解决斯拉夫资本理论中的再交换悖论

最近关于斯拉法“标准商品”含义的讨论还没有得到普遍接受的观点，包括Bellino（2004）、Baldone（2006）和Wright（2014、2017）的讨论。16第j个子系统具有以下实际劳动工资作为给定技术利润率的函数：11[（1）]Lj L K jwpr-=-+a I a e（10），其中je是一个列向量，其所有元素都等于零，但第j个元素除外，它等于单位。以第j种商品表示的资本投入价格为11（1）1[]（1）LK L Kj j jwrp p p r-+= = -+w p a I a（11）除以（11）BYJWPYIELDS111[]1 K L KLwr-=-+给定（8）、（11）和（12），w a I a（12）等于1ktlllrww+=w wA（13）5。从线性规划的角度分析斯拉菲价格体系，以进一步阐明体系（8）中使用的资本货物租赁价格的含义及其与利率的关系，（8）的第三行可以用目标函数来补充，该目标函数指定了以下经典规划问题（）C Min中整个经济体的成本最小化假设=ww w v（14）sub toT=p wa，其中是主输入的给定（列）向量。上述最小化问题具有数量最大化（）R Max的双重对应项=ff p f（15）sub toT=A f vwherefis最终输出的给定（列）向量。

问题（14）和（15）的拉格朗日函数分别为L（w，Cλ）=C（w）+（T-p wA）Cλ（16）L（Rλ，f）=R（f）+Rλ（T-v A f）L（w，Cλ）的驻点的条件为*********（，）（）（，）CC T CCTLCL =  - = = - =wwλwλw Aλ0wλp w A 0（17）和L（Rλ，f）的值为*******（，）（）（，）RR R TRTLRL =  - = = - =ffλλfλA 0λf v A f 0（18）解2n+1方程（17）得到2n+1未知数的解：n+1仪器（输入价格）*和n个拉格朗日乘数*。Cλ类似地，同时求解2n+1方程（18）可得出其他2n+1未知数的解：n+1拉格朗日乘子*Rλ和n仪器（最终输出）*。F以上，**（）C=wwvand**C=λf。类似**（）R=ffpand**R=λw。因此，在所做的假设下，实现了最佳总成本支出和收入的相等，即**RC=，如下所示（*T-p w A）*Cλ=0，表示***T=pf w A f，和*（），RT-=λv A f 0表示**=w v pf。如果资源v允许变化，则使用从问题（15）导出的修改后的拉格朗日函数得出生产v输入的边际最优值。这些值是通过区分关于：***（，）RRL的朗格朗日函数获得的 = =vvλfλw（19）的演示，此处省略以节省空间，可以在Intriligator（1971年，第36-38页）中找到。根据（8），最优投入价格向量***[]LKwWW与租赁价格**（1）资本货物服务投入的KKr=+WP符合资本租赁价格的定义，至少可以追溯到Walras（另请参见附录中的替代演示）。

当它们衡量目标价值对各自资源量边际变化的敏感性时，通常被称为“影子价格”。敏感性分析可以扩展到下一节讨论中矩阵Taas的输入-输出系数的变化。就两种不同的生产方法而言，对替代生产方法的成本最小化选择，Sraffa（1960，第98页）声称：生产相同基本商品的两种不同方法只能在交叉点共存（也就是说，在那些利润率下，当劳动力不具有约束力时的价格，就像在最简单的稳态模型中没有实行充分就业一样，继李嘉图之后，从系统外实行外源性非零生存工资。这就是所谓的“固定工资假设”在许多具有完全弹性劳动力供给的Srafa型模型中被考虑，其中主导技术、该技术的回报率是从技术前沿确定的（Hicks 1973，第49页）.由于Srafa假设了成本最小化行为，在其部门间价格模型中明确引入了成本最小化的目标，从而产生了资本货物的新古典租赁价格（如Bruno，1969年，第47页和Salvadori，1982年给出的早期陈述）。这两种方法的生产效率是相等的），因为这两种经济体系（分别以这两种方法为特征，但在其他方面都是相似的）在这些点上必然也具有相同的商品工资和相同的相对价格体系。

定义1：两种生产方法（如方法I和方法II）相交的Sraffan点，定义为同时满足以下要求的人员：（i）利率（或利润）rr=其中r*的数值是（是）重点部门实际工资方程的以下等式的解：11[（1）][（1）]i i II IIL K j L K jrr--- + = - +a I a e a I a e（20）（ii）×r满足（20）的数值还应满足一致性要求，即两种方法在真正的切换点中产生相同的相对价格体系，即*1*1[（1）][（1）]]0；I II II IIL K I L K ir r I j--- + - - + =  a I a e a I a e（21），使用（8）等于*（）0；II IT T iij- =  w A A e（22）仅使用实际工资利润率曲线来确定“两种方法的生产价格相等”的交点可能会出现问题（Sraffa，1960，第102页，图8）。一般来说，二维坐标工资利润空间中的交点不会映射到实际投入价格的n维坐标空间中替代技术的交点。换句话说，方程式（20）和（21）-（22）通常不同时成立。图2展示了两部门双因素双技术模型（其中δ=0）的情况，该模型显示了两种方法各自工资利润曲线的两个切换点，对应于左侧象限中的不同相对价格，对应于各自的线性实际因素价格曲线。有趣的是，这种配置并没有表现出20 Sraffan切换点，即两种技术在给定实际工资下产生相同相对投入价格和相同利润的轨迹。

此外，左侧象限中两条相交曲线的上包络线是真实的真实要素价格边界。这一边界是在真实要素价格的多维坐标空间中形成的，在斯拉菲文献中，这种坐标空间总是被真实工资-利息曲线的上包络线所取代，从而导致剑桥争论产生错误的结果。现在可以考虑两种商品、三种投入和两种技术的生产系统的实际要素价格边界的不同情况。在实际工资和利润率的二维坐标空间中，两种技术之间可能会出现一个或多个交点。这些交点可能不会映射到连接点a和B的直线轨迹的对应点，如图3所示。斯拉法本人明确表示，只有当替代技术的数量低于因子输入的数量时，才有可能重新切换技术。只有在这种情况下，在给定劳动力工资的替代技术中，所有相对价格和利润率才能在多个点上相等。相反，如果替代技术的数量等于或大于因子输入的数量，则不可能重新切换技术。在基于萨缪尔森（1962）“替代生产函数”的利瓦里（1965）非再切换定理的表述中，将工资利息上限边界与真实的实际要素价格边界混淆，并被Garegnani（1966）、Bruno等人（1966）、利瓦里和萨缪尔森（1966）、Morishima（1966）混淆，由此得出错误的结果。另见Pasinetti（1977年，pp。

169-173).21图2：具有三种投入和两种技术的两部门双因素二技术模型中的实际要素价格边界和实际工资利润率曲线。图3：三种输入和两种技术模型中的实际要素价格边界，他用以下术语论证：【替代生产方法】的共存是可能的，因为k基本方程（代表k种生产方法）和k+1未知量（代表k–1【相对】价格、工资wL和利润率r[总投入数量为22等于k+1]）还有一个更基本的方程式（或生产方法）的空间，即使它不会带来额外的产品和额外的价格。然而，对于k+1生产方法[方法的数量等于未知实际投入价格的数量]，不再可能随意改变利润率，其水平现在已经完全确定。在利润率的任何其他层面上，这两种方法都是不相容的，它们所属的两个不同的系统没有联系点。（斯拉法，1960年，第90页。）最后一段斯拉法的上述段落可以在以下情况下用数学描述。A、 如果技术的数量等于要素投入的数量，而替代技术的数量等于要素投入的数量，则在系数矩阵不奇异的情况下，实际要素价格是唯一确定的。

让我们考虑n部门Sraffan模型的一般情况，该模型具有（n+1）输入（商品输入加上一个劳动力输入）和（n+1）不同的技术，每个部门将自己的产品作为输入提供给其他部门和自身。给出（8）中的第三行，让重点部门的实际要素价格方程系统（例如第一个）表示如下。11 11 11 1 111 11 11 1 1( 1) ( 1) ( 1)11 11 11 1 1 ...  1.1.1 I IKnLKLnII II IKNLKLNN n nKnLKLnwwwa a ap p pwwwa a ap p pwwwa a ap p p p p++++=++=++=（23）回顾11/（1），Kw p r=+矩阵形式的解决方案为 ( 1)( 1)( 1)11 1 111 11 11111 1 1......(1 ) ...  = 1 1 ... 1.nnnI IIL LI IIKnLI IIn na aa a awwrppa a a+++-+（24）23前提是要反转的矩阵不是单数矩阵。在这种情况下，在不同技术条件下固定收入分配的r或1/LWP没有自由度。正如斯拉法在上述报告文本中指出的，解决方案是独特的，这意味着不可能进行重新切换。与真正的切换点相对应，可以重新排列方程系统（23），以便将相对输入价格与基于平稳条件（17）的技术系数敏感性分析联系起来。

从技术的二元比较开始，例如，I和II，在一个转换点上与相等的相对单位成本和价格共存，利用各自成本方程的差异并重新排列，得出重点行业n个相对投入价格中的以下单一方程：*1 1 1*1（）（）0II I II IL L K KLaaw- + - =w a a（25）应用具有共同相对价格的指数的传递性属性作为权重，在同一切换点对n种技术进行二元比较的整个系统产生*1 1 1**1 1 1 1**1 1 1**1 1 1 1*1（）（）1（）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。第1（）（）个thII I II IK K L LLIII II III IK K K L LLn n n K K L Llaawawaw- = - -- = - -- = - -w a aw a aw a a a（26）求解公共切换点中资本货物相对于工资的租金产生*11*1（）KLw-=  -w c I D（27）24，其中1是一个（行）向量，元素为 - , andDis a矩阵，带元素0 SSD=和1111，其中，1.Kt KtstKs Ksaad s t s t naa-= -  =-;   , ,.., . thI II n   =由于经济中只有一种资本商品，相对投入价格的解决方案是*11*11II IK L LII IL K Kw a aw a a a-=--, 在生产技术的连续光谱的情况下，对应于（4）。边际生产率原则源自于竞争平稳均衡中成本最小化、非联合生产和规模收益不变的假设。

由此产生的零利润来自于产出价值等于总生产成本，从而产生基于离散边际产品比率的相对要素价格方程（26）。因此，Sraffan模型产生了资本和劳动力投入（负）边际替代率（MRS）的对应物，在连续情况下，由（3）、（4）和（5）定义。Dorfman、Samuelson和Solow（1958年，第403页）用这些术语描述了离散模型中相对价格与MRS的等价性：不存在唯一的边际替代率效率边界的斜率是不同的，这取决于我们采取的方向。我们可以将这些不同的坡度想象为对“the”MRS的限制。我们还知道，在一个角或边上会有多个支撑面，即多个相关的p（在边界上真正平坦的地方，支撑面是唯一的，实际上与边界重合）但是，所有这些支承面都将在为MRS设定的限制范围内具有斜率，因此，即使在拐角处，相关p比率和MRS之间的广义对应关系也将保持不变。（原文强调。）正如Bliss（1975，第94页）正确指出的那样，“记住边际概念不是首要的，而是遵循最大化的基本假设的重要性在于，当边际方程的规格不明确时，它会指导我们回到假设的最大化以寻求答案”。25拐角处的实际要素价格“介于生产要素的左侧和右侧边际产品之间”（Bliss，1975，第109页）。事实上，在成本预算行的交叉点，相对投入价格与两种技术相同：*（）**（）**（1）（1）IKIIrr=+=+wpp（28）与Sraffa（1960，p。

90）他自己指出，资本投入价格有一个唯一的向量，在替代技术的数量不低于商品投入的数量且利润率是唯一确定的一般情况下，没有重新切换。利润率与劳动力相对投入价格之间的非线性关系是技术重新切换这一明显悖论的核心，它可能出现在给定利润率或劳动力工资的可能值区间内。r和相对价格之间的非线性关系意味着利润率和资本投入租金在劳动力方面可能不会成比例变化。这种关系的非线性程度严格取决于Sraffan矩阵的秩等于生产部门的数量。在两部门模型中，租金价格相对于劳动力成本是利润率的二次函数。通常，对于n个扇区，这种关系最多具有n次多项式形式。通过两个扇区、两个输入、两种技术，解决方案（24）变成 1111111=1 Illlki Ikkaawwppaa-（29）例如，Schefold（1976）对作为利润率函数的相对价格的分析仍然属于Sraffan框架内的产出价格领域，而Gram（1976）提供了两种模型解决方案的比较，但他的分析保持了Sraffan对实际工资利润率关系的解释，即实际要素价格曲线，但他没有澄清这条曲线是同一模型的简化形式。26在静态平衡中，等式211（1）Kw r ppp+=成立。如果相对价格21/磅的水平满足技术条件，则r没有自由度（反之亦然）。