利用交易成本和价格影响对冲非交易风险

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英文标题：
《Hedging Non-Tradable Risks with Transaction Costs and Price Impact》
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作者：
Alvaro Cartea, Ryan Donnelly, Sebastian Jaimungal
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  A risk-averse agent hedges her exposure to a non-tradable risk factor $U$ using a correlated traded asset $S$ and accounts for the impact of her trades on both factors. The effect of the agent\'s trades on $U$ is referred to as cross-impact. By solving the agent\'s stochastic control problem, we obtain a closed-form expression for the optimal strategy when the agent holds a linear position in $U$. When the exposure to the non-tradable risk factor $\\psi(U_T)$ is non-linear, we provide an approximation to the optimal strategy in closed-form, and prove that the value function is correctly approximated by this strategy when cross-impact and risk-aversion are small. We further prove that when $\\psi(U_T)$ is non-linear, the approximate optimal strategy can be written in terms of the optimal strategy for a linear exposure with the size of the position changing dynamically according to the exposure\'s \"Delta\" under a particular probability measure.
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中文摘要：
风险厌恶代理使用相关交易资产美元美元对冲其在非交易风险因素美元中的敞口，并说明其交易对这两个因素的影响。代理人的交易对美元的影响被称为交叉影响。通过求解agent的随机控制问题，我们得到了当agent在美元内保持线性位置时最优策略的一个闭式表达式。当不可交易风险因子$\\ psi（U\\T）$的敞口为非线性时，我们以封闭形式提供了最优策略的近似值，并证明了当交叉影响和风险规避较小时，该策略可以正确地近似值函数。我们进一步证明，当$\\ psi（U\\T）$为非线性时，近似最优策略可以写成线性曝光的最优策略，在特定概率测度下，位置大小根据曝光的“Delta”动态变化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Hedging_Non-Tradable_Risks_with_Transaction_Costs_and_Price_Impact.pdf (4 MB)

2022-6-24 12:46:13 上传

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关键词：交易成本 交易风险 Mathematical Quantitative Approximate

利用交易成本和价格影响对冲非交易风险I'Alvaro Carteaa、Ryan Donnellyb、Sebastian Jaimungalcamatical Institute、牛津大学、牛津曼恩定量金融研究所、伦敦联合金多姆学院、多伦多联合金多姆大学、，CanadaAbstractA风险厌恶代理使用相关交易资产S对冲其对非交易风险因素U的敞口，并说明其交易对这两个因素的影响。代理人的交易对U的影响被称为交叉影响。通过求解agent的随机控制问题，我们得到了当agent在U中保持线性位置时最优策略的闭合表达式。当暴露于非交易风险因子ψ（UT）是非线性的时，我们以闭合形式提供了最优策略的近似值，证明了在交叉影响和风险规避较小的情况下，该策略能够正确逼近价值函数。

我们进一步证明，当ψ（UT）为非线性时，近似最优策略可以写成线性曝光的最优策略，在特定概率测度下，位置大小根据曝光的“Delta”动态变化。关键词：非交易风险、对冲、算法交易、价格影响ISJ感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持，[资金参考号RGPIN-2018-05705和RGPAS-2018-522715]。作者要感谢期权研究会议、暹罗年度会议、单身汉世界大会、INFORTS年会、西方数学金融会议和暹罗金融数学与工程会议的与会者对本文的评论。ii支持本研究结果的数据可根据合理要求从通讯作者处获得。电子邮件地址：alvaro。cartea@maths.ox.ac.uk（\'Alvaro Cartea），ryan。fdonnelly@kcl.ac.uk（瑞安·唐纳利），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（塞巴斯蒂安·贾蒙格尔）1。引言在本文中，我们首次展示了风险厌恶代理人如何在考虑交易价格影响的同时管理其对非交易风险因素的敞口。代理人可以交易相关资产以对冲风险敞口。理想情况下，交易资产中的这一头寸可以立即实现，但价格影响限制了代理人交易的速度。另一方面，交易速度过慢会使代理人面临与非交易风险因素相关的风险。价格影响通常可以根据其持续性的时间尺度分为两种类型：临时性或永久性。第一种情况发生在交易量超过限额订单簿（LOB）中最佳报价的可用流动性时。

第二种情况是由于限额指令的更新，以反映流动性接收指令传达的新信息的到达。一些关于价格影响的研究包括Potters和Bouchaud（2003）、Cont等人（2014）、Donier等人（2015）和Bacry等人（2015）。我们的问题与两条文献有关，一条是大额头寸的最优执行，另一条是不可交易风险的对冲。文献中对具有价格影响的大额头寸的执行进行了广泛研究，参见Almgren和Chriss（2001）的早期工作，以及最近的Gu’eant（2015）、Cartea等人（2015）、Bechler和Ludkovski（2015）和Gu’eant（2016）。我们提供了三个投资者面临非交易风险因素的例子。前两种情况是，非贸易因素是一种金融工具，代理人因法律或监管原因被限制交易。第三，当非贸易因素不是金融工具时。（i） 以公司股票期权形式获得报酬的员工可能会受到一项契约的约束，该契约禁止他们在一段时间内交易期权或公司股票。（ii）与2008年和2011年的情况一样，监管机构对股票实施了短期抛售禁令。持有以禁止卖空资产为基础的衍生工具的投资者必须寻找无限制且相关的资产来对冲其风险敞口。（iii）天气衍生品可通过在财务表现与天气相关的公司的交易股票中持有头寸进行套期保值。

此后，我们将不可交易因素解释为代理人被禁止交易的资产，代理人持有该资产的股份或对不可交易风险因素的欧式未定权益。我们以闭合形式求解agent的值函数（命题1）和最优tradinghttps://www.ft.com/content/16102460-85a0-11dd-a1ac-0000779fd18c .https://www.ft.com/content/9a55839a-c42d-11e0-ad9a-00144feabdc0 .当她持有非交易风险因素单位时的策略（定理2）。当敞口以欧式未定权益的形式存在时，我们近似她的价值函数，证明近似确实有效（定理6），获得近似的交易策略（定理7），并表明风险规避和交叉价格影响可能会影响她在相反方向上的最佳交易方向。风险规避的效果是获得一个影响非交易资产风险的头寸，这可能通过相关性效应实现（当相关性为正/负时，将采用短/多头头寸）。另一方面，当相关性为正/负时，交叉价格影响会激励代理人在交易资产集中持有多头/空头头寸，因为这会对非交易资产的价值产生有利影响。我们进一步证明，当代理人对非交易资产有非线性风险敞口时，近似策略可以用线性风险敞口的最优策略来书写，其中线性风险敞口的单位数由非线性风险敞口的“Delta”给出（命题8）。我们的工作与不完全市场的文献相关，在不完全市场中，代理人面临无法完全分散的风险源。亨德森（2002）发起了一系列密切相关的研究，他研究了非贸易资产债权的估值，使用了不同的效用。

类似地，Henderson（2007）和Grasselli（2011）研究了非贸易资产不可逆投资的估值，Cartea和Jaimungal（2017）展示了如何解释模型的不确定性。同样，Leung和Sircar（2009a）、Leung和Sircar（2009b）以及Grasselli和Henderson（2009）通过交易部分相关资产来研究员工股票期权的估值。在Leung和Lorig（2016）中，作者考虑了对相关资产上的或有权益进行静态对冲的问题。然而，这些工作都没有考虑到代理人交易对交易资产本身的价格影响，也没有考虑到对非交易风险敞口的影响。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了交易资产和非交易风险因素的动态性，并提出了代理人面临的动态优化问题。在第3节中，当非交易风险因素的敞口以线性依赖关系影响其最终财富时，我们以封闭形式求解代理人的价值函数和最优交易策略。在第4节中，我们考虑了非交易风险因素的敞口是非线性的情况。我们推导了一个近似最优的封闭式交易策略，证明了当交叉影响和风险规避较小时，该策略是有效的。我们还可以通过模拟潜在的动态来研究战略的定性行为。第5节总结，较长的证明见附录。2、型号2.1。动态在本节中，我们概述了多种资产的动态，包括代理人交易的价格影响，以及代理人库存和现金持有的动态。我们用Sν=（Sνt）t表示∈[0，T]交易资产的（受控）中间价过程，byUν=（UνT）T∈[0，T]非交易风险因素的（受控）价值过程。

我们假设代理能够直接交易S，并且她有额外的U敞口，这样她的财富在未来某个时间T增加ψ（U），其中ψ：R→ R、 虽然她无法直接在美国进行交易，但在S发生的交易会对非贸易风险因素的价值产生影响。我们还让Qν=（Qνt）t∈[0，T]表示代理持有的贸易资产集中的（受控）库存过程，并让控制ν=（νT）T∈[0，T]表示获取该资产的速率（正值/负值表示她正在购买/出售该资产）。受控库存的动态为qνt=q+Ztνudu。（1） 交易资产价格和非交易风险因素满足SDESDνt=（u+bνt）dt+σdWt，（2）dUνt=（β+cνt）dt+ηdZt。（3） 此处，（Wt）t∈[0，T]和（Zt）T∈[0，T]是具有相关ρ的标准布朗运动∈ (-1, 1).术语bνt，带b≥ 0常量，表示由于代理的跨越而产生的永久价格影响。我们考虑了资产S交易对U产生交叉价格影响的可能性。这可以通过在U漂移中加入cνt这一术语来解释，其中c为常数，β为常数。除了对中间价格的永久影响外，我们还通过引入执行价格来模拟临时价格影响，我们用^Sν=（^Sνt）t表示∈[0，T]由^SνT=SνT+kνT得出。（4）执行价格是代理人购买交易资产股份所支付的价值。以更快的速度进行交易，除了影响资产的漂移外，还会导致执行价格远离中间价格。暂时的价格影响可以认为是订单簿微观结构有限的结果。在其他影响中，可以认为永久性的价格影响是由于信息泄露导致其他市场参与者改变现有订单。

有关LOB动态产生的临时和永久影响的进一步讨论，请参见Cartea et al.（2015）。代理人在执行资产交易时，必须从其持有的现金中提取或存入适当的资金，其价值由Xν=（Xνt）t表示∈[0，T]和等式xνT=x-Zt^Sνuνudu。（5） 自始至终，我们致力于完成和过滤的概率空间(Ohm, P、 {Ft}t∈[0，T]），其中，f是（Wu，Zu）u产生的自然过滤的标准增强∈[0，t]。2.2. 性能标准agent采用带有风险规避参数γ的指数效用函数，目的是最大化其在时间T的预期财富效用。在时间T，非交易风险因素的敞口直接影响代理人的财富。此时，她的财富包括她的现金持有量、交易资产库存持有量中的价值以及敞口ψ（UT）。如果她按照交易策略行事∈ A、 其中，可容许交易策略集A由F-可预测过程组成，使得E[RTνudu]<∞, 她的性能特征由hν（t，x，q，S，U）=Et，x，q，S，U给出-e-γXνT+QνT（SνT-αQνT）+ψ（UνT）, （6） 式中，Et，x，q，S，U[·]表示以xνt=x，qνt=q，Sνt=S，and Uνt=U为条件的预期。α（qνt）表示代理人因在时间t清算其库存而产生的价格惩罚，并激励其持有接近到期的小库存头寸。一般而言，终端库存QνT的清算可能会对非交易风险因素UνT产生交叉影响，因此ψ应取决于Utan和QT。这将使分析复杂化，事实上，在许多情况下，这种交叉影响不会被具体化。

例如，如果风险敞口ψ（UT）是现金结算的，并且Qνt股份的清算是在结算后立即进行的，那么该交易的任何交叉影响都是无关紧要的，因为代理行并不实际持有对UTanymore的风险敞口。她的值函数isH（t，x，q，S，U）=supν∈AHν（t，x，q，S，U）。（7） （7）中提出的控制问题具有相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：tH+supνν qH公司- （S+kν）νxH+（u+bν）SH+σSSH+（β+cν）UH+ηUUH+ρση苏赫= 0，H（T，x，q，S，U）=- e-γ（x+q（S-αq）+ψ（U））。（8） 在下一节中，我们假设敞口ψ（U）与非交易风险因子的值呈线性关系。这使我们能够求解价值函数和最优交易策略的封闭形式。在第4节中，我们放松了这一假设，并提供了解决方案，这些解决方案可以修正到在小风险厌恶和交叉影响的限制下消失的修正。3、线性风险敞口我们考虑对非交易风险因素的风险敞口为线性的特殊情况：ψ（U）=N U。对这种风险敞口的直接解释是，代理人持有N股非交易风险因素，并被限制交易t型∈ [0，T），但在T时，该限制解除，股票立即清算。我们还假设2α- b>0，因为这确保了以下命题中给出的值函数的形式对于所有t∈ [0，T]。如果不遵守此不等式，则（11b）和（11c）中的项（如下所示）可能会爆炸。

这种不平等通常在实际例子中得到满足，因为反向不平等会导致代理大量购买（或出售）并破坏价格稳定，然后用比原始价格变动产生的收益更小的罚款来清算这一大额头寸。以下命题和定理是线性二次指数高斯控制中著名结果的特例（例如，见Jacobson（1973）和Duncan（2013））。为了完整性，我们将其包括在内，因为定理2中等式（12）中的表达式在我们随后的一个结果中起着重要作用。原则上，我们可以像对待交易资产一样，包括清算罚款，但由于代理人无法控制其在[0，T]期间持有的U股数量，该罚款将作为一个常数考虑到绩效标准之外，并且不会影响最佳交易策略。命题1（线性暴露值函数）。当ψ（U）=N U时，方程（8）的解及其终端条件由h（t，x，q，S，U）=给出-经验值{-γ（x+q S+N U+h（t，q；N））}，（9）其中h（t，q；N）=h（t；N）+h（t；N）q+h（t）q。（10）h（t；N）给出的时间相关函数h，h，hare=βN-γηN（T- t） +4 kZTt（h（s；N）+c N）ds，（11a）h（t；N）=ζkωφ-(1 -e-ωk（T-t） （）-φ+(1 -eωk（T-t） ）+2ωcζkNφ-e-ωk（T-t） +φ+eωk（t-t）- c N，（11b）h（t）=ωφ-e-ωk（T-t）- φ+eωk（T-t） φ-e-ωk（T-t） +φ+eωk（t-t）-b、 （11c）且常数ζ=u-γρσηN，ω=qkγσ，φ±=ω±αb证明见附录。定理2（最优交易策略：线性情况）。最佳交易速度ν*t=2 kc N+h（t；N）+（2 h（t）+b）Qν*t型, （12） 是可容许的，并且（9）中提供的解确实是值函数。