具有随机梯度的学习门限型投资策略

正如我们在备注1中所指出的，阈值函数中只应使用那些过程，这些过程并不意味着与日志返回无关。杠杆效应有几种定义，无论如何，它是股价变化和过去波动性之间的联系（即在我们的案例中，HTT和νt之间-1). 价格中没有杠杆效应的噪音，例如噪音项ηtin 2.5，在投资中没有优势。杠杆效应具有显著作用，因为这是我们利用波动性的唯一方式，但长记忆通常出现在波动性中。正如文献[13]所示，长内存隐藏在易失性中，而不是进程的漂移部分。在多元情况下，最优θivalues没有闭合形式。当然g级/θi=0必须满足。例如，在（2.16a）的二维版本中，最佳θ必须满足g级/θ=Z∞-∞v（θ- θx，x）f（θ- θx，x）dx=0，（2.17a）g级/θ=Z∞-∞-xv（θ）- θx，x）f（θ- θx，x）dx=0，（2.17b）方程，其中v（x，y）：=E[Ht | Ht-1=x，Ht-2=y]，f（x，y）是（Ht）的联合pdf-1，Ht-2). 如果我们希望包括对数波动率νt，则DGSV情况下的方程更复杂-1然后我们需要替换变量x→ exp（x）并重新解释pdf和条件平均值（使用eνt-1代替Ht-2、这些通常是未知函数，我们只能根据与我们的目标相反的数据来估计pdf和ConditionalExpection。这并不意味着Kiefer-Wolfowitz算法不能收敛到最优θ，只是我们不能提前计算出它们的最优值。如果动力学已知，则可以使用蒙特卡罗方法来估计最优值。这就是我们在数值模拟中使用的。在这里，我们想展示如何将基弗-沃尔福威茨算法用于投资目的的基础知识。

也可以使用其他流程。3基弗-沃尔福威茨算法根据基弗-沃尔福威茨优化程序，我们正在寻找（2.11）的最大值。单变量情况：任务是找到最佳阈值θ*∈ Rmaximizeθg（θ）：=E[Ht{Xt-1> θ}]，（3.1）随机过程Ht和Xt-1均为单变量。让我们用G（θ；Ht，Xt）表示时间t的增长-1） ：=Ht{Xt-1>θ}. 随机梯度算法使用增长的有限差异：θt+1=θt+atG（θt- 计算机断层扫描；Ht，Xt-1) - G（θt+ct；Ht，Xt-1） ct，（3.2），其中步长At和有限差分ct的步长是实值序列。分数是梯度的近似值。自增长G（θ；…）是θ的指示函数，因此其有限差可以简化为一个范围。为了更清楚，我们表示范围[x- c、 x+c]为[x±c]。然后，算法可以写成θt+1=θt+atHt{Xt-1.∈[θt±ct]}ct。（3.3）这种形式主义将有助于我们在后者中更好地理解该方法的使用。一般来说不可能证明，但通过第4节中的一些示例，我们可以清楚地表明，这种递归更新收敛到我们在前一节中所示的最优值：θtL--→ θ*, （3.4）收敛在L中，即我们可以显示均方误差（MSE）的收敛性。如果收敛完成，其速度通常具有幂律。一般来说，没有直接的方法来选择超参数。在第4节中，我们展示了一些想法，在此基础上我们可以选择超参数。在现实投资中，金融环境不是静态的，价格动态可能会发生变化，新因素可能会出现/消失，因此最优策略也会发生变化。

为此，在实践中，投资者使用恒定和非常小的步长At和Ct，它们能够跟踪最优值的变化。在本文中，我们的目标不是关注市场的变化。多变量情况：算法以相同的方式工作，参数的每个维度分别更新，没有交叉影响。例如，在已知对数波动率（2.16b）的情况下，增长G（θ，θ；Ht，Ht-1，νt-1） θt+1=θt+atHt{Ht-1.∈[θt-θteνt-1±ct]}ct（3.5a）θt+1=θt+atHt{Ht-1.∈[θt-θteνt-1±cteνt-1] }ct（3.5b）4数值结果每个算法的关键部分是超参数的选择。在他们的论文中，J.Kiefer和J.Wolfowitz[6]也讨论了参数选择的问题，尽管他们能够在更简单的背景下给出准确和有效的条件。这些条件是典型的要求，我们的模型也满足这些要求：1。计算机断层扫描→ 0.2.P∞t=1at=∞, 也就是说，该算法可以达到任何状态。3、P∞t=1atct<∞.θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】Ht[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E[Ht]E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】0.00.10.20.3-2 0 2θgu=0.15，α=0.5，σ=0.75AR（1）模型：g（θ）（a）Log return是一个AR（1）过程θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*θ*E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】E【Ht】0.10.20.30.4-4.-2 0 2 4θgu=0.15，α=0.5，σ=0.75，ρ=-0.2，b0=0.4，b=0.7DGSV模型：g（θ）（b）日志返回是一个DGSV过程图1：函数θ→ g（θ）。

两个图都显示了Ht的0.01和0.99%范围内的θ值。4、P∞t=1atc-2t<∞.通常的第一猜测选择是at=t-1和ct=t-1/3.分析单变量情况下的增长函数g（θ）有助于我们以合适的方式构造步长。图1和（3.3）表明θt必须保持在与Xt相同的范围内-1，自Xt起-16∈ [θt±ct]，t型∈N将导致常数θt。在数值模拟中，我们仅显示关于Xt的结果-1： =Ht-1案例。在这两个例子中，我们可以做出以下评论：og（θ→ -∞) = E[Ht]，低θ意味着πt=1，即财富等于股票价格g（θ→ ∞) = 0，高θ意味着π=0，财富等于债券价格在简单的情况下，当HTS是一个自回归过程，并且当它具有更复杂的现实动力学DGSV时，存在唯一的θ*这是可以计算出来的如果θt的值超出了htg（θ）的导数为零的典型值，那么算法返回是没有希望的，它会停留在那里。为了克服最后一句话的问题，我们对算法进行了一些修改。首先，必须在Ht的小样本上估计初始值θ。在每个实现中，我们使用10个数据点来初始化θ：=Pt=10Ht/10。这个非常小的样本已经足够让算法从一个相对较好的点开始。其次，我们不能让算法采取任何大的步骤。一般的解决方案是在子空间中使用一个项目θ。在我们的例子中，我们对已知的Ht范围进行截断：θt=最小1≤j≤tHj，如果|θt<min1≤j≤tHj，|θt，否则，max1≤j≤tHj，如果|θt>max1≤j≤tHj，其中|θ：=θt-1+atHt{Ht-1.∈[θt-1±ct-1] }/ct-1、使用简单的参数化at=t-1和ct=t-1/3可以在简单的环境中工作。图2显示了超参数工作的简单选择。以N=25个实现和T=50000个时间步执行模拟。

均方误差（MSE）是误差的近似值。误差的对数标度图表明，在这两种情况下，均方误差都有幂律衰减。要求，即Ht-1如果我们对过程进行缩放，则在很大一部分时间内，必须保持在[θt±ct]范围内。如果我们以某种方式调整算法的步骤，这个问题就可以得到解决。因为问题在阶跃函数Ht中-1.∈ 【θt±ct】，步骤ct必须反映过程的规模（Ht-1和0 20000 50000-1.0 0.0 1.0AR（1）时间步长θt1 1000.002 0.050时间步长mse（a）a子图0 20000 50000-1.0 0.0 1.0dgsv时间步长θt1 1000.05 0.20时间步长mse（b）A子图2：Kiefer–Wolfowitz算法在LF中的收敛，如1所示。左图显示了5-5个实现，而右图显示了所有实现的均方误差（MSE）。θ皮重相同）。如果我们重新缩放ctvariable，那么我们还需要补偿at/ctterm。因此，步骤如下：at=Kt-p、 ct=Kt-q、 （4.1）式中，K等于Ht的标准偏差。这可能是对标准偏差的估计，但对于隐含性，我们使用整个数据集来估计它。在ATA和CTI上使用比例因子K的性能如表1所示！！！和图！！！。表中显示了t=t=100 000时的均方误差，而图中显示了函数t→ MSEtwith different scaling不同的缩放。下表和图的参数设置见（4.2）和（4.3）。在数据集-2中，当α较小时，尽管过程的变化较大（在AR（1）情况下，变化为σ/（1），但均方误差较高- α)). 这是因为α越低，我们拥有的信息越少，学习起来就越困难。

图3和图4显示，在不缩放算法的情况下，首先等待一个合适的大小，而使用缩放可以加快这一速度，并且算法使用合适的ct。数值结果还表明，缩放过程的最佳方法是使用过程标准偏差的五倍。数据集1：u=0.01，α=0.5，σ=0.05，ρ=-0.2，b=0.4，b=0.7。（4.2）数据集2：u=0.005，α=0.2，σ=0.05，ρ=-0.2，b=0.4，b=0.7。（4.3）（在AR（1）中，只有u、α、σ有意义。）缩放AR（1）DGSVDataset-1（×10-6） 数据集-2（×10-5） 数据集-1（×10-6） 数据集-2（×10-5） 无标度7.8 1.8 6.7 19.2K=st.dev.（Ht）11.4 17.9 53 120.0K=st.dev.（Ht）5 1.7 1.6 20 8.8表1：步骤At和ct的不同标度下的算法性能。1 100 100001e-05 5e-04 1e-02时间步长MSEDataset 1，无缩放1 100 100001e-05 1e-04 1e-03时间步长MseDataSet 1，K=标准（H）1 100 100001e-06 5e-05时间步长MseDataSet 1，K=标准（H）*51 100 100002e-05 2e-04 2e-03MSEDataset 2，无缩放1 100 100002e-04 5e-04MSE数据集2，K=标准（H）1 100 100002e-05 2e-04 2e-03MSEDataset 2，K=标准（H）*5图3：研究AR（1）两种不同参数化的不同缩放效果。参数见（4.2）和（4.3），结果见表1.1 100 100002e-06 5e-05 2e-03时间步长MSEDataset 1，无缩放1 100 100005e-05 5e-04时间步长MseDataSet 1，K=标准（H）1 100 100001e-05 2e-04 5e-03时间步长MseDataSet 1，K=标准（H）*51 100 100002e-04 1e-03 5e-03MSEDataset 2，无缩放1 100 100002e-04 1e-03MSEDataset 2，K=std（H）1 100 100005e-05 5e-04 5e-03MSEDataset 2，K=标准（H）*5图4：研究DGSV两种不同参数化的不同缩放效果。

参数见（4.2）和（4.3），结果见表1。资助第一作者衷心感谢2018/2019年人力资源部（项目编号：'UNKP-18-3-IV-PPKE-21）的'Uj Nemzeti Kiválóság项目的支持。第二作者感谢匈牙利科学院“Lendület”赠款LP 2015-16（Lendület赠款LM 2015-16）的支持，以及NKFIH（匈牙利国家研究、发展和创新办公室）赠款KH126505的支持。参考文献【1】Kendall Kim。电子和算法交易技术：完整指南。学术出版社，2010年。[2] 艾琳·奥尔德里奇。高频交易：算法策略和交易系统实用指南，第604卷。John Wiley&Sons，2013年。[3] 李斌和陈海燕。在线投资组合选择：一项调查。ACM计算调查（CSUR），46（3）：352014年。[4] 马科斯·洛佩斯·德普拉多。金融机器学习的进展。John Wiley&Sons，2018年。[5] 赫伯特·罗宾斯和萨顿·蒙罗。一种随机近似方法。《数学统计年鉴》，第400-4071951页。[6] 杰克·基弗，雅各布·沃尔福威茨，等。回归函数最大值的随机估计。《数理统计年鉴》，23（3）：462–4661952年。[7] Zhenhua Zhang、G Yin和Zhian Liang。美式lookbackput期权的随机逼近算法。《随机分析与应用》，29（2）：332–3512011。[8] G Yin、Qing Zhang、F Liu、RH Liu和Y Cheng。使用纳斯达克每日和日内数据通过随机近似进行股票清算。《数学金融：国际数学、统计和金融经济学杂志》，16（1）：217–2362006年。[9] Yinlam Chow和Mohammad Ghavamzadeh。mdps中cvar优化算法。《先进的神经信息处理系统》，第3509–3517页，2014年。[10] 苏菲·拉鲁埃尔和吉勒斯·帕格斯。

将平均创新的随机近似应用于金融。蒙特卡罗方法与应用，18（1）：1–512012。[11] Andrey Kibzun和Riho Lepp。投资组合分位数问题的离散逼近。InStochastic优化：算法和应用，第121–135页。斯普林格，2001年。[12] 苏菲·拉鲁埃尔、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和吉勒斯·佩奇。流动性池中订单的最优分割：一种随机算法方法。《暹罗金融数学杂志》，2（1）：1042–10762011。[13] Rama Cont.《资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题》。QuantitativeFinance，第223–236页，2001年。[14] Paul H Algoet，Thomas M Cover，等。对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性质。《概率年鉴》，16（2）：876–8981988。[15] Zsolt Nika和Miklos Rasonyi。记录具有记忆效应的最佳投资组合。《应用数学金融》（Applied MathematicalFinance），第1-29页，2018年。[16] 科林·卡梅隆和普拉文·K·特里维迪。微观计量经济学：方法与应用。剑桥大学出版社，2005年。