随机偏微分仿射实现的存在性

n- 1i。此外，对于λ=u+iν∈ 当ν>0时，ODE（7.2）的所有解都由线性空间hx 7给出→ xjexp（ux）cos（νx），x 7→ xjexp（ux）sin（νx）：j=0，n- 1i。因此，应用定理1.3完成了证明。7.2. 评论关于由维纳过程驱动的线性HJMM方程，我们参考了[26，Thm.5]中一个密切相关的结果。接下来，我们考虑随机输运方程（dut=高压，iut+αdt+σ（ut-)dXtu=h，（7.6），描述流速为v的流体污染物∈ Rd随时间变化。这里的状态空间是H=L（C，ρ），有一个闭集C Rd和适当的测量值ρ。我们假设闭集C的性质为C+{电视：t∈ R+}，对于每个y∈ C存在唯一元素x∈ C和t∈ R+这样的y=x+tv。一阶微分算子hv，出现在（7.6）中的i是由t的平移半群（Stu）（x）=u（x+tv）生成的≥ 0和x∈ C、 以下是该框架涵盖的两个示例：随机偏微分方程的仿射实现15oHJMM方程（7.4），其中C=R+，C={0}和v=1。o文献[25]中的SPDE描述了人口演变的死亡率。这里是集合C，C 稀有给定byC={（s，y）∈ R+×R:y≥ -s} ，则，C={t（0，1）：t∈ R+}∪ {t（1，-1） ：t∈ R+}，我们有速度v=（1，-1).7.3. 提议我们假设存在函数ξ：C→ Rmand h:R+→rm使得σk（x+tv）=ξk（x）·hk（t），对于所有（x，t）∈ C×R+和所有k=1，m、 对于所有k=1，…，HKI的形式为（7.5），m、 然后，随机运输方程（7.6）有了一个有效的实现。证据设置A：=高压，i、 对于所有x∈ C和所有t∈ R+我们有σk（x+tv）=ξk（x）·（hk）（t），k=1，m、 因此，结合定理1.3和命题7.1得出证明。

现在，我们考虑二阶算子的例子，以及自然科学中通常出现的相应应用。我们的第一个这样的例子是随机方程（参见[6，Ex.0.8]）（dvt=τλddxvt- 及物动词dt+σdXtv=h，（7.7），描述电缆随时间变化的电压。常数λ、τ>0是电缆的物理常数；λ是长度常数，τ是时间常数。这里的状态空间是H=L（（0，π）），我们可以选择generatorA=-域D（A）=H（（0，π））∩ H（（0，π））。因此，电缆由区间[0，π]建模，我们考虑Dirichlet边界条件，这意味着电缆端点没有电压。7.4. 提议以下陈述是等效的：（i）随机电缆方程（7.7）有一个有效的实现。（ii）有一个有限的指数集I N使得σk∈明尼苏达州∈Ihx 7→ sin（nx）i，k=1，m、 证明。Sturm-Liouville特征值问题的特征值u+λu=0，u（0）=u（π）=0由λn=n，n给出∈ N、 相应的本征函数由un（x）=sin（nx），N给出∈ N、 因此，定理1.3完成了证明。接下来，我们考虑随机热方程（dut=autdt+σdXtu=h，（7.8），描述了一个区域内介质随时间的热量。常数a>0是导热系数。这里我们有状态空间H=L（O），其中O Rdenotes开放单位ballO={x∈ R： x+x<1}，16 STEFAN Tappen，我们可以选择发电机A=- 在域D（A）=H（O）上∩ H（O）。因此，我们测量温度的区域是闭合单位ballO，我们考虑Dirichlet边界条件，这意味着边界处的温度为零球的方向。

在接下来的结果中，我们使用极坐标，并同意以下符号：o对于p∈ Nwe用Jp表示：R+→ R第一类贝塞尔函数。o对于（p，q）∈ N×N我们用λpq>0表示贝塞尔函数Jp的第q个正零。7.5. 提议以下陈述是等效的：（i）随机热方程（7.8）有一个有效的实现。（ii）有一个有限的指数集I N×N使得σk∈M（p，q）∈Ih（r，Д）7→ cos（pД）Jp（λpqr），（r，Д）7→ sin（pД）Jp（λpqr）如果所有k=1，m、 证明。拉普拉斯特征值问题的特征值u+λu=0，u=0开Oare由λpq给出，（p，q）∈ N×N，通过使用极坐标，相应的本征函数由upq（r，Д）=cos（pД）Jp（λpqr）和vpq（r，Д）=sin（pД）Jp（λpqr）给出。因此，定理1.3完成了证明。Hermite半群（也称为Dunkl-Hermite半群或OrnsteinUhlenbeck半群）和Laguerre半群在量子力学和数学物理中起着中心作用。首先，我们考虑随机埃尔米特方程（dut=-+ hx、，我utdt+σ（ut-)状态空间h=L（Rd，exp）上的dXtu=h（7.9(-kxk）dx）对于某些d∈ N、 如果是d≥ 2，然后是β∈ Ndwe定义了广义Hermite多项式HβasHβ（x）：=dYi=1Hβi（xi），x∈ Rd，其中（Hn）n∈ndnote通常的Hermite多项式。7.6. 提议以下陈述是等效的：（1）随机埃尔米特方程（7.9）有一个有效的实现。（2） 有一个有限的索引集I 确保σk（H）明尼苏达州∈IhHβ：β∈ Ndwith |β|=nifor all k=1，m、 证明。特征值问题-u+hx，ui=λUh为特征值λn=n，n∈ n具有相应的本征函数{Hβ：β∈ Ndwith |β|=n}。因此，定理1.3完成了证明。

随机偏微分方程17的仿射实现接下来，我们考虑随机拉盖尔方程（dut=-hx、，i+h1- x，我utdt+σ（ut-)状态空间h=L（Rd+，B（Rd+，exp）上的dXtu=h（7.10(-kxk））对于一些d∈ N、 如果是d≥ 2，然后为β∈ 我们定义了广义拉盖尔多项式LβasLβ（x）：=dYi=1Lβi（xi），x∈ Rd，其中（Ln）n∈ndnote通常的拉盖尔多项式。7.7. 提议以下陈述是等效的：（1）随机拉盖尔方程（7.10）有一个有效的实现。（2） 有一个有限的索引集I 确保σk（H）明尼苏达州∈IhLβ：β∈ Ndwith |β|=nifor all k=1，m、 证明。特征值问题hx，ui+h1- x，ui+λu=0具有特征值λn=n，n∈ n具有相应的本征函数{Lβ：β∈ Ndwith |β|=n}。因此，定理1.3完成了证明。在[5]中，提出了一个不同于HJMM方程（7.4）的利率期限结构模型。也就是说，假设波动过程满足形式的二阶SPDE（dYt=κddxYt+ddxYtdt+σdXtY=h（7.11），具有正常数κ>0和Dirichlet边界条件。这里的状态空间是H=L（（0，1），exp（x/κ）dx），我们可以选择generatorA=-κddx-域D（A）=H（（0，1））∩ H（（0，1））。7.8. 提议以下陈述是等效的：（1）二阶项结构方程（7.11）有一个有效的实现。（2） 有一个有限的索引集I N使得σk∈明尼苏达州∈Ihx 7→ 经验值(-x/κ）sin（nπx）如果所有k=1，m、 证明。特征值问题κu+u+λu=0，u（0）=u（1）=0的特征值λn=2κ1+nπκ, n∈ N、 18 STEFAN Tappew与相应的特征函数sun（x）=exp(-x/κ）sin（nπx），n∈ N、 因此，定理1.3完成了证明。7.9. 评论我们参考[26，Thm。

6] 对于由维纳过程驱动的二阶项结构方程（7.11）的密切相关结果。参考文献[1]Bj"ork，T.（2004）：关于利率模型的几何学。巴黎普林斯顿数学金融讲座，133–215。[2] 比约克，T.，兰登，C.（2002）：关于非线性远期利率模型的有限维实现的构建。金融与随机6（3），303–331。[3] Bj"ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[4] Brace，A.，Musiela，M.（1994）：Heath、Jarrow和Morton的多因素Gauss-Markov实现。数学金融4（3），259–283。[5] Cont，R.（2005）：术语结构动力学建模：有限维方法。《国际理论与应用金融杂志》8（3），357–380。[6] Da Prato，G.，Zabczyk，J.（1992）：有限维随机方程。剑桥大学出版社，纽约。[7] Eberlein，E.，"Ozkan，F.（2003）：可违约的利维期限结构：评级和重组。数学金融13（2），277–300。[8] Filipovi'c，D.（2000）：随机方程弱解的不变流形。概率论及相关领域118（3），323–341。[9] Filipovi'c，D.（2001）：Heath Jarrow Morton利率模型的一致性问题。柏林斯普林格。[10] Filipovi'c，D.、Tappe，S.、Teichmann，J.（2014）：带边界的跳跃微分不变流形。概率论电子杂志19（51），1–28。[11] Filipovi'c，D.，Teichmann，J.（2003）：有限维随机方程不变流形的存在性。功能分析杂志197（2），398–432。[12] Filipovi'c，D.，Teichmann，J.（2004）：关于利率期限结构的几何学。伦敦皇家学会会刊。系列A。

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