保险业的模拟：风险模型问题

我们通常设置λ=3/100，即平均每33年发生一次灾难。我们在模拟开始时提取所有必要的随机变量，以设定风险事件（灾难发生时以及损失大小）。为了将n个不同的“世界”与不同的风险模型多样性设置进行比较，我们为所有n个风险模型多样性设置的M个复制设置了相同的M个风险事件文件。也就是说，相同的假设“世界”具有不同的风险模型设置，但相同的灾难发生在同一时间，规模相同，进行比较。B、 2全球损失分布我们对每一次灾难造成的总损失使用帕累托概率分布，因为历史上它们遵循幂律。帕累托分布定义为Д（Dx）=σDσ+1x，（6），其中Dx是灾难造成的损失值。我们通常将指数σ设置为2。该分布被截断为最小值（低于该值，损伤将太小，不能被视为灾难性事件）和最大值。保险损失价值给出的最大值。因此，密度函数为：￠Д（Dx）=0 1 ≤ Dx，Д（Dx）R0.25Д（Dx）dDx0.25≤ Dx公司≤ 1,0 Dx≤ 0.25.（7） 与分离时间一样，灾难的损失在模拟开始时绘制，对于不同的风险模型设置也是相同的。我们将从截断的帕累托分布中提取的总归一化损失表示为Li。B、 3个人损失分布为了简单起见，我们假设该地区的所有风险都会受到灾难的影响，尽管强度不同。

为了确定已知总体损害在各个风险中的具体分布，我们使用β分布，定义为β（dx）=Γ（g+h）xg-1(1 - dx）h-1Γ（g）Γ（h），（8）式中，Γ是伽马函数，在这种情况下，dx是由灾难影响到每个个体风险的个体损失。两个参数g和h决定了分布的形状，并确定了β分布的预期值，即E[β（x）]=gg+h。（9）由于受灾难影响的总损失为Lx，这应与预期值相匹配（对于大量风险），我们使用这一事实来计算每次灾难的h，同时始终设置g=1。也就是说，Lx=1+h。（10）求解b我们得到h=Lx- 1.（11）个人损失分布的形状取决于总损失值，必须针对每次灾难进行调整。我们从分布中提取的值与我们在危险区域中存在的风险一样多。最后，保险人j从j投保的一切险i中收到的索赔计算为ClaimsX，j=Xi（min（ei，dx，i·v）- 奇奇≤ dx，i·vi，0 dx，i·vi≤ 气。（12） 其中EI为保险合同的超额部分，dx、iis为个人损失，Vit为风险总价值，QI为免赔额。为方便起见，我们通常将vi=1。B、 4如果存在正利润，则模拟中的股息投资者在每次迭代中支付其利润的固定份额作为股息。如果公司在某个时间段内写入的数据丢失，则无需支付股息。也就是说，R=最大值（0，%·利润），（13），其中R是股息，%是作为股息支付的利润份额。

对于我们在本文中报告的结果，我们对所做的所有模拟都固定了%=0.4。B、 模型中的5个价格是全球性的，但保险和再保险合同的价格不同。保险费ptat时间步长t取决于当时保险中可用的总资本，KTt:pt=最大值最大值≤ ptpf* 最大值-s×KTtKI×eD×HMinL≤ pt公司≤ MaxLMinL pt公司≤ MinL，（14），其中MaxL是投保人愿意接受的最大负荷（上限），MinL是保险人愿意考虑的最小负荷，以便写下保单（下限）。下限M inL小于1，因为保险人通常在软市场条件下承保保费，以保持市场份额。在上下限之间，价格是资本量的下降线性函数，其截距为pf×MaxL和斜率-siki×eD×His申请。这里，PFI是与预期损失加上加价相匹配的标准溢价。该等式还取决于市场上可用的风险数量H、风险预期损失eD和模拟开始时保险公司持有的初始资本ki。最后，Si是一个灵敏度参数。再保险保费价格方程与等式14不同，因为K中只考虑再保险资本，敏感性参数Sr不同。库存-流量一致性由于模型没有宏观经济视角，标准意义上的库存-流量一致性要求不适用。然而，仿真模型不允许任何东西从无到有或消失在无中。经济体的其他部分被视为一个独立的准代理人，负责处理保险和保险部门的所有付款，并拥有非常大但有限的资本。这将在模拟开始时初始化，并在每个模拟步骤中更新。

在实践中，向保险客户支付的股息和索赔款项都是向该代理人支付的，而保险客户的赔款则是由该代理人支付的。这使我们能够跟踪保险部门与其他经济部门之间的支付平衡。C系统敏感性我们研究安全边际u对系统的影响及其与风险模型同质性影响的相互作用。这种影响如图18和图19所示，与图11和图13所示的u=2的标准情况相比，安全边际降低到u=1。这大大加剧了风险模型同质性和相关系统风险的影响，尤其是（但不仅仅是）低风险模型多样性的案例更易波动。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61011031051风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61011031052风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6101103105Frequency3风险模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6破产公司的份额1021044风险模型图18：在400个4个重复的模拟中，破产事件总规模（退出公司的份额）的密度（柱状图），000个时间步，安全裕度u=1。y轴为对数刻度。0.2 0.4 0.6 0.8 1.01021051风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.01032风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.0102105频率3风险模型0.2 0.4 0.6 0.8 1.0破产公司的份额1021054风险模型图19：在400个重复的4，000个时间步，无再保险，安全边际u=1。

y轴为对数刻度。0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 1RM0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 2RM0 200000 400000 600000 800000 10000001CCDF 3RM0 200000 400000 600000 800000 10000000企业规模（资本）01cCDF 4RM图20：保险公司规模在400个重复组合中的资本分布的经验互补累积分布函数（CCDF）集合模拟4000个时间步，无再保险，安全边际u=2。主题显示为实线，平均值显示为虚线，四分位范围显示为阴影区域。平均值、中位数和四分位间距与CCDF的集合有关，即在x轴方向上进行评估。500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 1RM0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 2RM0 500000 1000000 2000000 2500000 3000000 3500000 40000001CCDF 3RM0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 4000000企业规模（资本）01cCDF 4RM图21：经验互补累积分布函数集合（CCDF）在4000个时间步模拟的400个副本中，安全边际u=2的再保险公司规模在资本方面的分布。中位数显示为实线，平均值显示为虚线，四分位范围显示为阴影区域。平均值、中位数和四分位间距与CCDF的集合有关，即在x轴方向上进行评估。非对称、长尾型企业规模分布的出现在多次修改下得以保持，包括改变安全边际和转换再保险（见图20）。

再保险公司的规模分布遵循相同的特征，尽管由于总数较小，会受到更多噪音的影响（见图21）。敏感性分析涉及对利率r、风险模型不准确参数ζ、保险与再保险公司capitalki（0）/kr（0）的初始比率以及合同的运行时间的修改，这些分析是在较小的集合和较短的运行时间下进行的。模拟的主要结果对所研究的修改具有稳健性。较小的总体规模不支持关于定量结果差异的陈述，且具有合理性。