关于泛双线性投资组合的一个注记

加里瓦提斯战略（i，j）∈ {1，…，m}×{1，…，m}；由于（i，j）极端策略产生xiyj的资本增长因子，因此相当于双线性交易策略B：=eiej，这是B的一个极值点。一般双线性投资组合B：=[bij]m×mis可唯一表示为极端策略的凸组合B=mXi=1mXj=1bijeij（10）；这意味着B的实践者已经选择将他最初的美元投入到每个极端策略（i，j）中。因此，在两个时期结束后，投资者的总财富将等于tomPi=1mPj=1bijxiyj=xBy。3通用双线性投资组合。我们现在考虑渐近占优（或增长最优）双线性投资组合的在线学习。为此，我们假设有T个基本投资期T∈ {1，…，T}，每个被分为“前半部分”（期间总回报向量为xt）和“后半部分”（期间总回报向量为YT）我们让xt：=（x，…，xt）∈Rm+- {0}t记录第1期、第1期、第1期和。。。，t、 同样，我们让yt：=（y，…，yt）∈Rm+- {0}t确定第1期后半年的回归历史。。。，t、 因此，我们有转换法xt+1：=（xt，xt+1）和yt+1：=（yt，yt+1），其中x和yde记录空历史。我们让wb（xt，yt）：=tYs=1xsBys（11）一份关于通用双线性投资组合A的注释。garivatis表示双线性交易策略B相对于回报历史的最终财富函数（xt，yt）；类似地，我们编写wb（xt，yt-1） ：=t-1Ys=1xsBys！×（xtB1）=WBxt，（yt）-1, 1)（12） 如果时间t只完成了一半。

我们将考虑顺序投资策略^B（o，o），即在每个时期t开始时，选择一些双线性投资组合^B（xt-1，yt-1） ：=h^bij（xt-1，yt-1） im×M，以观察到的回归历史（xt）为条件-1，yt-1); 该双线性投资组合将在T期的整个期间内使用。投资计划实现的资本增长系数^B（o，o）相对于历史（xt，yt）等于^W（xt，yt）：=tYs=1xs^B（xs-1，ys-1） ys，（13），如果周期t只完成了一半，我们写下^W（xt，yt-1） ：=“t-1Ys=1xs^B（xs-1，ys-1） ys#×hxt^B（xs-1，ys-1） 1i=^Wxt，（yt）-1, 1).（14） 在给定的时间段t内，^B（o，o）的在线行为相当于Portfolivectors^p（xt-1，yt-1） ：=^B（xt-1，yt-1） 1和^q（xt，yt-1） ：=^B（xt-1，yt-1） xtxt^B（xt-1，yt-1)1. （15） 为了在t个完整投资期结束后获得^B（o，o）在线绩效的实际基准，我们将考虑最佳双线性。存入B的初始货币存款等于空产品WB（x，y）：=1美元。关于通用双线性投资组合的一个注记A.个别序列（xt，yt）事后的GarivatisTrading策略：B*（xt，yt）：=arg maxB∈BWB（xt，yt）（16）和B*（xt，yt-1） ：=参数maxB∈BWB（xt，yt-1） =B*xt，（yt）-1, 1). （17） B累积的最终财富*（xt，yt）是一种路径依赖型金融衍生工具，Payoffd（xt，yt）：=最大∈BWB（xt，yt）=WB*（xt，yt）（xt，yt）（18）和D（xt，yt-1） ：=最大∈BWB（xt，yt-1） =Dxt，（yt）-1, 1). （19） 提案2。最终财富函数WB（xT，yT）是向量x，y，x，y。。。，xT，yT，例如，它在每个向量xT中分别是线性的，在每个向量yT中也是线性的，对于1≤ t型≤ T、 因此，事后优化的最终财富D（xT，yT）在每个xT和每个HYT中都是凸的和正均一的。证据WB（o，o）的多重线性很容易从定义中得出，例如：。

WB（xT，yT）=t型-1Qs=1xsBys· （xtByt）·TQs=t+1xBYS在X和yt中明显具有相加性和均匀性。如果我们写D（xt）并将D（o，o）视为xtonly的函数，那么关于xt（或关于yt）的凸性和同质性来自于映射xt7→ D（xt）是一系列线性函数的逐点最大值，即（WB（xt））B∈B由于明显的原因，任何因果（或非预期）投资策略^B（o，o）都无法实现事后最优回报（o，o）；然而，可能需要注意的是，关于通用双线性投资组合A.Garivatisto achieveany average^W（xt，yt）：=ZB∈BWB（xt，yt）f（B）dB，（20），其中f（o）是B上的连续密度函数。也就是说，受ThomasCover（1991）和Cover and Ordentlich（1996）的启发，我们做出以下定义。定义2。通用双线性投资组合（对应于先验密度f（o）是所有双线性交易策略的绩效加权平均值：^B（xt，yt）：=RB∈BB·WB（xt，yt）f（B）dBRB∈BWB（xt，yt）f（B）dB=Ef【B·WB（xt，yt）】Ef【WB（xt，yt）】。（21）如此定义，矩阵^B（o，o）确实是一个有效的双线性投资组合，因为^B（xt，yt）的偏差≥ 0和1^B（xt，yt）1=1。初始双线性组合^B（x，y）等于质量RB的中心∈BBf（B）dB=由先验密度f（o）诱导的Ef【B】。提案3。T个完整投资期后，普遍财富^W（xT，yT）等于平均值^W（xT，yT）=ZB∈BWB（xT，yT）f（B）dB=EfWB（xT，yT）. （22）顺便说一下，如果某个因果（非预期）交易策略可以精确复制（或对冲）离散时间支付（xt，yt）=^W（xt，yt），那么该策略必然是唯一的。对于双线性支付，我们已经遇到了这种现象。关于泛双线性投资组合的一个注记。

t期内通用双线性投资组合的总回报由xt^B（xt）给出-1，yt-1） yt=RB∈B（xtByt）·WB（xt-1，yt-1） f（B）dBRB∈BWB（xt-1，yt-1） f（B）dB=RB∈BWB（xt，yt）f（B）dBRB∈BWB（xt-1，yt-1） f（B）分贝。（23）取方程（23）两侧的（伸缩）积，t：=1。。。，T，并记住WB（x，y）=1=RB∈Bf（B）dB，我们得到期望的结果：^W（xT，yT）=RB∈BWB（xT，yT）f（B）dB。继Cover（1991）和Cover and Thomas（2006）之后，通用双线性投资组合背后的直觉是：我们在所有双线性交易策略中分配初始美元（根据tof（o））∈ B、 由此，在给定B附近的双线性投资组合将获得f（B）dB美元进行管理（从现在起直到王国到来）。经过t个完整的投资期后，该地区的双线性策略已将资金增长到WB（xt，yt）f（B）dB；因此，投资者的总财富等于∈BWB（xt，yt）f（B）dB。有了这种直觉，可以立即写出^B（xt，yt）的公式，因为给定B的区域设置负责管理分数φ（B）dB：=WB（xt，yt）f（B）dBRB型∈总财富的BWB（xt，yt）f（B）dB。因此，整体双线性投资组合就是凸组合^B=RB∈BB·φ（B）dB。长期以来，B附近的双线性交易策略*（xt，yt）由于其优越的指数增长率，即（1/t）log D（xt，yt），将控制更大的总财富份额。因此，总资金将（渐进地）以同样的速度复合自身；关于泛双线性投资组合A.Garivatisis，我们有关系极限→∞（事后看来，最佳双线性投资组合的超额增长率）=limt→∞“日志D（xt，yt）t-log^W（xt，yt）t#=0，（24）对于单个返回序列ω：=（xt，yt）∞t=1。

本文件的其余部分关注于勾勒出必要的细节。在这一点上，我们定义为：定义3。竞争比率R（xT，yT）衡量普遍双线性投资组合实际实现的后优化双线性财富的百分比，例如R（xT，yT）：=^W（xT，yT）D（xT，yT）=WB（xT，yT）的平均值WB（xT，yT）最大值WB（xT，yT）。（25）引理1。竞争比率R（o，o）始终为≤ 1.它在每个向量xt和每个向量yt中分别是阶0和拟凹的齐次。证据事实上，R（xT，yT）≤ 1紧随以下事实，即数字（WB（xT，yT））B的任何凸组合（或加权平均）∈B不能超过其最大值。度0的均匀性源于WB（o，o）和D（o，o）在每个向量xtor yt中都是线性均匀的（度1）。多重拟凹性来自这样一个事实，即当被视为XTONE（或YTOONE）的函数R（xt）时，我们处理的是正线性函数（即^W（xt））与正凸函数（即D（xt））的比率。也就是说，如果我们考虑的不仅仅是几乎所有地方；但在任何地方，对于所有可能的ω∈Rm+- {0}N、 关于泛双线性投资组合A.Garivatis的注记上轮廓集Uα：=xt公司∈ Rm+：R（xt）≥ α=nxt公司∈ Rm+：^W（xt）- αD（xt）≥ 0o，（26）那么我们看到Uα是所有α的凸集∈ R、 对于，如果α≤ 0，则Uα=Rm+，这是凸的；如果α≥ 0，则Uα是凸的，因为它是凹函数xt7的上轮廓集→^W（xt）- αD（xt）。由于0度的（多重）同质性，竞争比率仅与向量x或y的方向有关-它们的长度不影响泛双线性投资组合的相对性能。因此，我们可以自由地将每个xt（resp.yt）缩放λ的因子：=1/| | xt | |（resp.1/| | yt | |），以便xt（resp.yt）的坐标和为1，例如。

我们可以假设每个xtor yt都属于unitsimplexm、 因此，我们有关系（xT，yT）：=inf（xT，yT）∈（Rm+-{0}）2TR（xT，yT）=min（xT，yT）∈2TmR（xT，yT），（27）例如，最坏情况相对性能R（xT，yT）超过简单数的乘积2毫米。更好的是，由于R（o，o）是多重拟凹的，其最小值实际上必须在某个极值点（xT，yT）实现∈ {e，…，em}2T，例如，返回历史，其中所有xt，yt都是单位基向量。发生这种情况的原因是，当R（o，o）仅被视为xt的函数时∈ m（或仅为yt∈ m） ，我们有R（xt）=R（xt1e+····+xtmem）≥ min{R（e），…，R（em）}=R（ei*), （28）一切可能的市场行为都会发生（xT，yT）。关于泛双线性投资组合A.Garivatis的一个注记，即竞争比率总是可以通过用适当的单位基向量ei替换任何xtor YT来降低*.在下面的内容中，我们将考虑单位基向量xT：=（ei，…，eiT）和yT：=（ej，…，ejT）的序列，其中iT：=（i，…，iT）∈ {1，…，m}和jT：=（j，…，jT）∈{1，…，m}T.为了简单起见，我们将通过编写（不言而喻的）表达式R（iT，jT）、^W（iT，jT）和D（iT，jT）来滥用符号。单位基本部门的序列在此称为极值序列或凯利赛马序列，因为它们对应于博彩市场（如赛马或预测市场），其中只有一项m资产的总回报为正。对于给定的Kelly序列（iT，jT），我们将要求计数，或relativefrequenciesnij（iT，jT）：=（次数（iT，jT）=（i，j））=X{t：（iT，jT）=（i，j）}1，（29），以便nij≥ 0和MPI=1mPj=1nij=T。引理2。

对于任何Kelly序列（iT，jT），事后来看，最佳双线性交易策略的最终财富等于D【nij】mi，j=1=Q（i，j）：nij＞0（nij／T）nij；universalwealth^W（iT，jT）承认minorant^W（iT，jT）≥f（T+m- 1)!mYi=1mYj=1nij！，（30）其中f：=最小∈Bf（B）是由优先级密度f（o）分配给任何双线性投资组合的最小权重。证据与Kelly序列（iT，jT）相反，双线性交易的最终财富A关于通用双线性投资组合A的票据。GarivatisStrategy B由WB（iT，jT）=TYt=1bitjt=Y（i，j）：nij>0bnij（iT，jT）ij给出。（31）该数量相对于B的最大化相当于Rm+中单位单纯形上的标准Cobb-Douglas优化问题。拉格朗日乘子得出解b*ij=nij/T，因此D（iT，jT）=Q（i，j）：nij>0（nij/T）nij。通过将WB（iT，jT）直接集成到一组双线性交易策略中，可以获得^W（iT，jT）的规定最小值。为此，我们将B识别为固体区域N（B，…，b1m，B，…，b2m，…，bm1，…，bm，m-1) ∈ Rm-1+：b+···+bm，m-1.≤ 1o，（32），其中bmm=1- b- · · · - bm，m-1不是自由变量。因此，我们必须评估（m- 1） -折叠积分zb=01-bZb=0···1-b- ··· -bm，m-2Zbm，m-1=0Y（i，j）6=（m，m）bnijij1.-X（i，j）6=（m，m）bijnmmf（B）dbm，m-1分贝。（33）关于通用双线性投资组合A.Garivatis的注释，使用f（B）的事实≥ f、 并回顾一般标识yz=01-zZz=0···1-z-···-zk公司-2Zzk-1=0zαzα··zαk-1公里-1(1 - z- z- · · · - zk公司-1） αkdzk-1···dzdz=Γ（α+1）Γ（α+1）···Γ（αk+1）Γ（α+α+···+αk+k），（34）其中Γ（·）是伽马函数，我们将k：=mand获得^W（iT，jT）≥ f·mQi=1mQj=1Γ（nij+1）m+mPi=1mPj=1nij！=f·mQi=1mQj=1nij！（T+m- 1)!, （35）如承诺的那样。推论1。对于所有xT，yT，竞争比率有以下（统一）界限：1≥ R（xT，yT）≥f（T+1）（T+2）···（T+m）- 1)~fTm公司-1.

（36）因此，事后来看，最佳双线性投资组合的超额连续复合每期增长率（即，-（1/T）log R（xT，yT））被0夹住≤ 超额增长率≤日志1楼T+Tm-1Xj=1log（T+j）。（37）这个恒等式后面是迭代积分的直接求值（34）。为了实现这一点，必须反复调用特例k：=2，例如Rz=0zα（1- z） βdz=Γ（α+1）Γ（β+1）/Γ（α+β+2），这是β函数，或第一类欧拉积分（参见David Widder1989）。关系~ 表明这两个序列是渐近等价的，例如~ B表示限制→∞an/bn=1。也就是说，每个完整的投资期（两部分）。关于泛双线性投资组合A.Garivatis的一个注记，即在最坏的情况下，超额增长率渐近等于数量（m- 1） 对数（T）/T。证据对于任何Kelly序列（iT，jT），引理1意味着r（iT，jT）=^W（iT，jT）Q（i，j）：nij>0（nij/T）nij≥ f·TT（T+m- 1)!mYi=1mYj=1nij！nnijij，（38），其中右侧使用0：=1的约定。现在，请注意整数程序min（[nij]≥0：mPi=1mPj=1nij=T）mYi=1mYj=1nij！nnijij（39）的求解方法是将矩阵[nij]m×mto T的任何条目设置为零，并将所有其他条目设置为零，例如，我们有一个著名的不等式（参见Cover和Ordentlich1996），mYi=1mYj=1nij！nnijij≥TTT。（40）因此，liesR（xT，yT）≥ 最小值（iT，jT）∈{1，…，m}2TR（iT，jT）≥f（T+1）（T+2）···（T+m）- 1). (41)定理1。

通用双线性投资组合渐近支配原始（1-线性）通用投资组合，其技术意义与通用1-线性投资组合渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略完全相同。如果事后发现，最好的双线性交易策略比最好的固定再平衡投资组合保持了更高的符号资本增长率，那么，关于通用双线性投资组合的注释a.Garivatis，那么通用双线性投资组合将以指数因子渐进地优于通用1线性投资组合。证据我们让^S（xt，yt）：=Zc∈m“tYs=1（cxs）（cys）#g（c）dc=Eg”tYs=1（cxs）（cys）#（42）表示t个完整投资期过后通用1线性投资组合的财富（参见Thomas Cover 1991和Cover and Ordentlich 1996），其中管理信息系统Rm+和g（o）中的单位投资组合单一是优先密度m、 事后来看，最佳固定再平衡投资组合的最终财富将表示为*（xt，yt）：=最大值∈mtYs=1（cxs）（cys）。（43）由于下界^W（xt，yt）^S（xt，yt）=^W（xt，yt）D（xt，yt）·D（xt，yt）S*（xt，yt）·S*（xt，yt）^S（xt，yt）≥fm公司-1Qj=1（t+j）·D（xt，yt）S*（xt，yt）·1，（44）我们可以将渐近超额增长率（泛双线性投资组合相对于泛1线性投资组合）最小化如下：→∞“对数^W（xt，yt）t-对数^S（xt，yt）t#≥ lim信息→∞（1吨）logfm级-1Yj=1（t+j）！+lim信息→∞日志D（xt，yt）t-日志S*（xt，yt）t= lim信息→∞日志D（xt，yt）t-日志S*（xt，yt）t≥ 0，（45）关于泛双线性投资组合A的一个注记。

Garivatis我们利用了以下事实：*（xt，yt）≥^S（xt，yt）和d（xt，yt）≥ S*（xt，yt）保持所有xt和所有yt。因此，我们已经证明，即使是超额增长率（1/t）对数的最小后续极限^W/^S是非负的；如果事后看来，最好的双线性交易策略恰好实现了比事后看来最好的常数再平衡投资组合更高的渐近增长率（在这个意义上，最小的后续限制（1/t）log（D/S*) 则泛双线性投资组合将以指数因子渐近优于泛1线性投资组合。3.1激励示例的解决。为了结束这篇文章，本小节提供了通用双线性投资组合在m=2资产的原始激励示例（如引言所述）中行为的精确公式。因此，我们假设资产2是现金（不支付利息），资产1是“热门股票”，在每个投资期的前半期总是翻倍，然后在每个投资期的后半期损失50%的价值。因此，我们有xt定义的个人返回序列：≡ （2，1）和yt：≡ (1/2, 1). 如图1所示，所有双线性交易策略集现在包含在四面体B中：=（b、b、b）∈ R+：b+b+b≤ 1., （46）其中变量bis受关系b的约束：=1- b- b- b、 与Thomas Cover（1991）类似，我们将使用均匀先验密度f（b，b，b）≡普遍双线性投资组合的实践者必须对个人收益序列ω：=（xt，yt）抱有希望∞t=1具有这一令人愉快的特性。关于泛双线性投资组合A的一个注记。