经济和金融网络中的风险依赖中心地位

相反，节点的排名取决于网络提交的全球外部条件。经济和金融网络中的风险依赖中心性33（a）（b）（c）（d）（e）（f）图14：a）摩根大通公司和CoInc公司的流通性排名交错说明。（红色）和美国银行股份有限公司（蓝色）b）P fizer Inc.（红色）和Ashland Inc.（蓝色）c）Morgan Stanley&Co.（红色）和Bank One Corp.（蓝色）d）AT&T Corp.（红色）和AirtouchCommunications Inc.（蓝色）e）Union Carbide Corp.New（红色）和AON Corp.（蓝色）f）General Motors Corp.（红色）和Boeing Co.（蓝色）34 P.BARTESAGHI，M.BENZI，G.P.CLEMENTE，R.GRASSI和E.ESTRADAIn为了阐明排名交错的问题，我们将使用风险相关的总可传播性Ri（ζ）和循环性Ci（ζ）度量的不同表示（可传播性是作为这两种度量的不同而获得的，并且可以根据这两种度量进行处理）。首先，将矩阵指数展开为幂级数，得到表示（7.1）Ri（ζ）=eζA~我=∞Xk=0ζkk！w（k）i，其中w（k）i=Ak公司~IDE记录从节点i开始的长度为k的行走次数，其中w（0）i=1。特别地，w（1）i=ki，节点i的阶数。类似地，（7.2）Ci（ζ）=eζA二=∞Xk=0ζkk！w（k）i，i，where now w（k）i，i=Ak公司ii是通过节点i的长度为k的闭合行走数；特别是，w（0）i，i=1，w（1）i，i=0，w（2）i，i=ki，w（3）i，i=2ti，其中Ti是节点i参与的三角形数。其次，我们回顾了谱定理得出的公式（7.3）Ri（ζ）=nXk=1eζλkψTk~ψk，i，Ci（ζ）=nXk=1eζλk（ψk，i）。使用（7.1）-（7.2），我们很容易看到，当ζ>0时，ζ的两个函数都是绝对单调的，即它们是正的，并且在（0，∞), 所有的导数都是非负的。特别地，这两个函数都是严格递增和严格凸的。定义7.1。

我们说节点i和节点j的排名基于ζ处的循环交错*> 如果Ci（ζ）为0*) = Cj（ζ*) 存在ε>0，使得Ci（ζ）- Cj（ζ）在（ζ）中只更改一次符号*- ε, ζ*+ ε).换句话说，节点i和j在ζ处交错*> 如果Ci（ζ）和Cj（ζ）的曲线相交于ζ=ζ，则为0*. 我们注意到，原则上，可以有Ci（ζ*) = Cj（ζ*) 对于某些ζ值*没有发生交错。可能有两种情况：在第一种情况下，两条曲线在隔离点ζ处接触*（无交叉），在第二个函数中，这两个函数在ζ的开放邻域上是相同的*因此，对于所有ζ，因为它们是解析函数。在实践中，这两种情况都不太可能发生，至少在现实网络中是这样。注意，切点必须满足附加条件Ci（ζ*) = Cj（ζ*).基于其他ζ依赖性度量，例如总可传播性Ri（ζ），可以对排名给出类似的定义。在下文中，我们将讨论限制在根据循环性对排名进行交错，但类似的观察结果适用于总的可传播性和传递性函数。识别交错点（如果存在）需要找到超越方程Ci（ζ）的根- Cj（ζ）=0，或ψ（ζ）：=nXk=1eζλkψk，i- ψk，j= 0.经济和金融网络中的风险依赖中心性35即使我们明确知道A的特征值和特征向量，超越函数ψ的根也没有通用的闭式表达式。当然，人们可以求助于数字寻根技术，但这对于大型网络来说是不切实际的。在这里和下面，我们给出了一个定性的讨论，然后是一个启发式的方法，该方法可以简化在实践中似乎运行良好的编程。我们从以下结果开始。

它既适用于循环性排名，也适用于基于总体公共性的排名，事实上，它适用于更大一类依赖于参数的中心度排名函数，包括卡茨中心度[53]。我们提醒读者，我们将风险率ζ限制为正值。定理7.2。设i和j是具有不同特征向量中心性的两个节点：ψ1，i6=ψ1，j。那么i和j的交错点的数量必然是有限的（可能为零）。证据让我们假设至少有一对节点，i和j，它们的排列空间，因此ψ（ζ）=0至少有一个正根。观察由Ci（ζ）提供的节点i的排名与使用^Ci（ζ）=e获得的节点i的排名相同-ζλCi（ζ）=ψ1，i+nXk=2eζ（λk-λ） ψk，i.当该量单调趋向于ψ1时，iforζ→ ∞, 存在一个ζ，使得在ζ>ζ时不会发生与节点j的rankinterlacing，因为所有节点排名必须在较大的ζ极限下稳定在特征向量排名上。因此，所有交错点必须落在紧致间隔[0，’ζ]内。假设交错点的数量是有限的。根据Bolzano-Weierstrass定理，这个集合有一个累积点。但由于^ψ（ζ）：=e-ζλψ（ζ）是解析的，在这个集合上为零，它必须处处为零，这与（0，∞).因此：推论7.3。如果网络中的所有节点具有不同的特征向量中心，则交错点的总数是有限的（可能为零）。对于节点i和j对，存在至少一个交错点的充分条件是ki≥ 千焦（或千焦≥ ki）而ψ1，i<ψ1，j（分别为ψ1，i>ψ1，j）。

这源于定理4.2：由于Ci（ζ）在度中心性和igenvector中心性之间平滑插值，因此阶数越高的节点的特征向量中心性越低的唯一方法是相应的循环在某个值ζ处交错*> 如果存在多个交错点，则该数字必须为奇数，否则阶数较高的节点也会比其他节点具有更高的特征向量中心性。考虑到偶数个交错点的可能性，上述条件是不必要的。存在至少一个层间点的一个必要条件是，至少存在两个k值，例如kand k，其中（Ak）ii- （Ak）jjand（Ak）ii- （Ak）JJ有不同的符号。事实上，从（7.1）-（7.2）中可以明显看出，如果（比如）（Ak）ii≥ （Ak）jj对于所有k，则不存在秩交错点。级数展开式包含一个完整的项，这表明该条件可能不充分。我们提到，对于不同的中心性函数（卡茨预解式），同样的问题已经由【56】独立于我们进行了研究。36 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA7.1。一种封闭式方法。我们现在考虑基于截断序列扩展的启发式算法。让k≥ 3是k的最小值，使得值序列{（Ak）ii-（Ak）jj}k≥2发生符号变化（此处零被视为正）。如果没有这样的kexists，那么就不会发生交错，正如我们已经观察到的那样。我们考虑将Ci（ζ）的截断近似为k阶≥ k： （7.4）Ci（ζ）≈ 1 +2!ζw（2）i，i+3！ζw（3）i，i+···+k！ζkw（k）i，i=~Ci（ζ），其中我们回忆起w（k）i，i=（Ak）ii。我们强调，这种多项式近似假设ζ很小，因为它的误差是O（ζk+1）。

另一种方法是，我们也可以将同一多项式除以1，再除以ζ：~Ci（ζ）作为替代项- 1ζ=2!w（2）i，i+3！ζw（3）i，i+···+k！ζk-2w（k）i，i，其中现在的误差为O（ζk-1). 现在，我们可以使用这些多项式近似来近似地定位任何数量级非常小的交错点。这需要找到k次多项式方程的（正）根（如有）- 2： （7.5）q（ζ）=（w（k）i，i- w（k）j，j）k！ζk-2+（w（k-1） 我，我- w（k-1） j，j）（k- 1)!ζk-3+··+（w（3）i，i- w（3）j，j）3！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）2！=众所周知，对于大于或等于5的次数，代数方程的解不存在只涉及算术运算和根抽取的闭式表达式，因此通常如果k≥ 7我们将不得不求助于数值方法来解决（7.5）。系数的评估需要计算邻接矩阵A的幂的对角线项，这对于非常大的图和k的大值来说可能很昂贵。作为最简单的例子，我们考虑w（2）i，i>w（2）j，jand w（3）i，i<w（3）j，j（反之亦然）的情况，即k=3。取k=k，方程（7.5）变成线性方程（w（3）i，i- w（3）j，j）3！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）2！=0，这允许唯一解ζ*=3（w（2）i，i-w（2）j，j）w（3）i，i-w（3）j，j，这当然是正的。根据节点的角度和它们所处的三角形的数量，这可以写为：（7.6）ζ*=ki公司- kjti公司- tj公司.在加权网络的情况下，度被加权度或强度代替，三角形的数量被长度为3的循环的加权数代替，即长度为3的循环的权重是其三条边上权重的乘积。

先验地，经济和金融网络中的风险依赖中心性37没有理由期望该值接近实际交错点（假设它甚至存在），因为高阶项的行为可能会更有效地影响涉及风险的负项的影响-tj。通过考虑高阶近似可以获得更好的近似；例如，使用k=4可以得到ζ中容易求解的二次方程，k=5可以得到三次方程，依此类推。在任何情况下，这些都是启发式方法，其有用性只能通过具体实例进行实验评估。我们强调，使用幂级数截断需要了解k，因为以低于kwould的阶数截断级数会导致一个没有正解的方程，从而得出结论，给定的一对节点不存在交错点，即使这些点确实存在。还值得回顾笛卡尔的符号规则，根据该规则，多项式的正实根数（与它们的多重数一起计数）等于（非零）系数中的符号变化数，或者小于偶数，当幂按降序排列时。此外，如果已知多项式只有实根（如对称邻接矩阵，即无向网络的情况），则符号变化的数量正好等于正根的数量。因此，很明显，如果幂级数在k阶处截断，即一旦我们观察到系数的初始符号变化，那么将只有一个正根，因此通过这种方法只能找到一个（近似）交错点。高次k>kma的多项式截断可能有多个正根，这取决于系数的变化数量（假设网络是无向的）。

我们很快就会回到这个案子上来。为了举例说明之前的发现，让我们考虑一对在程度上有微小差异的节点，例如ki- kj=2，则-（千- 2)≤ （ti- tj）≤ ki，例如，如果ki≤ 10，让ζ在0到0.1之间变化，我们得到图15（a）中给出的曲线图。可以看出，以下是 = ti公司-tj<0，我们可以得到Ci的正值和负值- Cj。这如图15（b）所示，我们可以看到-100≤  ≤ -40 Ci既有正值，也有负值- Cj。换言之，可以找到Ci（ζ）>Cj（ζ），然后Ci（ζ）<Cj（ζ）的成对节点，这意味着即使在相对狭窄的窗口内，当ζ值发生变化时，这些节点也会改变其在风险依赖中心性方面的排名。注意，如果ki- kj=2，和 ≥ -30在所分析的ζ的相应范围内，未观察到此类变化。38 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA-0.0210000.1Ci-Cj0.02ti-tj00.040.05-1000-0.02-0.0100.010.020.030.04（a）0 0.05 0.1-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01Ci-Cj=-10=-20=-30=-40=-50=-60=-70=-80=-90=-100（b）图15（a）说明在程度上有微小差异的节点的风险依赖中心性差异的变化，ki- kj=2，作为三角形数量差异的函数，ti- tj和网络传染性风险ζ。（b） 为ki设计的一些曲线- kj=2，给定值为 = ti公司- tjas是ζ的函数。如果我们现在考虑节点度的巨大差异，例如ki-kj=100，以及三角形数量差异的相同变化量，例如。，-100≤  ≤ 100如图16（a）所示，我们未观察到节点对排名的任何变化。

在这种情况下 必须大幅增加，以获得节点的PAIR排名的反转（见图16（b））。经济和金融网络中的风险依赖中心度3901000.050.1Ci-Cj0.1ti-tj00.05-100000.020.040.060.080.10.12（a）-1500000.1Ci-Cj1ti-tj020.05-50000-1-0.500.511.52（b）图16：节点风险依赖中心度差异的变化说明-kj=100，作为三角形数量差异的函数，-100≤  ≤ 100（a）和-5000≤  ≤ 5000（b），网络传染性（风险）ζ。为了说明估计值（7.6）的表现如何，我们使用它来近似几对公司的交错点，并将其与表2中美国公司网络加权版本的观察值进行比较。表2:1999年美国公司网络中几对公司排名交叉点的计算以及出现此类交叉点的观察值。地块公司1公司2ζ*计算ζ*观察（a）摩根大通（J.P.Morgan&Co.股份有限公司）美国银行（Bank of America Corp.）0.375 0.37（b）菲泽（P.Fizer）股份有限公司阿什兰（Ashland）股份有限公司0.441 0.41（c）摩根士丹利（Morgan Stanley&Co.Bank One Corp.）0.176 0.17（d）美国电话电报公司（AT&T Corp.）Airtouch Communications 0.273 0.27（e）联合碳化物公司（New AON Corp.）0.353 0.32（f）通用汽车公司（General Motors Corp.）波音公司（Boeing Co.）0.214 0.14关于幂级数截断启发式有效性的更多一般考虑因素可以是…制造的包含任何交错点的区间的大小在很大程度上取决于基于度量值Ci（ζ）（或￠Ci（ζ））的排名在使用特征向量中心性获得的排名附近稳定的速度。这又取决于光谱间隙λ- λ： 差距越大，ζ值增加时，特征向量中心度排名接近得越快。

因此，在间隙相对较大的情况下，我们预计任何层间40 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.EstradaValue都会出现在ζ的较小值上。在这种情况下，可以调整基于多项式近似的启发式，因为对于较小的ζ值，可能已经发生交错。然而，众所周知，要确定光谱间隙何时“足够大”并不容易。另一方面，当光谱间隙很小时，间隔[0，(R)ζ]将变大，因此有“更多的空间”发生交错。不幸的是，在这种情况下，不清楚多项式截断是否会对交错点的大致位置产生影响。在这种情况下，一种可能的解决方案是将函数Ci（ζ）展开，不围绕值ζ=0展开，但也围绕一些值ζ>0展开。该策略还可用于在找到第一个交错点ζ后找到可能的第二个交错点*. 展开圆ζ*通向ψ（ζ*+ η） =Ci（ζ*+ η) - Cj（ζ*+ η) =2!（w（2）i，i- w（2）j，j）η+3！（w（3）i，i- w（3）j，j）η+····+k！（w（k）i，i- w（k）j，j）ηk+O（ηk+1）。除以η，将结果设为零，得到一个k次代数方程-2对于η；最小正根η*如果有，则得出近似值ζ*+ η*对于下一个交错点，依此类推。当根据基于风险的总可通信性度量i（ζ）对节点进行排序时，完全类似的考虑适用于交错点的近似。在这种情况下，要求解的超越方程由χ（ζ）=Ri（ζ）给出- Rj（ζ）=nXk=1eζλkψTk~[ψk，i- ψk，j]=0。设w（k）i=（Ak~1）i。

然后，截断级数展开式（7.1）并除以ζ>0，得到近似值（7.7）（w（k）i- w（k）j）k！ζk-1+··+（w（2）i- w（2）j）2！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）=0，对于其最小正解近似于节点i和j排名的第一个交错值的方程，假设存在；再来一次k≥ k现在在哪里k≥ 2是序列{w（k）i-w（k）i}k更改符号。最简单的可能情况是当k=k=2时，当w（2）i，i- w（2）j，jand w（2）i- w（2）j=（A~1）i- （A~1）j有不同的符号。在这种情况下（7.7）简化为线性方程（w（2）i- w（2）j）ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）=0，具有唯一根ζ*= 2w（2）i，i- w（2）j，jw（2）j- w（2）i＞0。经济和金融网络中依赖风险的中心地位418。风险预测和2019冠状病毒疾病。自从我们提交了这项工作的第一个版本以来，从2019年12月开始，一场大流行从中国湖北省武汉市开始蔓延。这种疾病是由一种名为SARSCoV-2的新型冠状病毒引起的[45]，在大约三个月内影响了全球200多个国家。目前的主要问题是医学性质的，但正如Balwing和Wederdi Mauro所说，这种冠状病毒“在经济上和医学上一样具有传染性”[4]。与近期疫情相比，此次疫情最重要的特点之一是，它对世界上最重要的经济体——中国、美国、德国、意大利、西班牙——的影响非常强烈。关于这种流行病对宏观经济的影响，有一些初步研究（例如，见[4]）。然而，重要的是应用数学和计算技术，在区域、国家和国际层面预测此次危机对金融机构、公司和小公司的影响。