的generatord/dx（d/dx）={H∈ C（R+）∩ H:H∈ H} 。4.9. 实例设h:R+→ R是唯一的绝对连续函数，弱导数Eh=Xn∈N[N，N+2-西北（n）-1].然后我们有h∈ H、 因为khk<∞, 但对于每个t∈ 我们有某事/∈因为某事/∈ C（R+），表明M∩ D（D/dx）=.5、仿射实现的存在在这一节中，我们提供了关于a ffene实现存在性的主要结果的证明。一般数学框架见第2节。Westart的正式定义为一个完整的实现。5.1. 定义。（1） 让V H是有限维子空间。

我们说，SPDE（1.1）有一个由V if为所有h生成的有效实现∈ H存在变异叶理（Mt）∈由V生成的R+，使得h∈ M、 （2）我们说，如果SPDE（1.1）具有由某个有限维子空间V生成的能量化，则SPDE（1.1）有一个明确的实现 H、 通过第4节的准备工作，我们现在可以提供定理1.1和1.3的证明。定理1.1的证明。如果SPDE（1.1）具有有效实现，则条件（1）–（3）遵循定理4.3。相反，假设条件（1）–（3）已满。设H=U⊕ Hilbert空间H与闭子空间U的V-bea直和分解∈ H是任意的，并让H=u+vbe根据H=u进行分解⊕ 五、设ψ为偏微分方程（4.4）的弱解，设（Mt）t∈R+be叶理Mt：=ψ（t）+V。然后我们有h∈ M、 根据定理4.3，叶理（Mt）t∈R+对于（1.4）是不变的。定理1.3的证明。如果条件（1）和（2）已满足，则根据OREM 1.1，线性SPDE（1.1）有一个有效的实现。随机偏微分方程的仿射实现11相反，假设线性SPDE（1.1）有一个有效实现。在Emmas 2.3和2.4中，存在一个线性算子T∈ L（H）使得对于线性算子B:D（B） H→ H由D（B）：=D（A）和B：=A+T和映射β：H给出→ H由β给出：=α- T，则满足以下条件：oV为B-半不变。oB是H上C-半群的生成元。oβ是Lipschitz连续的。oSPDE（1.1）和（1.4）等效。设H=U⊕ V是Hilbert空间H与闭子空间U的直和分解。根据定理1.1，子空间V是B-不变的，我们有∏Uβ在V上是常数，我们有σk（H） V对于所有k=1，m。

注意到∏Uβ=∏Uα- πUT，和α∈ H是常数，我们推断∏UT是常数V，这意味着V ker（∏UT）。因此，子空间V是T不变的，因此它也是A不变的。5.2. 评论假设SPDE（1.1）有一个由有限维子空间V生成的完整实现我们可以构造曲线ψ和（1.3）中出现的V值过程Y，如下所示。We fix a直和分解H=U⊕ V，分解任意起点h∈ 根据H=u，H为H=u+V⊕五、检验定理1.1和4.3的证明，我们看到ψ：R+→ H是H值偏微分方程（4.4）的弱解，Y是t=0的V值SDE（4.5）的强解Ifα（H） V（与推论1.2的情况一样），那么（1.3）中出现的曲线ψ由ψ（t）=Sthfor t给出∈ R+.o在任何情况下，我们都可以将H值SPDE（1.1）的弱解分解为H值PDE（4.4）的弱解和V值SDE（4.5）的强解即使对于h∈ D（A）不变叶理通常只是C叶理，因此，根据备注4.7，SPDE（1.1）的弱解通常不是强解If∏Uα（D（A）） D（A）和∏Uα在D（A）上关于图normkhkD（A）=pkhk+kAhk，h是Lipschitz连续的∈ D（A）（例如，在推论1.2的情况下），然后，根据[17，Thm.6.1.7]，对于每个起点h∈ D（A）PDE（4.4）允许一个经典解，这意味着不变叶理是C叶理，而SPDE（1.1）的弱解也是强解。最后，我们将在不预先指定有限维子空间的情况下，得出关于线性SPD存在唯一实现的结果。为此，我们需要准指数波动率的概念。5.3. 定义。

我们引入以下概念：（1）如果σk（H） D（A∞) 对于所有k=1，m、 然后我们定义子空间AσH asAσ：=mXk=1hAnσk（H）：n∈ Nand h∈ 你好（2） 如果我们有σk（H），波动率σ称为A-拟指数 D（A∞)对于所有k=1，m和dim Aσ<∞.以下两个辅助结果是定义5.3.12 STEFAN TAPPE5.4的直接结果。引理。设V是有限维a不变子空间，使得σk（H）V对于所有k=1，m、 那么波动率σ是A-拟指数。5.5. 引理。假设波动率σ为A-拟指数，并设置V：=Aσ。那么V是有限维a不变子空间，我们有σk（H） V对于所有k=1，m、 现在，我们准备制定和证明宣布的结果。5.6. 定理。假设SPDE（1.1）是线性的。然后，当且仅当波动率σ为a-拟指数时，它才有一个有效的实现。证据假设线性SPDE（1.1）有一个有效的实现。根据定理1.3，存在有限维子空间V H使得V是A-不变的，σk（H） V对于所有k=1，m、 根据引理5.4，波动率σ是阿卡西指数。相反，假设波动率σ为A-拟指数，并设置V：=Aσ。根据引理5.5，子空间V是有限维a不变子空间，我们有σk（H） V对于所有k=1，m、 因此，根据定理1.3，linearSPDE（1.1）有一个有效的实现。HJMM方程在本节中，我们将HJMM方程视为非线性SPDE的一个例子。更准确地说，我们考虑SPDE（drt=ddxrt+αHJM（rt）dt+σ（rt）dWtr=h（6.1），由Rm值维纳过程W驱动。（6.1）的状态空间H是示例4.9中使用的空间。弱解r到（6.1）是零息票债券市场中的利率曲线。

为了确保债券市场不存在任何风险，我们假设（6.1）中的漂移项由HJM漂移条件αHJM（h）=mXk=1σk（h）·Tσk（h），（6.2）中的T:h给出→ H表示由T H给出的积分算子：=RoH（η）dηfor H∈ H、 例如，关于HJMM方程（6.1）和HJM漂移条件（6.2）的推导，我们参考[9]。我们本节的目标是提供一个关于HJMM方程（6.1）存在FDR的所有已知结果的替代性且相当简短的证明，例如，可以在[3]、[2]或[21]中找到。为此，我们从一个辅助结果开始。6.1. 引理。设V为有限维（d/dx）不变子空间。然后是子空间V+P（V），其中P（V）：=hh·g:h∈ V和g∈ T V i（6.3）是有限维的，也是（d/dx）不变的。证据子空间V+P（V）是有限维的，因为我们有dim（V+P（V））≤ 尺寸V+（尺寸V）<∞.让h∈ V和g∈ T V是任意的。那么就存在f∈ 因为V是（d/dx）-不变的，我们得到f∈ V，henceddxg=ddxZof（y）dy=f=f- f（0）+ f（0）=Zof（y）dy+f（0）∈ T V+h1i。随机偏微分方程的仿射实现13因此，由于V是（d/dx）不变的，我们推导了ddxh·g=ddxh·g+h·ddxg∈ V+P（V），表明V+P（V）是（d/dx）不变的。6.2. 提议假设波动率σ为（d/dx）-拟指数。然后，HJMM方程（6.1）有了一个有效的实现。证据为了便于记法，我们设置A：=d/dx。根据引理5.5，子空间σ是有限维a不变子空间，我们有σk（H） Aσ表示所有k=1，m、 根据引理6.1，子空间V：=Aσ+P（Aσ）也是有限维且A不变的。此外，我们有σk（H） Aσ V对于所有k=1，m、 andby（6.2）和（6.3）我们得到了αHJM（H） 五、因此，推论1.2得出结论。6.3. 评论

假设波动率σ为（d/dx）-准指数注意，刚才给出的结果比[21，第6.2条]更一般，因为这里我们得到了每个起点h的形式（1.3）的表示∈ H、 而上述结果仅为每个起点H提供了这样的表示∈ D（D/dx）。o每小时∈ H（1.3）中出现的曲线ψ由ψ（t）=Sthfor t给出∈ R+，见备注5.2。此外，对于每个h∈D（D/dx）不变叶理是C叶理，HJMM方程（6.1）的弱解也是强解如果我们在HJMM方程（6.1）中加入带跳跃的驱动Lévy过程，则命题6.2的陈述不再成立，因为漂移条件变得更加复杂。有关此主题的详细信息，请参阅[22]。7、线性SPDE的例子在本节中，我们介绍了自然科学和经济学中出现的几个线性SPDE的例子。在这些例子中，我们的方法是确定所有有限维不变子空间，然后应用定理1.3。对于这个过程，我们确定生成器A的所有特征值λ，然后我们区分两种情况：o对于一般算子A，我们确定广义微分值问题的所有解。更准确地说，让λ∈ C是andlet n的特征值∈ N任意。

如果λ∈ R、 然后我们确定广义特征值问题（A）的所有解- λ） n=0，（7.1），在λ的情况下∈ C\\R我们确定GeneratedIgenValue问题的所有解决方案（（A- λ） （A）- λ） ）n=0。（7.2）o如果A是对称的，则每个特征值都是实的，对于特征值λ∈ 确定特征值问题所有解的Rit函数- λ = 0.（7.3）出于我们的目的，我们不需要算子A是自伴的，因为我们主要考虑了它对H.14 STEFAN Tappeor有限维子空间的限制。本节中的一般数学框架是第2节的；特别地，在本节中，驱动过程X表示某个正整数m的Rm值Lévyprocess∈ N、 首先，我们处理HJMM方程，我们已经遇到了第6节。这里我们考虑线性HJMM方程（drt=ddxrt+αHJMdt+σdXtr=h.（7.4）为了与下面的示例一致，我们考虑状态空间L（R+，ρ）上的（7.4）以获得一些适当的度量ρ。此外，为了确保没有套利，我们假设漂移项由αHJM=ddxψ给出(-Tσ），其中ψ表示Lévy过程X的累积量生成函数。我们参考，例如，参考【7，第2.1节】了解更多详细信息。7.1. 提议以下陈述是等效的：（i）线性HJMM方程（7.4）有一个有效的实现。（ii）有有限组I R、 J R×（0，∞), 和整数p∈ Nsuchthat（7.5）σk∈Mλ∈Ihx 7→ xjexp（λx）：j=0，圆周率⊕M（u，ν）∈Jhx 7→ xjexp（ux）cos（νx），x 7→ xjexp（ux）sin（νx）：j=0，Pi对于所有k=1，m、 证明。我们设置A：=d/dx，让n∈ 不要武断。对于λ∈ R theODE（7.1）的所有解由线性空间hx 7给出→ xjexp（λx）：j=0。