利用交易成本和价格影响对冲非交易风险

因此，关于可否受理的论点是相同的。第（iii）部分（最优性近似）：这一部分的证明类似于定理7。给定候选策略νt=v*（t，Qνt，Ug（t，Uνt）；θc，θγ），定义随机过程（Gt）t∈[0，T]byGt=^H（T，XνT，QνT，SνT，UνT；θc，θγ），其中^H（T，X，Q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+^h（t，q，U；θc，θγ））。^h是定理6中hψ的近似值。将伊藤引理应用于G和writeGT- G=-θγZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）×Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）dt公司- θγσZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）QνtdWt- θγηZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）U^h（t，Qνt，Uνt；θc，θγ）dZt，（88），其中M3,4,5由（78）给出。数量V通过显式计算表示为beV（t，q，U；θ）=r（t，q，U；θ）q^h（t，q，U；θ）+θcU^h（t，q，U；θ）+bq- 2 k^v（t，q，U；θ）- k r（t，q，U；θ），其中r=v*-^v.附录C中给出了关于v计算的更多详细信息。通过对^v的构造，我们得到了q^h+θcU^h+b q- 2 k^v=θcUh+c(qh+Uh）+cγ(qh+Uh）+γqh+θc（cUh+cγUh+γ呃）.特别是，V（t，q，U；θ）是关于3次q的多项式，系数是t和U的有界函数。此外，由于该证明第一部分中的参数，我们有limθ↓0θV（t，q，U；θ）=0，其中收敛对于q是局部一致的，对于t和U是一致的。定理7证明的所有估计都是相同的（除了可能不同的常数C，…，C）。我们写作Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）≤ θC+V（θ），其中Cas位于定理7的（80）中，其中V满足极限θ↓0θV（θ）=0，（回想一下，Qν是以常数为界的）。

然后我们有| E[GT]-G |=θEγZT^H（t，Xνt，Qνt，Sνt，Uνt；θc，θγ）×Xi=3θiMi（t，Qνt，Uνt）+V（t，Qνt，Uνt；θ）dt公司≤ γ θθCT E[EθγC（1+MW+MZ）]+V（θ）θT E[EθγC（1+MW+MZ）].因此，limθ↓0θHν（0，x，q，S，U）-^H（0，x，q，S，U）= 0，当与定理6结合时，证明了所需的结果。附录C—P3、4、5、6、M3、4、5和V6.7。P3,4,5,6的完整表达式下列表达式给出了函数P3,4,5,6（t，q，U），它们出现在第6项的证明中。这些表达式是通过显式计算（66）中的上确界和θ的分组幂得到的。回想一下，每个h0,1,2,3,4,5相对于q都是二次的。然后，通过检查，我们看到，Pand Pare三次多项式相对于q，Pand Pare四次多项式相对于q，这些多项式的系数是t和U的一致有界函数。此外，通过引理5，系数对于有界导数的U是连续可微的。P=（γqh+c(qh+（Uh））（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（（cUh+γUh）+2Uh（cUh+cγUh+γUh））+c（cUh+cγUh+γ呃）(qh+bq）2 k+c（γqh+c(qh+（Uh））（cUh+γUh）2 k- γρσηq（cUh+cγUh+γUh），（89a）P=（c（cUh+γUh）+cqh+cγqh+γqh）4 k+c（cUh+cγUh+γUh）（cUh+cqh+γqh）2 k- γη（cUh+γUh）（cUh+cγUh+γUh），（89b）P=c（cUh+cγUh+γUh）（cUh+γUh）2 k+c（cUh+cγUh+γUh）（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（cUh+cγUh+γUh），（89c）P=c（cUh+cγUh+γUh）4 k.（89d）6.8。M3，4，5的完整表达式下面的表达式给出了函数M3，4，5（t，q，U），它们出现在第7项和命题8的证明中。将（33）中的反馈控制^ν代入(t+L^ν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）和θ的分组幂。回想一下，每个h0,1,2,3,4,5相对于q都是二次的。

然后，我们通过检查发现，M是关于q的三次多项式，M是关于q的四次多项式，这些多项式的系数是t和U的一致有界函数。此外，通过引理5，系数是关于U的有界导数的连续可微的。M=（γqh+c(qh+（Uh））（cqh+cγqh+γqh）2 k-γη（（cUh+γUh）+2Uh（cUh+cγUh+γUh））+c（cUh+cγUh+γ呃）(qh+bq）2k+c（γqh+c(qh+（Uh））（cUh+γUh）2 k- γρσηq（cUh+cγUh+γv嗯，（90）米=c（γqh+c(嗯+qh））-2 kγη（cUh+γUh）2 kcUh+cγUh+γ嗯,（90b）米=-γη（cUh+cγUh+γ呃）。（90c）6.9。在计算V之前，我们将更详细地说明计算V所需的步骤，这出现在命题8的证明中。我们从(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+νq^h+θcνU^h+b qν- kν,（91）回想一下，在反馈形式中，控制ν由v给出*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）。我们编写了反馈控制asv*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）=^v（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）+r（t，q，U；θ），（92），其中r（t，q，U；θ）=v*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）-^v（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）。现在我们在（91）中替换（92），然后展开并将包含r（t，q，U；θ）的项与不包含r（t，q，U；θ）的项分开。

结果表达式为(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+v*q^h+θc v*U^h+b q v*- k（v*)= -θγ^Ht^h+uq-θγσq+（β- θγρσηq）U^h+ηUU^h-θγ η(U^h）+^vq^h+θc^vU^h+b q^v-k^v+r(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司= (t+L^ν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）- θγ^Hr(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司= -θγ^HXi=3θiMi（t，q，U）+r(q^h+θcU^h+b q- 2千伏）-k r公司.最后一行中的总结来自于理论证明7中Mi的定义，也在本附录前面概述。大括号中的其余项用V（t，q，U；θ）表示。参考Almgren，R.和N.Chris（2001）。投资组合交易的最佳执行。风险杂志3，5–40。Bacry，E.、A.Iuga、M.Lasnier和C.-A.Lehalle（2015年）。市场影响和投资者订单的生命周期。市场微观结构和流动性01（02），1550009。Bechler，K.和M.Ludkovski（2015年）。具有动态订单流量不平衡的最佳执行。暹罗金融数学杂志6（1），1123–1151。Cartea，'A.和S.Jaimungal（2017年）。不可逆转的投资和模糊厌恶。《国际理论与应用金融杂志》20（07），1750044。Cartea、A.、S.Jaimungal和J.Penalva（2015年）。算法和高频交易。剑桥大学出版社。Chicone，C.（2006年）。《普通微分方程及其应用》，第34卷。SpringerScience&Business Media。Cont，R.、A.Kukanov和S.Stoikov（2014年）。订单簿事件的价格影响。《金融计量经济学杂志》12（1），47–88。Donier，J.、J.Bonart、I.Mastromatteo和J.-P.Bouchaud（2015年）。针对非线性市场影响的完全一致的最小模型。定量金融15（7），1109–1121。Duncan，T.E.（2013）。线性指数二次高斯控制。

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