回火稳定分布与过程

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Tempered stable distributions and processes》
---
作者：
Uwe K\\\"uchler and Stefan Tappe
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  We investigate the class of tempered stable distributions and their associated processes. Our analysis of tempered stable distributions includes limit distributions, parameter estimation and the study of their densities. Regarding tempered stable processes, we deal with density transformations and compute their $p$-variation indices. Exponential stock models driven by tempered stable processes are discussed as well.
---
中文摘要：
我们研究了一类回火稳定分布及其相关过程。我们对回火稳定分布的分析包括极限分布、参数估计和密度研究。关于回火稳定过程，我们处理密度变换并计算其$p$变化指数。讨论了回火稳定过程驱动的指数股票模型。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Tempered_stable_distributions_and_processes.pdf (702.11 KB)

2022-6-24 08:32:26 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：稳定分布 distribution Mathematical Quantitative Differential

回火稳定分布和过程Uwe K"UCHLER和STEFAN Tappeastract。我们研究了一类回火稳定分布及其关联过程。我们对回火稳定分布的分析包括极限分布、参数估计及其密度的研究。对于回火稳定过程，我们处理密度变换并计算其p变化指数。讨论了回火稳定过程驱动的指数股票模型。简介回火稳定分布形成了一类分布，吸引了概率论和金融数学研究人员的兴趣。在【21】中首次引入了它们，其中相关的莱维过程被称为“截断的莱维荧光”，并由几位作者进行了推广。回火稳定分布形成了一个六参数的不可整除分布族，涵盖了方差伽马分布【28，27】、双边伽马分布【23】和CGMY分布【6】等几个著名的子类。研究了回火稳定分布的性质，例如，在[33，39，37，3]中。关于财务建模，它们已被应用，例如，在[8、29、20、2]中，另请参见最近的教科书[32]。本文的目的是对回火稳定分布和过程理论作出贡献。详细地，我们提供了回火稳定分布的极限结果，处理了统计问题，并分析了它们的密度函数以及路径特性。回火稳定分布涵盖了双边伽马分布的类别，这是一种我们在【23、24、25】中研究过的分析可处理类别。

我们随后的调查将表明，在许多方面，双边伽马分布的性质不同于所有其他回火稳定分布的性质（例如，其密度的性质，见第7节，或其p变量指标，见第9节），双边伽马分布可被视为回火稳定分布类别内的边界点。在本文中，我们特别感兴趣的问题是，对于一般回火稳定分布，双边伽玛分布的哪些相关性质仍然成立。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们回顾了回火稳定分布并收集了一些基本性质。在第3节中，我们研究了回火稳定分布关于弱收敛的闭包性质。然后，在第4节中，我们展示了回火稳定分布到正态分布的收敛性，并给出了收敛速度。在第5节中，我们证明了“大数定律”的结果，以期通过观察典型样本路径进行参数估计，在第6节中，我们对回火稳定分布的实现进行了统计。在第7节中，我们分析了2010年的数学学科分类。60E07、60G51。关键词和短语。回火稳定分布和过程，极限分布，参数估计，p-变异指数。2 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappendities回火稳定分布。在第8节中，我们研究了回火稳定过程保持回火稳定的局部等效测度，在第9节中，我们计算了回火稳定过程的p变化指数。最后，在第10节中，我们介绍了由回火稳定过程驱动的数学金融和股票模型的应用。2.

回火稳定分布和过程在本节中，我们介绍回火稳定分布和过程，并收集它们的相关性质。我们将（R，B（R））上的不可整除分布η称为单边回火稳定分布，表示η=TS（α，β，λ），参数为α，λ∈ (0, ∞) 和β∈ [0，1）如果其特征函数由φ（z）=exp给出锆eizx公司- 1.F（dx）, z∈ R（2.1），其中Lévy测度F isF（dx）=αx1+βe-λx（0，∞)（x） dx。（2.2）我们将与η相关的Lévy过程称为回火稳定从属过程。接下来，我们确定参数α+、λ+、α-, λ-∈ (0, ∞) 和β+，β-∈ [0，1）.不可整除分布ηon（R，B（R））称为回火稳定分布，表示η=TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-),如果η=η+* η-, 式中，η+=TS（α+、β+、λ+）和η-= eν，ν=TS（α-, β-, λ-)eν表示由eν（B）=ν给出的ν的对偶(-B） 对于B∈ B（R）。注意，η具有由F（dx）给出的Lévy测度F的特征函数（2.1）=α+x1+β+e-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | 1+β-e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。（2.3）我们将与η相关的Lévy过程称为回火稳定过程。2.1. 评论在【8，第4.5节】中，作者定义了参数α+、λ+、α的广义回火稳定过程-, λ-> 0和β+，β-< 2当Lévy过程具有特征函数Д（z）=expizγ+ZReizx公司- 1.- izx公司F（dx）, z∈ 某些常数γ的R（2.4）∈ R和Lévy测度F由（2.3）给出。如果β+=β-他们称这种过程为回火稳定过程。广义回火稳定过程X的样本路径行为取决于β+、β的值-:o 对于β+，β-< 0我们有F（R）<∞, 因此，X是一种复合泊松过程，在[34，定义11.9]的术语中属于a类对于β+，β-∈ [0，1），这是我们在本文中考虑的情况，我们有F（R）=∞, butR公司-1 | x | F（dx）<∞.

因此，X是一个细分过程，在每个正长度间隔内产生许多跳跃，我们可以用Xt=Ps表示≤t型它属于[34，Def.11.9]中的术语Bin类型。特别是，我们可以将X分解为两个独立的单侧回火稳定从属的差异对于β+，β-∈ [1，2）我们有-1 | x | F（dx）=∞. 因此，回火稳定过程X具有有限变化的样本路径，在术语中属于C类【34，定义11.9】。回火稳定分布和过程32.2。评论本文考虑的回火稳定分布也对应于文献[32]中的广义回火稳定分布。文献中已知以下特殊情况：oβ+=β-是KoBol分布，见【5】；oα+= α-和β+=β-是一个CGMY分布，参见[6]，在[32]中也称为经典回火稳定分布β+= β-λ+=λ-是与截短Lévy flight相关的不完全可分分布，见【21】；oβ+= β-= 0为双边伽马分布，见【23】；oα+= α-和β+=β-= 0是方差Gamma分布，请参见[28，27]。根据[8，Prop.4.1]，回火稳定过程X可以表示为带漂移的时变布朗运动，当且仅当X是CGMY过程。因此，双边Gamma过程是时变布朗运动，当且仅当它是方差Gamma过程。2.3. 评论在[32]中，回火稳定分布被视为一维不可分分布，Lévy measureF（dx）=q（x）Fstable（dx），（2.5），其中Fstable（dx）=α+x1+β（0，∞)（x） +α-|x | 1+β(-∞,0）（x）dx是aβ稳定分布的Lévy测度和q:R→ R+是一个回火函数。例如，q（x）=e-λ+x（0，∞)（x） +e-λ-|x个|(-∞,0）（x）和α+=α-我们有一个CGMY发行版。

进一步的示例包括修改后的回火稳定分布、正常回火稳定分布、KimRachev回火稳定分布和快速下降的回火稳定分布，见【32，第3.2章】。注意，本文中考虑的回火稳定分布的Lévy测度通常不是（2.5）形式。2.4. 评论也可以考虑多维回火稳定分布。在[33]中，（Rd，B（Rd））上的分布η称为回火α-α稳定∈ （0，2）如果它在没有高斯部分和Lévy测度M的情况下是可整除的，则在极坐标中，M（dr，du）=q（r，u）rα+1drσ（du），其中σ是单位球面Sd上的有限测度-1和q：（0，∞) ×Sd-1.→ (0, ∞)是满足某些假设的Borel函数。现在，我们将收集本文所需的广义回火稳定分布的一些基本性质。在续集中，Γ：R \\{0，-1.-2, . . .} → Rdenotes Gamma函数。2.5. 引理。假设β∈ (0, 1). 单边回火稳定分布η=TS（α，β，λ）具有特征函数Д（z）=expαΓ(-β)(λ - iz）β- λβ, z∈ R（2.6），其中幂来自复对数的主分支。4 UWE K"UCHLER和STEFAN TapperProof。让G C是区域G={z∈ C：Im z>-λ}. 我们定义了函数fi:G→ 对于i=1，2 asf（z）：=ZReizx公司- 1.F（dx）和F（z）：=αΓ(-β)(λ - iz）β- λβ.然后，根据[11，Satz IV.5.8]进行fis分析，并通过幂函数z 7的分析进行fis分析→ 复对数主支上的zβ。让B G是开放球B={z∈ C：| z |<λ}。

使用（2.2）andLebesgue的支配收敛定理，对于所有z∈ B我们得到f（z）=ZReizx公司- 1.F（dx）=αZ∞eizx公司- 1.e-λxx1+βdx=αZ∞∞Xn=1（izx）nn！e-λxx1+βdx=α∞Xn=1（iz）nn！Z∞xn公司-β-1e级-λxdx=α∞Xn=1（iz）nn！Z∞xλn-β-1e级-xλdx=α∞Xn=1（iz）nn！λβ-nΓ（n- β)= α∞Xn=1（iz）nn！λβ-nΓ(-β） n个-1Yk=0（k- β) = αΓ(-β)λβ∞Xn=1izλn个(-1） nnYk=1β- k+1k=αΓ(-β)λβ∞Xn=1βn-izλn=αΓ(-β)λβ1.-izλβ- 1.= αΓ(-β)(λ - iz）β- λβ= f（z）。利用解析函数的恒等式定理，我们推导出f≡ 尤其是f≡ 根据（2.1），这证明了（2.6）。2.6. 引理。假设β+，β-∈ (0, 1). 回火稳定分布η=TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)具有特征函数（2.7）Д（z）=expα+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-, z∈ R幂来自于复对数的主要分支。证据这是引理2.5的直接结果。根据【23】中的方程式（2.2），双边膜分布的特征函数（即β+=β-= 0）由Д（z）给出=λ+λ+- iz公司α+λ-λ-+ iz公司α-, z∈ R（2.8），其中幂来自复对数的主分支。使用引理2.6，对于β+，β-∈ （0，1）累积量生成函数ψ（z）=ln E[ezX]（其中X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-))存在于[-λ-, λ+]由（2.9）ψ（z）=α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ z） β-- (λ-)β-, z∈ [-λ-, λ+].回火稳定分布和过程5，用于双边伽马分布（即β+=β-= 0），累积量生成函数存在于(-λ-, λ+，由ψ（z）=α+ln给出λ+λ+- z+ α-自然对数λ-λ-+ z, z∈ (-λ-, λ+（2.10）见【23，第2节】。因此，对于所有β+，β-∈ [0，1）n阶累积量κn=dndznψ（z）| z=0由κn=Γ（n）给出- β++α+（λ+）n-β++ (-1） nΓ（n- β-)α-(λ-)n-β-, n∈ N={1，2。

.}.（2.11）特别是对于随机变量x~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)我们可以指定：o期望值e[X]=κ=Γ（1- β+)α+(λ+)1-β+- Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-.（2.12）o方差Var[X]=κ=Γ（2- β+)α+(λ+)2-β++ Γ(2 - β-)α-(λ-)2.-β-.（2.13）oCharliers偏度γ（X）=κκ3/2=Γ（3- β+)α+(λ+)3-β+- Γ(3 - β-)α-(λ-)3.-β-Γ(2 - β+)α+(λ+)2-β++ Γ(2 - β-)α-(λ-)2.-β-3/2.（2.14）o峰度γ（X）=3+κκ=3+Γ（4- β+)α+(λ+)4-β++ Γ(4 - β-)α-(λ-)4.-β-Γ(2 - β+)α+(λ+)2-β++ Γ(2 - β-)α-(λ-)2.-β-.(2.15)2.7. 评论设η=TS（α，β，λ）为单侧回火稳定分布。对于β∈ （0，1）特征函数由（2.6）给出，见引理2.5，因此，累积量生成函数存在于(-∞, λ] 由ψ（z）=αΓ给出(-β)(λ - z） β- λβ, z∈ (-∞, λ].（2.16）对于β=0，回火稳定分布为γ分布η=Γ（α，λ）。因此，我们有特征函数ν（z）=λλ - iz公司α、 z∈ R（2.17）和累积量生成函数存在于(-∞, λ） 由ψ（z）=αln给出λλ - z, z∈ (-∞, λ).（2.18）对于β∈ [0，1）和X~ TS（α，β，λ）我们得到累积量κn=Γ（n- β） αλn-β、 n个∈ N、 （2.19）期望值和方差E[X]=Γ（1- β)αλ1-β、 （2.20）Var[X]=Γ（2-β)αλ2-β.（2.21）6 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE2.8。评论

回火稳定分布的特征函数（2.4）η=TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)含β+，β-< 2由Д（z）=exp给出izγ+α+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- （λ+）β++izβ+（λ+）β+-1.+ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-- izβ-(λ-)β--1., z∈ R、 因此，累积量生成函数存在于[-λ-, λ+]由ψ（z）=γz+α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β++ β+(λ+)β+-1z+ α-Γ(-β-)(λ-+ z） β-- (λ-)β-- β-(λ-)β--1z, z∈ [-λ-, λ+].因此，我们有κ=γ和累积量κn≥ 2由（2.11）给出。对于回火稳定过程X，我们还应编写~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).注意，我们可以分解X=X+- 十、-作为两个独立的单侧回火稳定从属函数X的差+~ TS（α+、β+、λ+）和X-~TS（α-, β-, λ-). 根据引理2.6中计算的特征函数（2.7），X的所有增量都有回火稳定分布，更精确的是X- Xs型~ TS（α+（t- s） ，β+，λ+；α-（t- s） ，β-, λ-) 对于0≤ 特别是对于任何常数，s<t.（2.22） > 0进程Xo= （十）t） t型≥0是回火稳定过程Xo~ TS(α+, β+, λ+; α-, β-, λ-).(2.23)3. 回火稳定分布的闭包性质在本节中，我们将研究回火稳定分布序列的极限分布。3.1. 提议Let序列（α+n，β+n，λ+n；α-n、 β-n、 λ-n） n个∈N ((0, ∞) ×[0, 1) × (0, ∞))和实数（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-) ∈ ((0, ∞) ×[0, 1) × (0, ∞))被给予。

那么，以下陈述是有效的：（1）如果我们有（α+n，β+n，λ+n；α-n、 β-n、 λ-n）→ (α+, β+, λ+; α-, β-, λ-),然后我们有弱收敛（α+n，β+n，λ+n；α-n、 β-n、 λ-n） w→ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).（3.1）（2）如果我们有α-n→ 0和（α+n，β+n，λ+n；β-n、 λ-n）→ (α+, β+, λ+; β-, λ-),然后我们有弱收敛（α+n，β+n，λ+n；α-n、 β-n、 λ-n） w→ TS（α+、β+、λ+）。（3.2）回火稳定分布和过程7（3）如果我们有α+n，α-n→ 0和（β+n，λ+n；β-n、 λ-n）→ (β+, λ+; β-, λ-),然后我们有弱收敛（α+n，β+n，λ+n；α-n、 β-n、 λ-n） w→ δ.（3.3）（4）如果我们有α+n，α-n、 λ+n，λ-n→ ∞ 有u+，u-≥ 0使得Γ（1- β++α+n（λ+n）1-β+→ u+和Γ（1- β-)α-n（λ-n） 1个-β-→ u-,（3.4）然后我们有弱收敛（α+n，β+，λ+n；α-n、 β-, λ-n） w→ Δu，（3.5），其中数字u∈ R是平均值u=u的极限+- u-.（5） 如果我们有α+n，α-n、 λ+n，λ-n→ ∞ 还有u∈ R、 （σ+）（σ-)> 0使Γ（1- β++α+n（λ+n）1-β+- Γ(1 - β-)α-n（λ-n） 1个-β-→ u,(3.6)Γ(2 - β++α+n（λ+n）2-β+→ （σ+）和Γ（2- β-)α-n（λ-n） 2-β-→ (σ-),（3.7）然后我们有弱收敛（α+n，β+，λ+n；α-n、 β-, λ-n） w→ N（u，σ），（3.8），其中方差σ>0由σ=（σ++）（σ）给出-).证据为了证明结果，必须证明各自的特征函数收敛。注意，根据l\'H^opital法则，对于所有λ>0和z∈ Rwe havelimβ↓0Γ(-β)(λ - iz）β- λβ= limβ↓0Γ(-β)λβλ - izλβ- 1.= -limβ↓0Γ(1 - β)λβλ-izλβ- 1β= -limβ↓0ddβλ-izλβ- 1.ddββ=-limβ↓0λ - izλβlnλ - izλ= 自然对数λλ - iz公司,关系（3.1）–（3.3），然后考虑特征函数的表示（2.7）、（2.8）和（2.6）、（2.17）。在续集中，对于n∈ N我们用νN:R表示→ C回火稳定分布的特征函数（α+n，β+，λ+n；α-n、 β-, λ-n） 和（κnj）j∈Nits累积量。那么我们就有了φn（u）=exp∞Xj=1（iu）jj！κnj, u∈ R、 假设（3.4）满足要求。