具有仿射实现的真实世界远期利率动力学

设（N，Q）为numéraire对，Z为Q相对于P的密度过程，Sδ*是一个严格正的F-可测随机变量。那么以下陈述是正确的：（1）进程δ*=Sδ*NNZ（2.2）是一个增长最优的投资组合。（2） 对于每个T∈ R+和每个FT可测随机变量H，下面的陈述是正确的：（a）我们有H/Sδ*T∈ L（P）当且仅当H/NT∈ L（Q）。（b） 如果（a）中的等效条件已满，则我们有πSδ*t（H）=NtEQHNT公司英尺, t型∈ [0，T]。证据设Sδ为非负的自我融资投资组合。由于（N，Q）是一个数，因此过程SδN=SδZNZis是一个Q-局部鞅。此外，过程1/Z是P相对于Q的密度过程。因此，通过【23，第III.3.8.b款】基准投资组合^Sδ=SδSδ*=NSδ*Sδzn具有仿射实现的真实世界远期利率动力学7是一个P-局部鞅，证明了第一种说法。为了证明第二个语句，设H为非负FT可测随机变量。然后，根据【23】第168页的公式（III.3.9），对于所有t∈ [0，T]我们得到πSδ*t（H）=Sδ*tEP公司HSδ*T英尺=NtZtEP公司HNTZT公司英尺= NtEQ公司HNT公司英尺,这就完成了证明。现在，我们对命题2.15的相反陈述感兴趣。根据（2.2），密度过程Z的自然候选值为Z：=Sδ*NNSδ*（2.3）对于给定的增长最优投资组合Sδ*一个严格正的投资组合N。2.16. 提议设Sδ*是一个增长最优投资组合，N是一个严格正投资组合，Z是（2.3）给出的严格正上鞅。那么下面的陈述是等价的：（i）存在一个等价的概率测度Q~ P打开(Ohm, F） 使得（N，Q）是一个数对，Q相对于P的密度过程由Z给出。（ii）Z是与P（Z）一致可积的鞅∞> 0) = 1.证据这是【23，第III.3.5款】的结果。2.17. 评论

请注意，提案2.16具有以下后果：一般而言，适当的估价指标Q~ P不存在。这表明，命题2.15的相反之处通常是失败的，并说明了与经典风险中性方法相比，基准方法所获得的建模自由度。在基准方法下，我们可以选择密度过程的候选（2.3）是严格超鞅而不是一致可积鞅的模型。如【30】所述，此类模型更真实地反映了长期市场演变。这为利率期限结构模型提供了相当大的自由度，以允许在现实世界的概率度量下进行有效实现如果适当的估价措施Q~ P存在，则由于密度过程的特定形式（2.3），它是唯一的。从这个意义上说，我们得到了一个唯一的局部鞅测度，即使市场不完全，也能产生最小的可能价格在基准方法下，允许使用真实世界定价以外的其他定价规则，当这些规则产生自我融资的非负投资组合时，这些投资组合将复制给定的收益。当进行基准测试时，这些投资组合是局部鞅，因此是超级鞅，它们比实际价格更昂贵。这些投资组合并不代表基准法下的套利投资组合。3、基准法下的HJM模型本节，我们对基准法下的HJM利率期限结构模型产生的债券市场进行了回顾。正如第2节所述，即将到来的定义和结果是众所周知的，我们提供这些定义和结果是为了保持我们的演示文稿的完整性，并引入我们稍后需要的进一步符号。

本节的主要参考文献为基准法下的HJM模型参考文献[9]和[8]，以及风险中性HJM模型参考文献[11]。8 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEWe fix非负整数d，n∈ n带d+n∈ N和m∈ {0，…，n}。设w为Rd值标准维纳过程，X为Rn值纯jumpLévy过程，其分量的正则表示（见[23，Thm.II.2.34]）由Xk=X给出*uxk对于k=1，m和Xk=x*（uXk-νk）fork=m+1，n、 式中，νk表示uXk的补偿器。我们用X的Févy测度表示，用k=1的Févy测度表示，n、 用ν表示uX的补偿器，我们得到ν（dt，dx）=dt F（dx）和νk（dt，dx）=dt 对于k=1，…，Fk（dx），n、 我们假设Lévy过程X，Xnareindependent独立。我们确定初始正向曲线f*: R+→ R、 和挥发性σ：Ohm ×  → Rd和γ：Ohm ×  → Rn，其中  RDE记录集合 := {（t，t）∈ R+：t≤ T}。对于本节的其余部分，我们将施加以下条件，这些条件通常适用于HJM型模型。3.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）f*可测且局部可积。（2） 波动率σ是O B（R+）-可测且局部有界。（3） 波动率γ是P B（R+）-可测且局部有界。根据假设3.1，综合波动率∑：Ohm ×  → RdandΓ：Ohm × → 定义为∑t（t）：=-RTtσt（s）ds和Γt（t）：=-RTtγt（s）ds定义良好，综合波动率∑是OB（R+）-可测量，以及积分波动率Γ是P B（R+）-可测量。对于以下内容，λ表示R+上的Lebesguemeasure。3.2. 定义。

如果φ：=1，则一对（θ，ψ）称为风险市场价格对- ψ满足以下条件：（1）θ：Ohm ×R+→ rdi是一个可选过程，使得kθkRd·λ∈ V+。(2) ψ : Ohm×R+×R→ (-∞, 1） nis是一个可预测的过程，因此对于所有∈ R+我们有xφk（x）ex∑k（T）* νk∈ V+，k=1，m、 （3.1）x个φk（x）ex∑k（T）- 1.* νk∈ V+，k=m+1，n、 （3.2）（3）α（θ，φ）局部有界，其中α（θ，φ）：Ohm ×  → R定义为（3.3）α（θ，φ）t（t）=-dXk=1σkt（T）（σkt（T）- θkt）-mXk=1γkt（T）ZRxφkt（x）exΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxφkt（x）exΓkt（T）- 1.Fk（dx）。现在，我们确定了一对风险市场价格（θ，ψ），并定义了（0，∞)n-值过程φ：=1- ψ. 此外，我们根据（3.3）定义漂移α（θ，φ），并考虑HJM期限结构模型f（T）=f*（T）+α（θ，φ）（T）·λ+σ（T）·W+γ（T）·X，T∈ R+。（3.4）这里，“局部有界”一词是指波动率在每个有界子集Γ上有界 .具有仿射实现9的真实世界远期利率动力学对于以下内容，我们假设∈ R+债券价格过程P（T），由pt（T）=exp给出-ZTFT（s）ds, t型∈ [0，T]（3.5）是一个特殊的半鞅。3.3. 评论定义的前两点3.2确保α（θ，φ）定义良好，且α（θ，φ）是O B（R+）-可测量。3.4. 评论请注意，假设3.1和定义3.2意味着f有aO B（R+）-可测量版本，短期利率定义为Rt：=f（t，t），t∈ R+有一个可选的局部可积版本。以下结果表明，在附加可积性条件（3.6）的约束下，市场风险价格对（θ，ψ）按照基准法的精神产生了无套利债券市场。3.5. 提议假设ψ+ψ1 - ψ* ν ∈ V+。（3.6）那么以下陈述是正确的：（1）存在一个增长最优投资组合Sδ*.（2） 不存在套利投资组合。校样草图。

确定过程Sδ*作为随机指数δ*= Sδ*ER+kθkRd+Dψ1- ψ、 ψEL（F）· λ+θ·W+ψ1- ψ* （uX- ν),（3.7）我们可以验证，对于每一个非负的自我融资投资组合Sδ，基准投资组合Sδ=Sδ/Sδ*是局部鞅。因此，Sδ*是一个增长最优投资组合，根据命题2.8，不存在套利投资组合。3.6. 评论增长最优投资组合Sδ的动力学（3.7）*已在[9]中得到证实。3.7. 评论根据第3.5条建议的证明草图中所示的计算，我们得出，对于每个T∈ R+债券价格过程P（T）的形式为（1.3）。如【9】所示，这对（θ，ψ）是方程（1.4）的解，它解释了术语“风险的市场价格对”。现在，我们回顾一下HJM利率模型（3.4）在风险中性框架内不允许套利的情况。如果存在局部鞅测度，即等价概率测度Q，则债券市场模型无套利~ 这样，对于所有T∈ R+贴现债券价格P（T）/B是Q-局部鞅。3.8. 提议假设F=Wt∈那么下面的陈述是等价的：（i）存在一个等价的局部鞅测度Q~ P打开(Ohm, F） 。（ii）我们有（|ψ|）∧ ψ) * ν ∈ V+，（3.8）和（1.5）满意度（1.6）给出的正上鞅Z。如果满足上述条件，则Z是相对于P.10 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEProof的Q密度过程。关于证明，我们参考【11，Thm.3.1】。如前所述，这是Girsanov定理的结果（见[23]），它也基本上包含在[3]中。3.9. 评论现在，我们可以比较基准法实际定价和经典风险中性法下的HJM模型。

在bothapproaches中，我们首先写下真实世界概率测度P下的远期利率动态（3.4）；也就是说，我们指定了波动率σ和γ，以及风险的市场价格对（θ，ψ）。如【2】所述，有两种查找数字对的双重方法：o修复进程N和查找Q~ P使得（Q，N）是一个numéraire对。在经典的风险中性方法中，这是通过选择savingsaccount B作为numéraire的候选来实现的。因此，在存在的情况下，numéraire对由（Q，B）给出固定等效度量值Q~ P并找到一个过程N，使得（Q，N）是一对。在基准方法下，这是用现实世界的度量P来完成的。如果存在，则numéraire是一个增长最优投资组合Sδ*, 因此，numéraire对由（P，Sδ）给出*).除了略有不同的可积性条件（3.6）和（3.8），命题3.5和3.8表明基准方法在这方面更为普遍。在基准方法下，我们可以选择模型，其中（1.5）给出的密度过程的候选Z是严格的超鞅，而不是统一积分鞅。如【30】所述，此类模型更真实地反映了长期市场演变。下面是一类利率模型的示例，其中Z是严格的超鞅，即使有终值Z∞= 有关平方贝塞尔过程的详细信息，请参阅【30，第8.7节】及其参考文献。3.10. 实例为简单起见，我们考虑了HJM期限结构模型FORMF（T）=f*（T）+αθ（T）·λ+σ（T）·W，T∈ 由一维标准维纳过程驱动的R~+。让y∈ (0, ∞) 任意设置b：=1/y。然后SDE（dBt=4dt+2√BtdWtB=b（3.9）有一个唯一的正解b，称为四维的平方贝塞尔过程。

此外，过程Y：=1/B是SDE（dYt=-2Y3/2tdWtY=y（3.10），它是一个正的局部鞅，是一个严格的超鞅，具有终端变量y∞= 我们确定风险的市场价格θ：=2√Y用Z表示：=E(-θ·W）密度过程的候选者，我们得到Z=Y，因为用L表示随机对数，我们得到Z=E(-θ·W）=E(-2.√Y·W）=EY型·- 2Y3/2·W= EY·Y= E（L（Y））=Y。因此，根据命题3.8，不存在等价的局部鞅测度。然而，根据命题3.5，不存在套利投资组合，因此，基于真实世界定价的仿射变现11市场的债券真实世界远期利率动态根据基准法的精神是无套利的。我们可以通过添加纯跳跃Lévy过程来扩展示例3.10。upcomingexample提供了这样一个扩展，其中包含一个额外的驱动泊松过程。3.11. 实例我们考虑具有一维标准维纳过程W和一维标准泊松过程X的形式（3.4）的HJM期限结构模型。通过Y表示SDE（3.10）的解，我们通过θ：=2定义风险的市场价格（θ，ψ）√Y和ψ（x）：=-Y代表x∈ R、 密度过程的候选者Z：=E(-θ·W-ψ *（uX-ν)). 那么我们有z=Y E(-ψ * （uX- ν） ），因此Z∞= 如例3.10所示，不存在等价的局部鞅测度，但基于真实世界定价的债券市场在基准法的精神下不存在套利。注意，对于特定选择（θ，φ）=（0，1）或等效选择（θ，ψ）=（0，0），漂移项（3.3）成为众所周知的HJM漂移条件（3.11）α（0，1）t（t）=-dXk=1σkt（T）∑kt（T）-mXk=1γkt（T）ZRxexΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxexΓkt（T）- 1.Fk（dx）。让我们回顾一下HJM利率期限结构模型（3.4）在等效度量变化后的动态。3.12. 提议

假设命题3.8的条件已满足。然后，在局部鞅测度Q下，我们得到f（T）=f*（T）+α（T）·λ+σ（T）·W+γ（T）·X，T∈ R+，其中W是Rd值标准维纳过程，过程X是Rn值纯跳半鞅，带补偿器φt（X）F（dx）dt，漂移由（3.12）(R)αt（t）=-dXk=1σkt（T）∑kt（T）-mXk=1γkt（T）ZRxYkt（x）exΓkt（T）Fk（dx）-nXk=m+1γkt（T）ZRxYkt（x）exΓkt（T）- 1.Fk（dx）。证据这源自【11，第3.1条】及其证明。3.13. 评论让我们区分命题3.12中出现的两种情况：o如果HJM模型（3.4）仅由维纳过程驱动，则我们有‘α=α；也就是说，测量值改变后的漂移项与经典的HJM漂移项一致。因此，对于风险θ的市场价格的每一个选择，模型的动力学在广义上可以被视为在等效度量变化之后；当然，只有符合提案3.8的技术要求，尤其是有关密度过程的特殊条件（1.6）。o如果HJM模型（3.4）有驱动跳跃项，则通常我们有‘α6=α（0,1）；也就是说，测量值变化后的漂移项不同于经典的HJM漂移项。这一观察的原因是，与维纳过程相比，在12 ECKHARD PLATEN和STEFAN TappenContrast中，具有跳跃的Lévy过程在测度改变后具有不同的特征。因此，改变风险的市场价格不能再被解释为等价的度量变化；即使在广义上，我们忽略了条件（1.6）。这些考虑因素将为我们即将得出的结果提供几何解释，包括是否存在有效的实现；见下文备注6.3和6.4。4.

由Lévy过程驱动的SPD的仿射实现在本节中，我们提供了关于由Lévy过程驱动的SPD的不变叶理的结果，稍后我们将应用于HJMM方程（1.1）。请参阅[32，第2和3节]和[33，第2节]，了解有关各种叶理的更多详细信息和解释。修复正整数n∈ 设X是具有独立分量的Rn值Lévy过程。为了避免琐事，我们假设ck+Fk（R）>0 fork=1，n、 其中ck∈ R+表示高斯部分，FK表示Lévy度量。设Y为非空拓扑空间，设（Yy）Y∈Ybe是一个Y值、自适应和cádlág过程族，Yy=Y表示所有Y∈ Y、 我们将处理这种类型的SPDEsofdrt公司=Art+α（rt，Yt）dt+σ（rt-)可分Hilbert空间H上的dXtr=hY=y（4.1）。在（4.1）中，算子a:D（a） H→ H在C-半群（St）t的极小生成元内≥H上为0，α：H×Y→ H和σ：H→ Hnare可测映射。本着[28]的精神，对于h∈ H和y∈ 我们称之为H值cádlág适应过程（rt）t≥0（4.1）的弱溶液，R=手Y=Y，如果每个ζ∈ D（A*) 我们有hζ，rtiH=hζ，hiH+Zt哈*ζ、 rsiH+hζ，α（rs，Yys）iHds+nXk=1Zthζ，σk（rs-)iHdXks，t≥ 0，其中h·，·ih表示希尔伯特空间h.4.1的内积。评论在HJMM方程（1.1）中，族（Yy）y∈Y代表提供风险流程市场价格的来源。更准确地说，在接下来的第5节中，我们将确定确定性映射Θ：Y→ Rdandψ：Y×R→ (-∞, 1） n，我们将任何起点y的风险市场价格定义为（θ，ψ）：=（Θ（Yy），ψ（Yy））∈ Y

因为对家庭（Yy）y没有限制∈Y、 这提供了风险过程市场价格的一般类别，参数形式将便于技术目的，例如在第9节中，当我们将证明公布的结果，即在某些假设下，风险的市场价格必须是恒定的。在本节中，我们施加以下正则性条件，以确保（4.1）弱解的存在性和唯一性。4.2. 假定我们假设存在常数K，L>0，使得Kα（h，y）kH≤ K（1+khkH）（4.2）真实世界远期利率动态，所有h的仿射实现13∈ H和y∈ Y、 andkα（h，Y）- α（h，y）kH≤ Lkh公司- hkH，（4.3）kσk（h）- σk（h）kH≤ Lkh公司- hkH，k=1，n（4.4）对于所有h，h∈ H和y∈ Y、 在下面的内容中，让V H是有限维线性子空间。4.3. 定义。A系列（Mt）t≥a ffine子空间Mt的0 H、 t型≥ 如果存在ψ，则0称为V生成的接触∈ C（R+；H）使得mt=ψ（t）+V，t≥ 映射ψ称为叶理（Mt）t的参数化≥0.在下面的内容中，让（Mt）t≥0是由子空间V生成的叶理。4.4. 定义。让y∈ 你可以任意。叶理（Mt）t≥0被称为（4.1）的不变量，Y=yif表示所有t∈ R+和h∈ M弱溶液r至（4.1），r=手Y=ysatis fiesp（rt∈ Mt+t）=1表示所有t∈ R+。4.5. 定义。叶理（Mt）t≥0对于（4.1）称为不变量，如果对于everyy∈ Y对于（4.1）Y=Y是不变的。以下两个结果的证明类似于[33，第2节]（另见[32，第2节]），因此省略。在下文中，子空间T Mt：=ψ（T）+V表示时间T时叶理的切线空间。其定义不取决于参数化ψ的选择；参见【32】。4.6. 定理。让y∈ Y是任意的，假设叶理（Mt）t≥0是Y=Y的（4.1）变量。