回火稳定分布与过程

使用估计值Γ（j- β+) ≤ （j）- 1)! 和Γ（j- β-) ≤ （j）- 1)! 对于j≥ 2、（3.9）8 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEby几何级数和（3.4），对于所有u∈ R我们获得∞Xj=2（iu）jj！Γ（j- β++α+n（λ+n）j-β++ (-1） jΓ（j- β-)α-n（λ-n） j-β-≤α+n（λ+n）1-β+| u|∞Xj=2|u |λ+nj-1+α-n（λ-n） 1个-β-|u型|∞Xj=2|u |λ-nj-1=α+n（λ+n）1-β+| u |λ+n- |u |+α-n（λ-n） 1个-β-|u |λ-n- |u型|→ 0作为n→ ∞,因此，通过考虑（2.11）和（3.4），我们得到了νn（u）→ eiuu，u∈ R提供（3.5）。现在，假设（3.6）、（3.7）满足要求。使用几何级数的估计值（3.9）和（3.7），对于所有u∈ R我们获得∞Xj=3（iu）jj！Γ（j- β++α+n（λ+n）j-β++ (-1） jΓ（j- β-)α-n（λ-n） j-β-≤α+n（λ+n）2-β+| u|∞Xj=3|u |λ+nj-2+α-n（λ-n） 2-β-|u型|∞Xj=3|u |λ-nj-2=α+n（λ+n）2-β+| u |λ+n- |u |+α-n（λ-n） 2-β-|u |λ-n- |u型|→ 0作为n→ ∞,因此，通过考虑（2.11）和（3.6），（3.7），我们得到了νn（u）→ eiuu-uσ/2，u∈ R提供（3.8）。由（3.1）可知，这类回火稳定分布在其域上（0，∞) × [0, 1) ×(0, ∞)).注意，双侧伽马分布（对应于β+=0和β-= 0）属于此域并包含在其边界中。对于α+→ 0或α-→ 0我们得到单侧回火稳定分布和Dirac测度作为边界分布，见（3.2）和（3.3）。如果α+，α-, λ+, λ-→ ∞ 对于β+的固定值，β-, 在某些情况下，我们获得狄拉克测度，见（3.5），或正态分布，见（3.8），作为极限分布。4、回火稳定分布到正态分布的收敛性[33，第3节]研究了回火稳定过程的长时间行为，并建立了到布朗运动的收敛性。这里，我们提供了一个收敛速度，并展示了给定的回火稳定分布（或回火稳定过程）与正态分布（或布朗运动）的接近程度。4.1. 引理。

以下陈述是有效的：（1）假设Xi~ TS（α+i，β+，λ+；α-i、 β-, λ-), i=1，2是独立的。然后我们有X+X~ TS（α++α+，β+，λ+；α-+ α-, β-, λ-).（4.1）（2）对于X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-) 常数ρ>0，我们有ρX~ TS（α+ρβ+，β+，λ+/ρ；α-ρβ-, β-, λ-/ρ).（4.2）回火稳定分布和过程证明。独立Xi~ TS（α+i，β+，λ+；α-i、 β-, λ-), i=1，2我们有一个公式2.6特征函数φX+X（z）=φX（z）φX（z）=expα+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-×经验值α+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-= 经验值(α++ α+)Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ (α-+ α-)Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-,显示（4.1）。对于X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-) ρ>0，我们通过引理2.6得到特征函数ДρX（z）=ДX（ρz）=expα+Γ(-β+)(λ+- iρz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iρz）β-- (λ-)β-= 经验值α+ρβ+Γ(-β+)(λ+/ρ - iz）β+- (λ+/ρ)β++ α-ρβ-Γ(-β-)(λ-/ρ+iz）β-- (λ-/ρ)β-,显示（4.2）。4.2. 引理。设X为随机变量X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).我们设置u：=E[X]和σ：=Var[X]。设ρ，τ>0 andY~ TS（ρα+/（τ√ρ)β+, β+, λ+τ√ρ; ρα-/(τ√ρ)β-, β-, λ-τ√ρ).那么我们有了=√ρτu和Var[Y]=στ。证据注意，通过（2.12），（2.13），我们得到u=Γ（1-β+)α+(λ+)1-β+- Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-,σ= Γ(2 - β+)α+(λ+)2-β++ Γ(2 - β-)α-(λ-)2.-β-.因此，我们得出[Y]=Γ（1- β+)ρα+(τ√ρ)β+(λ+τ√ρ)1-β+- Γ(1 - β-)ρα-(τ√ρ)β-(λ-τ√ρ)1-β-=√ρτΓ(1 - β+)α+(λ+)1-β+- Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-=√ρτu以及Var[Y]=Γ（2-β+)ρα+(τ√ρ)β+(λ+τ√ρ)2-β++ Γ(2 - β-)ρα-(τ√ρ)β-(λ-τ√ρ)2-β-=τΓ(2 - β+)α+(λ+)2-β++ Γ(2 - β-)α-(λ-)2.-β-=στ，完成证明。10 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE4.3。引理。设X为随机变量X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)并让u∈ R和σ>0是任意的。

以下语句是等效的：（1）我们有E[X]=u和Var[X]=σ。（2） 我们有α+=（λ+）2-β+((1 - β-)u + λ-σ)Γ(1 - β+)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-),(4.3)α-=(λ-)2.-β-((β+- 1)u + λ+σ)Γ(1 - β-)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-).（4.4）证明。让A∈ R2×2be矩阵=aaaa级=Γ(1 - β+)/(λ+)1-β+-Γ(1 - β-)/(λ-)1.-β-Γ(2 - β+)/(λ+)2-β+Γ(2 - β-)/(λ+)2-β-!.那么我们有（4.5）det A=Γ（1- β+)Γ(2 - β-)(λ+)1-β+(λ-)2.-β-+Γ(2 - β+)Γ(1 - β-)(λ+)2-β+(λ-)1.-β-=Γ(1 - β+)Γ(1 - β-)(λ+)2-β+(λ-)2.-β-λ+(1 - β-) + λ-(1 - β+)> 使用（2.12），（2.13），一个简单的计算表明aα+=λ+（1- β-)u + λ-σ(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-,（4.6）aα-= -λ--(1 - β+)u + λ+σ(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-,（4.7）aα+=（1- β+)(1 - β-)u + λ-σ(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-,（4.8）aα-= (1 - β-)-(1 - β+)u + λ+σ(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-.（4.9）通过（2.12），（2.13），我们得到E[X]=u，Var[X]=σ当且仅当ifA·α+α-=uσ.（4.10）由于（4.5），线性方程组（4.10）具有唯一的解。考虑到（4.6）–（4.9），（4.10）的解决方案由（4.3），（4.4）给出。4.4. 引理。对于X~ TS（α，β，λ）我们有e[X]=Γ（1- β)αλ3-βΓ(1 - β)αλ2β+ 3(1 - β)Γ(1 - β)αλβ+ (1 - β)(2 - β).证据通过κ，κ，κ表示X的前三个累积量，通过[31，p.346]和（2.19），我们得到了第三个动量[X]=κ+3κ+κ=Γ(1 - β)αλ1-β+ 3Γ(1 - β)αλ1-βΓ(2 - β)αλ2-β+ Γ(3 - β)αλ3-β= Γ(1 - β)αλ3-βΓ(1 - β)αλ2β+ 3(1 - β)Γ(1 - β)αλβ+ (1 - β)(2 - β),完成证明。回火稳定分布和过程11在续集中，对于u∈ R和σ>0函数Φu，σ表示正态分布N（u，σ）的分布函数。此外，c>0表示Berry-Esseen定理的恒量。当前最佳估计值为c≤ 0.4784，见【22，Cor.1】。4.5. 提议

存在一个函数g:[0，1）×（0，∞)×R→ R对于任何固定的β+，β-∈ [0，1）我们有g（β+，β-, λ+, λ-, u) → 0为λ+，λ-, u → 0，（4.11）和任何随机变量x~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-),全部n∈ N和任意随机变量xn~ TS((√氮气-β+/σ)α+, β+, λ+σ√n(√氮气-β-/σ)α-, β-, λ-σ√n） （4.12）我们有SUPX∈R | Gn（x）- Φ0,1（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)√nu/σ+√nλ-/σ√nλ+（（1- β-)√nλ++（1- β+)√nλ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)√nu/σ+√nλ+/σ√nλ-((1 - β-)√nλ++（1- β+)√nλ-)+g（β+，β-, λ+, λ-, u)σ,其中u：=E【X】，σ：=Var【X】，GN表示随机变量Xn的分布函数-√nu/σ。证据我们定义了函数gi:[0，1）×（0，∞)×R→ R、 i=1，2 asg（β+，β-, λ+, λ-, u) :=(1 - β-)u + λ-σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)×(λ+)((1 - β-)u + λ-σ)(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-+ 3(1 - β+)(λ+)((1 - β-)u + λ-σ)(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-,g（β+，β-, λ+, λ-, u) :=(β+- 1)u + λ+σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)×(λ-)((β+- 1)u + λ+σ)(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-+ 3(1 - β-)(λ-)((β+- 1)u + λ+σ)(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-,设g:[0，1）×（0，∞)×R→ R为函数g：=32（g+g）。然后，对于任何固定的β+，β-∈ [0，1）我们有（4.11）。现在，让（Yj）j∈Nbe一个i.i.d.随机变量序列，对于所有j，L（Yj）=L（X）∈ N、 我们定义了序列（Sn）N∈Nas序列号：=Pnj=1YJN∈ N、 ByLemma 4.1我们有Snσ√n= TS((√氮气-β+/σβ+)α+, β+, λ+σ√n(√氮气-β-/σβ-)α-, β-, λ-σ√n） =L（Xn）表示所有n∈ N、 因此Xn公司-√nuσ= LSnσ√n-√nuσ= L序号- nuσ√n适用于所有n∈ N、 12 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappeb根据Berry-Essen定理（参见，例如，[10，Thm。

2.4.9]）我们有SUPX∈R | Gn（x）- Φ0,1（x）|≤ cE[| X- u|]σ√对于所有n∈ N、 我们有X=X+-十、-独立随机变量X+~ TS（α+、β+、λ+）和X-~ TS（α-, β-, λ-), 因此，利用H"older不等式和Jensen的sinequality，我们估计出【| X- u|]=E[| X+- 十、-- （E[X+]- E[X-])|]≤ E[（X++E[X+]+X-+ E[X-])]≤ 4E[（X+）+E[X+]+（X-)+ E[X-]]= 16E[（X+）+E[X+]+E[（X-)] + E[X-]≤ 32E[（X+）+E[（X-)].使用引理4.4，我们有e[（X+）=Γ（1- β+)α+(λ+)3-β+Γ(1 - β+)(α+)(λ+)2β++ 3(1 - β+)Γ(1 - β+)α+(λ+)β++ (1 - β+)(2 - β+),E[（X-)] = Γ(1 - β-)α-(λ-)3.-β-Γ(1 - β-)(α-)(λ-)2β-+ 3(1 - β-)Γ(1 - β-)α-(λ-)β-+ (1 - β-)(2 - β-).从引理4.3 yieldsE[（X+）=（1）插入恒等式（4.3），（4.4）- β+)(2 - β+)(1 - β-)u + λ-σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ g（β+，β-, λ+, λ-, u），E[（X-)] = (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u + λ+σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ g（β+，β-, λ+, λ-, u).因此，对于所有n∈ N我们得出结论UPX∈R | Gn（x）- Φ0,1（x）|≤32cσ√n(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u + λ-σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u + λ+σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ g（β+，β-, λ+, λ-, u)= 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)√nu/σ+√nλ-/σ√nλ+（（1- β-)√nλ++（1- β+)√nλ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)√nu/σ+√nλ+/σ√nλ-((1 - β-)√nλ++（1- β+)√nλ-)+g（β+，β-, λ+, λ-, u)σ,完成证明。4.6. 提议对于任意随机变量x~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)Var[X]=1的回火稳定分布和过程13我们有supx∈R | GX-u（x）- Φ0,1（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u + λ-λ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u + λ+λ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-),其中u：=E【X】。证据设g:[0，1）×（0，∞)×R→ R命题4.5中的函数。必须表明 > 0我们有（4.13）个supx∈R | GX-u（x）- Φ0,1（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ+ λ-/σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ+ λ+/σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ .允许 > 0是任意的。

存在n个∈ N使得g（β+，β-, λ+/√n、 λ-/√n、 u/√n）≤ .（4.14）设Y为随机变量Y~ TS（α+/√氮气-β+, β+, λ+/√nα-/√氮气-β-, β-, λ-/√n） 。应用ρ=1/n和τ=1的引理4.2，我们得到[Y]=u/√对于所有n，n和Var[Y]=1∈ N、 因此，根据（4.12）定义随机变量Yn，我们得到（Yn）=TS(√氮气-β+(α+/√氮气-β+), β+,√n（λ+/√n） ；√氮气-β-(α-/√氮气-β-), β-,√n（λ-/√n） ）=TS（α+、β+、λ+；α-, β-, λ-) = L（X）。根据命题4.5，我们推导出supx∈R | GX-u（x）- Φ0,1（x）|=supx∈R |妇科-u（x）- Φ0,1（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u + λ-λ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u + λ+λ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ g（β+，β-, λ+/√n、 λ-/√n、 u/√n）,通过估算（4.14），我们得出（4.13）。4.7. 定理。对于任意随机变量x~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)我们有估价表∈R | GX（x）- Φu，σ（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ+ λ-/σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ+ λ+/σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-),其中u：=E【X】和σ：=Var【X】。14 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEProof。根据引理4.1，随机变量X/σ具有分布X/σ~ TS（α+/σβ+，β+，λ+σ；α-/σβ-, β-, λ-σ） ，应用引理4.2，ρ=1，τ=σ，得到e[X/σ]=u/σ，Var[X/σ]=1。此外，因为GX（x）=GX/σ-u/σx个- uσ和Φu，σ（x）=Φ0,1x个- uσ对于所有x∈ R、 应用命题4.6给出ussupx∈R | GX（x）- Φu，σ（x）|=supx∈R | GX/σ-u/σ（x）- Φ0,1（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ + λ-σλ+σ((1 - β-)λ+σ + (1 - β+)λ-σ)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ + λ+σλ-σ((1 - β-)λ+σ + (1 - β+)λ-σ),= 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ+ λ-/σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ+ λ+/σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-),这就完成了证明。

定理4.7告诉我们，回火稳定随机变量X的分布与正态分布N（u，σ）的接近程度，u=E[X]，σ=Var[X]。在接下来的结果中，对于给定的u值∈ R和σ>0我们构造了一个回火稳定分布序列，该序列弱收敛于N（u，σ），并提供了一个收敛速度。4.8. 推论让我们∈ R、 σ>0和（β+，λ+；β-, λ-) ∈ ([0, 1) ×(0, ∞))要专横。对于每个n∈ N我们定义α+N：=（λ+）2-β+((1 - β-)u + λ-σ√n） Γ（1- β+)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)√n1型-β+，（4.15）λ+n：=λ+√n、 （4.16）α-n： =（λ-)2.-β-((β+- 1)u + λ+σ√n） Γ（1- β-)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)√n1型-β-,(4.17)λ-n： =λ-√n、 （4.18）然后，存在一个指数n∈ N，α+N>0和α-n> 0表示所有整数n≥ n、 对于任意序列（Xn）n≥nof随机变量，带Xn~ TS（α+n，β+，λ+n；α-n、 β-, λ-n） ，n≥ 我们有估计值（4.19）supx∈R | GXn（x）- Φu，σ（x）|≤32摄氏度√n(1 - β+)(2 - β+)λ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)(1 - β-)uσ√n+λ-σ+(1 - β-)(2 - β-)λ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)(β+- 1)uσ√n+λ+σ→ 0表示n→ ∞.回火稳定分布和过程证明。指数n的存在性∈ N，α+N>0和α-n> 0表示所有n≥ NIM直接遵循α+n，α的定义（4.15），（4.17-n、 根据引理4.3，对于所有n，我们有E[Xn]=u和Var[Xn]=σ≥ n、 应用定理4.7 yieldsthe断言的估计（4.19）。4.9. 评论定义（4.15）–（4.18）意味着Γ（1- β++α+n（λ+n）1-β+- Γ(1 - β-)α-n（λ-n） 1个-β-=λ+((1 - β-)u + λ-σ√n） （1）- β-)λ++ (1 - β+)λ--λ-((β+- 1)u + λ+σ√n） （1）- β-)λ++ (1 - β+)λ-= u表示所有n≥ n、 α+n（λ+n）2的收敛性-β+→λ-σΓ(1 - β+)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)=: (σ+),α-n（λ-n） 2-β-→λ+σΓ(1 - β-)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)=: (σ-)对于n→ ∞ 以及Γ（2- β+)(σ+)+ Γ(2 - β-)(σ-)=(1 - β+)λ-+ (1 - β-)λ+(1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-σ= σ.因此，条件（3.6）、（3.7）满足，因此，命题3.1屈服于弱收敛（3.8）。

此外，推论4.8提供了收敛速度（4.19）。4.10. 定理。对于任何回火稳定过程X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)我们有估计（4.20）supx∈R | GXt（x）- GWt（x）|≤32摄氏度√t型(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ+ λ-/σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ+ λ+/σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)→ t为0→ ∞,式中，u：=E[X]，σ：=Var[X]，W是带W的布朗运动~ N（u，σ）。证据注意到通过（2.12）、（2.13）和（2.22），对于所有t>0，我们有E[Xt]=tu和Var[Xt]=tσ，应用定理4.7 Yieldsupx∈R | GXt（x）- GWt（x）|=supx∈R | GXt（x）- Φut，σt（x）|≤ 32摄氏度(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)tu/t3/2σ+λ-/t1/2σλ+（（1- β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1） tu/t3/2σ+λ+/t1/2σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)=32摄氏度√t型(1 - β+)(2 - β+)(1 - β-)u/σ+ λ-/σλ+((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(β+- 1)u/σ+ λ+/σλ-((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)→ t为0→ ∞,完成证明。16 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE4.11。推论如果我们选择u∈ R、 σ>0和（β+，λ+；β-, λ-) ∈ ([0, 1) ×(0, ∞))并选择α+：=（λ+）2-β+((1 - β-)u + λ-σ)Γ(1 - β+)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)> 0,(4.21)α-:=(λ-)2.-β-((β+- 1)u + λ+σ)Γ(1 - β-)((1 - β-)λ++ (1 - β+)λ-)> 0，（4.22），则对于任何回火稳定过程x~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)估算值（4.20）有效。证据根据引理4.3，我们得到E[X]=u，Var[X]=σ。应用定理4.10得出所需的估计值（4.20）。4.12. 评论请注意，当u=0.5时，始终满足条件（4.21）、（4.22）。回火稳定分布的大数定律在本节中，我们介绍回火稳定分布的大数定律。这些结果将有助于通过观察回火稳定过程的典型轨迹来确定参数。5.1. 提议

我们有弱收敛（n1-β+α+，β+，nλ+；n1型-β-α-, β-, nλ-)w→ n为Δu→ ∞,（5.1）其中数字u∈ R等于平均u=Γ（1-β+)α+(λ+)1-β+- Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-.证据Let（Xj）j∈Nbe带XJ的i.i.d.序列~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-) 对于j∈ N、 根据（2.12），对于所有j，E[Xj]=u∈ N、 引理4.1得出nnxj=1Xj~ TS（n1-β+α+，β+，nλ+；n1型-β-α-, β-, nλ-), n∈ N、 利用大数定律，我们推导出弱收敛性（5.1）。5.2. 评论注意，我们也可以通过应用命题3.1中的弱收敛性（3.5）来证明命题5.1。在续篇中，我们将建立结果，以便通过观察回火稳定过程的一个典型样本路径来确定参数X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).为此，必须处理单侧回火稳定过程的情况。实际上，我们可以分解X=X+- 十、-, 其中X+~ TS（α+、β+、λ+）和X-~TS（α-, β-, λ-) 是两个独立的单侧回火稳定从属。自下一步=Ps≤t型X的轨迹观测也提供了X+，X-, 由x+t=Xs给出≤t型(Xs）+和X-t=Xs≤t型(Xs）-.回火稳定分布和过程175.3。评论请注意，我们的长期假设为β+，β-∈ [0，1）是至关重要的，因为在有限变化情况下，对X的观察不能提供X+和X分量的轨迹-.现在，让X~ TS（α，β，λ）是具有β的回火稳定过程∈ [0，1）。假设我们在离散的时间点观察过程，比如Xk、 k级∈ N表示某个常数 > 根据（2.23），在不丧失一般性的情况下，我们可以假设 = 1、根据n的大数定律，设置mj：=E[Xj]，对于j=1，2，3→ ∞ 我们有几乎确定的nxk=1（Xk- Xk公司-1） j→ mj，j=1，2，3。因此，我们通过检查x的典型样本路径来获得矩m、m、mby。根据[31，p。

346]，累积量（2.19）由κ=m，κ=m给出- m、 κ=m- 3mm+2m。通过累积量，我们可以确定参数α、β、λ，结果如下：5.4。提议参数α、β、λ由β=1给出-κκκ- κ,(5.2)λ = (1 -β)κκ,(5.3)α =λ1-βΓ(1 - β)κ.（5.4）证明。根据（2.19），我们有（1- β)α = κλ1-β,(5.5)(1 - β)Γ(1 - β)α = κλ2-β,(5.6)(2 - β)(1 - β)Γ(1 - β)α = κλ3-β.（5.7）方程（5.5）得出（5.4），将（5.4）插入（5.6）得到（5.3）。注意，κκ>κ。（5.8）实际上，通过（2.19）我们得到了κκ=Γ（1- β)αλ1-βΓ(3 - β)αλ3-β= (2 - β)Γ(1 - β)Γ(2 - β)αλ2-β= (2 - β） κ>κ，因为β∈ [0，1）。将（5.4）插入（5.7），我们得到（5.2）。5.5. 评论请注意，（5.8）确保（5.2）的右侧得到充分定义。我们强调β∈ [1，2）参数α、β、γ不能通过前三个累积量κ、κ、κ来计算，因为κ不依赖于参数，请参见备注2.8。对于这种情况下的类似恒等式，我们宁愿考虑累积量κ、κ、κ。18 UWE K"UCHLER和STEFAN Tapper在下一个结果之前，我们假设β∈ (0, 1). LetИβ：R+→ (0, ∞) 严格递减函数Дβ（x）=（1+βx）-β、 x个∈ R+。设N是与X的跳跃相关联的随机测度。那么N是具有补偿器dt的齐次泊松随机测度 F（dx）。我们定义了随机变量（Yn）∈NasYn：=N（（0，1）×（Дβ（N+1），Дβ（N）），N∈ N、 5.6。提议我们几乎可以肯定收敛nnxj=1Yj→ α.（5.9）证明。随机变量（Yn）n∈n的平均αn=F（（Дβ（n+1），Дβ（n）]）的泊松分布∈ N