随机波动率模型中的CVA和脆弱期权

因此，我们的市场模型由资产对数价格Xt和决定波动过程Dxt=-a（Yt）e-2(1-γ） Xtdt+a（Yt）e-(1-γ） XtdBt，0<γ≤ 1（14）dYt=b（t，Yt）dt+c（t，Yt）dBt（15）Bt=ηBt+p1- ηZt，Bt=Bt，其中Bt和Zt是独立的布朗运动，0≤ η<1，b，c：[0，T]×R+-→ R+anda：R+-→ R+是确定性函数，因此（14）-（15）允许一个唯一的强解。我们注意到，由于确定性系数，配对（Xt，Yt）以及

无套利的情况下，默认自由价格U是一个鞅，因此应用^o的公式，我们得到du（s，Xs，Ys））=LU（s，Xs，Ys）ds+a（Ys）e-(1-γ） Xs型xU（s，Xs，Ys）dBs+c（s，Ys）yU（s、Xs、Ys）dBs=xU（s、Xs、Ys）dMXs+yU（s，Xs，Ys）dMYs，（17），其中mx和mys分别是X和Y的鞅部分，l=s+a（y）e-2(1-γ） x个(xx号- x） +c（s，y）yy+ηa（y）c（s，y）e-(1-γ） x个xy+b（s，y）y检验PDE（LU（s，x，y）=0U（T，x，y）=f（x）。（18） 通过分部积分和利用（18），我们得到了以下关于{τ>t}CV A（t）=Et事件的“经典价格”和调整价格之间差异的基本表示公式(1 - NtT）U（T、XT、YT）= (1-Ntt）U（t，x，y）-EthZTt公司xU（s、Xs、Ys）dhNt、Xisi- EthZTt公司yU（s，Xs，Ys）dhNt，Y isi，（19）这是不相关项加上两个额外项，这两个额外项来自资产和违约以及波动性和违约之间的相关性。备注3.1我们可以从不同的角度来看评估（16）：CVA（t）=Et(1 - NtT）u（T、XT、vT）{τ>t}，其中vt：=vt（t-t） ，σt=a（Yt）是随机波动过程，Vt表示自适应平均方差过程（或零执行方差掉期）Vt=t- 春节ZTtσds=T- 春节ZTta（Ys）ds.这个过程被称为方差交换，它更容易根据市场数据而不是不可交易的随机因子Y进行估计。这两个过程是严格连通的，weassume（H1）存在一个可逆函数d（t，y）∈ C1,2（[0，T]×R+），因此vt=d（T，Yt），我们可以用v等效地写求值。

实际上，by（H1）（X，v）仍然是阿马尔科夫对，函数验证了一个等价的偏微分方程hs+f（s，z）[e-2(1-γ） x个(xx号- x）- z] +ηe-(1-γ） xg（s，z）xz+h（s，z）zziu（s，x，z）=0（20），其中f（s，vz）=a（d-1（s，z）），g（s，z）=a（d-1（s，z））yd（s，d-1（s，z）），h（s，z）=c（s，d-1（s，z））(yd（s，d-1（s，z）），到达Cv A（t）=Et(1 - NtT）u（T、XT、vT）=(1-Ntt）u（t、Xt、vt）- EthZTt公司xu（s、Xs、vs）dhNt、Xisi- EthZTt公司zu（s、Xs、vs）dhNt、visi。（21）假设（H1）没有限制性，事实上，我们感兴趣的所有模型都验证了假设（H1）：=d（t，Yt）=Ytφ（t，t），φ（t，t）：=ec（t-t）- 1c，c（t，Yt）=cYt=> yd（t，Yt）=2Ytφ（t，t），Yt=vtpφ（t，t），H&Wvt=Ytφ（t，t），φ（t，t）：=ZTteRst[b（u）+c（u）]duds，c（y，Yt）=c（t）Yt=> yd（t，Yt）=2Ytφ（t，t），Yt=vtpφ（t，t），Hestonvt=θ（t- t） +（Yt- θ） φ（t，t）φ（t，t）：=1-e-k（T-t） k，c（t，Yt）=cpYt=> yd（t，Yt）=φ（t，t），Yt=vt- θ（T- t） φ（t，t）+θ。备注3.2由于σt=a（Yt），当a也是不可微函数时，我们得到u（t，Xt，vt）=u（t，Xt，Yt）=u（t，Xt，a-1（σt）），因此V ega（t）=σU（（t，Xt，a-1（σt））=zu（t、Xt、vt）yd（t，Yt）σa-1（σt），由此我们可以通过冻结初始时间tCV A（t）上的整数和，给出上述表达式（21）的近似值≈(1-Ntt）u（t、Xt、vt）-Delta（t）EthhNt，XiTti公司-V ega（t）yd（t，Yt）σa-1（σt）EthhNt，viTti（22）自xu（t，Xt，vt）=xU（t，Xt，Yt）=δ（t）（23）zu（t，Xt，vt）=V ega（t）yd（t，d-1（t，vt））σ（a-1） （σt）。

（24）当专门研究我们感兴趣的三个模型时，假设λ有一些特定的特性，（19）或（21）中出现的量可以根据强度与其他两个过程之间的相关参数明确计算，这是我们将在下一节中要做的。表示公式（19）非常关键，因为它允许尽可能利用martin gale Nt的显式表示。例如，当考虑λ的动力学模型时，就会出现这种情况，在这种情况下，我们可以求助于债券定价理论，我们可以得到NTS=Ese-RTtλudu= e-RstλuduEse-RTsλudu= e-RstλudueД（T-s） λs+ψ（T-s） （25）对于成熟时间的某些确定性可微分函数Д和ψ，这意味着DNTS=- Ntsn[λs+Д′（T- s） λs+ψ′（T- s） ]ds+Д（T-s） dλs-^1（T- s） dhλ，λiso=- Nts^1（T- s） dMλsdhX，Ntis=- Nts^1（T- s） dhX，λisdhY，Ntis=- Nts^1（T- s） dhY，λ是，其中Mλ表示过程λ的鞅部分。因此，表示（19）变为Cv A（t）=Et(1 - NtT）U（T、XT、YT）= (1-Ntt）U（t，x，y）+EthZTtxU（s、Xs、Ys）NtsИ（T- s） dhX，λisi+EthZTtyU（s、Xs、Ys）NtsИ（T- s） dhY，λisi。（26）二次协变量将表示模型过程之间的相关性。