具有仿射实现的真实世界远期利率动力学

，d.具有仿射实现的真实世界远期利率动态29定义Vandermonde矩阵A∈ R（d+1）×（d+1）作为Aij：=经验（2）-mh（xi））jfori，j=0，d我们得到A·γ=0。自exp（2）起-mh（xi）），i=0，d是两两不同的，我们推断γ=0，因此c-2m=…=cm=0，表示函数的线性独立性（C.1）。现在，我们准备证明这两个陈述：（1）让m∈ N是任意的，让c，厘米∈ R应确保mxj=0cjexp（f+j2-mh）=0。然后我们得到exp（f）mXj=0cjexp（j2-mh）=0，因此c=…=cm=0，函数的线性独立性（C.1）。自m起∈ N是任意的，我们推断子空间U是有限维的。（2） 让m∈ 不要武断。自[[f，g]] hhi，存在λ∈ R \\{0}和N∈ N使得集合[[f，g]]∩ {j2-nλh:j=1，2n}至少有m个元素。因此，通过函数（C.1）的线性独立性，有h，hn公司∈ [[f，g]\\{0}这样，当h：=0时，函数sp（hi），i=0，n（C.2）在`（X）中线性独立。现在，让c，厘米∈ R应确保mxi=1ci（exp（hi）- 1) = 0.那么我们有-mXi=1ciexp（h）+mXi=1ciexp（hi）=0，这意味着c=…=cm=0，函数的线性独立性（C.2）。自m起∈ N是任意的，我们推断子空间V是有限维的。C、 2。提议让f∈ `（十） 使有一个序列（xn）n∈N X，所有n的f（xn）6=0∈ N和f（xn）→ 0作为n→ ∞. 那么，对于所有的m∈ 所有成对差异，tm公司∈ R函数sp（tjf），j=1，m（C.3）在`（X）中线性独立。证据这个证明与[33，Thm.7.1]中的证明有一些天然的相似之处。在这个问题中，让c。

厘米∈ R应使mxj=1cjexp（tjf）=0。我们定义了功能G:R→ R、 g（z）：=mXj=1cjexp（tjz）。30 ECKHARD压板和STEFAN挺杆g具有幂级数表示g（z）=∞Xi=0aizi，z∈ R、 其中系数由ai=mXj=1cjtij，i给出∈ N、 实际上，通过指数函数的幂级数表示，对于每个Hz∈ R我们有g（z）=mXj=1cjexp（tjz）=mXj=1cj∞Xi=0（tjz）ii=∞Xi=0i！mXj=1cjtijzi公司=∞Xi=0爱子。我们确定了序列（zn）n∈N R \\{0}为zn：=f（xn）表示n∈ N、 那么我们有锌→ 0作为n→ ∞ 对于所有n，g（zn）=0∈ N、 幂级数的恒等式定理适用于所有i，并得出ai=0∈ N、 定义Vandermondematrix A∈ Rm×mas Aji：=对于i=0，…，Tijj，m级-1和j=1，m、 矢量c：=（c，…，cm）>∈ Rm，我们得到A>·c=0。由于t，t根据不同的假设，我们推出c=0，这证明了函数的线性独立性（c.3）。参考文献【1】Barski，M.，Zabczyk，J.（2012）：带Lévy摄动的Heath Jarrow Morton-Musiela方程。微分方程杂志253（9），2657–2697。[2] Becherer，D.（2001）：无界半鞅的numéraire组合。《金融与随机》5（3），327–341。[3] 比约克，T.，迪马西，G.，卡巴诺夫，Y.，龙戈尔迪耶，W.（1997）：走向债券市场的一般理论。金融与随机1（2），141–174。[4] Bj"ork，T.，Kabanov，Y.，Runggaldier，W.（1997）：存在标点过程的债券市场结构。数学金融7（2），211–239。[5] 比约克，T.，兰登，C.（2002）：关于非线性远期利率模型的有限维实现的构建。金融与随机6（3），303–331。[6] Bj"ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[7] Brace，A.，Musiela，M。

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