使用经验数据计算最坏情况下的风险价值预测

（38）因此，采用双层高斯混合模型是合理的。4返回序列分段正如我们在第3节中提到的，我们需要将R划分为N个分段。在一个子集内，r（t）i∈ R独立且分布相同（i.i.d.）。在本文中，我们使用基于核的检测方法来划分R。Harchaoui[46]提出了一种基于核的方法来在非参数设置中执行变化点检测。Truong[47]对相关方法进行了很好的回顾。如Truong所述【47】：为此，原始序列y={y，y，···，yT}被映射到与用户定义的核函数k（·，·）：Rd×Rd相关的再生希尔伯特空间（rkhs）H上→ R、 映射函数φ：R→ rkhs上的H由φ（yt）=k（yt，·）隐式定义∈ H、 产生以下内积和范数：k（ys，yt）=Hφ（ys）|φ（yt）iH，（39）k（yt，yt）=|φ（yt）| H（40），对于任何样本ys，yt∈ Rd.相关成本函数（表示为ckernel）定义如下。克内尔（ya···b）：=bXt=a+1 | |φ（yt）- ua···b·| H（41），其中ya···b={yt}bt=a+1，ua··b∈ H是系列{φ（yt）}bt=a+1的经验平均值。实际上，在简单的代数运算之后，ckernel（ya···b）可以重写如下：ckernel（ya···b）：=bXt=a+1k（yt，yt）-b- abXt，s=a+1k（ys，yt）。（42）成本函数CKernelca可以与任何内核相结合，以容纳各种类型的数据。在本文中，我们使用高斯核：k（x，y）=exp(-γ| | x- y | |）（43）带x，y∈ Rd和γ>0是所谓的带宽参数。相关成本函数（表示为crbf）定义如下：crbf（ya···b）：=（b- （a）-b- abXt，s=a+1exp(-γ| | x- y | |）（44），其中γ>0是所谓的带宽参数。如Truong【47】所述：表示T={T，T，···} {1，···，T}和v（T）：=KXk=0c（ytk···tk+1）（45），其中c（·）是一个成本函数。

具有未知数量变化点的变化点检测问题包括解决以下离散优化问题MintV（T）+pen（T）（46），其中pen（T）是分段T复杂性的适当度量。Truong[47]还提出了几种惩罚函数。在本文中，我们使用的线性惩罚是变化点数量的线性函数，这意味着：pen（T）=β| T |（47），其中β>0是平滑参数，| T |是T的基数。在本文中，我们使用Truong[48]提供的Python Scientific库Breatures来划分R.5模型参数估计。在本文中，我们使用EM算法来估计参数。为简单起见，设K1,1=K1,2=·················································································································································-1+1，（49）^n（t）en=n+············+nt，（50）其中t=1，····，n。因为可观测变量是{rs}ns=1，所以完整变量是（rs，ηs，1,1，·····，ηs，1，K，ηs，2，K，··········，ηs，K，1，·······，n.（51）然后，给定一个子集Rt，完全变量isP（r，η|θ）=^n（t）enYs=^n（t）stP（rs，ηs，1,1，···，ηs，1，K，··，ηs，K，1，··，ηs，K，K |θ）（52）=^n（t）enYs=^n（t）stKYj=1KYi=1[β（t）jαj，iφ（rs，θj，i）]s，j，i（53）=KYj=1β（t）jPKi=1P^n（t）ens=^n（t）stηs，j，iKYi=1αj，iP^n（t）ens=^n（t）stηs，j，i^n（t）enYs=^n（t）st[φ（rs |θj，i）]s，j，i.（54）表示ntj，i：=^n（t）enXs=^n（t）stηs，j，i，i j、，·：=KXi=1^n（t）enXs=^n（t）stηs，j，i（55）那么我们有KXi=1ntj，i=ntj，·，KXj=1ntj，·=ntandNXt=1nt=n.（56）因此，P（r，η|θ）=KYj=1β（t）jntj，·KYi=1αj，intj，i^n（t）enYs=^n（t）st[φ（rs |θj，i）]s，j，i.（57）对于整个序列r，完全变量isP（r，η|θ）=NYt=1KYj=1β（t）jntj，·KYi=1αj，intj，i^n（t）enYs=^n（t）st[φ（rs |θj，i）]ηs，j，i的似然函数。

（58）对数似然函数islog P（r，η|θ）=NXt=1KXj=1nlog（β（t）j）ntj，·+KXi=1对数（αj，i）ntj，i+^n（t）enXs=^n（t）st日志(√2π) - 对数（σj，i）-（卢比- uj，i）2σj，iηs，j，io. （59）E步骤：表示θ（i）是在i迭代中获得的参数，且q（θ，θ（i））=Eθ（i）[对数P（r，η|θ）]（60）=NXt=1KXj=1nlog（β（t）j）KXi=1^n（t）enXs=^n（t）stEθ（i）[ηs，j，i]+KXi=1对数（αj，i）^n（t）enXs=^n（t）stEθ（i）[ηs，j，i]+^n（t）enXs=^n（t）st日志(√2π) - 对数（σj，i）-（卢比- uj，i）2σj，iEθ（i）[ηs，j，i]o. （61）然后^ηs，j，i：=Eθ（i）[ηs，j，i]=P（ηs，j，i=1 | rs，θ（i））=P（rs |ηs，j，i=1，θ（i））P（ηs，j，i=1 |θ（i））=φ（rs |θ（i）j，i）β（t）j（i）α（i）j，iPKj=1PKi=1φ（rs|θ（i）j，i）β（t）j（i）α（i）j，i.（62）我们可以发现，参数^ηs，j，应包含t。因此，我们有^ηs，j，i=^η（t）s，j，i。表示‘’ntj，i：=^n（t）enXs=^n（t）st^η（t）s，j，i，’ntj，·：=KXi=1^n（t）enXs=^n（t）st^η（t）s，j，i，（63）nt=KXj=1'ntj，·，'N=NXt=1'nt，（64）我们有q（θ，θ（i））=NXt=1KXj=1nlog（β（t）j）–ntj，·+KXi=1对数（αj，i）–ntj，i+^n（t）enXs=^n（t）st日志(√2π) - 对数（σj，i）-（卢比- uj，i）2σj，i^η（t）s，j，io. （65）M步：我们需要找到θ（i+1）满意度θ（i+1）=arg maxθQ（θ，θ（i））。（66）我们有迭代公式^uj，i=PNt=1P^n（t）ens=^n（t）st^η（t）s，j，irsPNt=1P^n（t）ens=^n（t）st^η（t）s，j，i，（67）σj，i=PNt=1P^n（t）ens=^n（t）st^η（t）s，j，i（rs- uj，i）PNt=1P^n（t）ens=^n（t）st^η（t）s，j，i，（68）^αj，i=K'NNXt=1'ntj，i，^β（t）j='ntj，·'nt。（69）6实证计算我们考虑了两个金融市场，即中国（1999年至2018年为000001.SH）和美国（1999年至2018年为SPX.GI）证券市场。首先，我们使用基于核的检测方法来划分损失序列。平滑参数β=2.5。然后利用EM算法对参数进行估计。设K=5，K=3。

最后，我们计算WVaR和耐受水平α=95%的VaR。为了比较这两个市场之间的差异，我们还计算了BVaR（最佳风险值）：定义6.1（BVaR）给出了一个实数α∈ [0，1]，X的α级上的BV aRα，具有一组完全相加的概率P isBV aRα（X）=-inf{x∈ R：minP∈PP[X 6 X]>α}。（70）显然，BVaR是最佳情景下的风险价值。图1显示，对于中国（000001.SH）金融市场，我们发现了17个变化点。W V aRSH=5.89%，V aRSH=2.59%，BV aRSH=0.44%。图2显示，对于美国（SPX.GI）金融市场，我们发现了17个变化点。W V aRSP=6.18%，V aRSP=1.97%，BV aRSP=0.42%。首先，对于损失序列细分的结果，虽然两个市场都有17个变化点，但这些变化点的指数存在显著差异。对于中国市场而言，变化点的发生更为一致。这意味着任何市场状况都不会持续很长时间。但在美国市场，情况有所不同。变化点的发生较为集中，且集中在高波动期。这意味着一些“良好”或“温和”的市场状况将持续相对较长的时间，但在高波动性时期，市场状况会频繁变化。其次，从风险度量的角度来看，W V aRSP>W V ARSH，这意味着美国市场的最坏情况比中国市场更严重。美国市场和中国市场的最佳情况相似，因为BV aRSH=0.44%非常接近BV aRSP=0.42%。有趣的是，尽管美国市场的最坏情况更为严重，但中国市场的VaR值更高：V aRSH=2.59%>V aRSP=1.97%。这一事实表明，在衡量尾部风险时，i.i.d.假设确实不合适。

其次，对于不同市场因素产生的一组分布P，中国市场的P元素为图1：中国（000001.SH）金融市场图2：美国（SPX.GI）金融市场更加集中和相似。然而，美国市场的P元素往往表现出更大的差异。总的来说，这两个市场呈现不同的风险特征。此外，我们还提供了日本市场（1999年至2018年的N225.GI）图3和德国市场（1999年至2018年的GDAXI.GI）图4的结果。但相关结果的分析并未重复。图3：日本（N225.GI）金融市场7结论随着金融业的快速发展和金融危机的频繁出现，风险管理已成为公司经理和政府监管机构面临的重要问题。如今，从外部监管和内部管理的角度来看，金融机构在模型不确定性下持有的风险头寸的量化至关重要。然而，对于模型风险的来源没有达成共识。模型不确定性的概念，有时也称为模型模糊性。有人认为，数据遵循的不是单一分布，而是一系列分布。虽然我们知道模型系列，但我们无法准确决定使用哪一个。给定集合P，风险度量ρ的值在所有可能模型集合的范围内变化。该范围内的最大值称为aworst案例值，相应的模型称为最坏场景。尽管许多文献研究了最坏情况下的风险价值度量，但实证数据分析的意义仍然存在。在本文中，我们提出了一个特殊的模型不确定性市场模型，将P简化为一组包含有限个概率分布的集合。

假设收益率序列是独立数据，并且在短时间内具有相同的分布。我们可以把R分成N段，在每个子集Rt中，数据都是i.i.d。。模型不确定性市场模型采用了双层混合分布模型的结构。第一层成分为高斯混合分布。不同的图4：德国（GDAXI.GI）的金融市场成分分布对应不同的市场因素。组成部分的权重表示市场因素发生的概率。我们不关心也无法建模组件发生的概率。因此，当我们预测未来数据的分布时，我们只能知道生成数据的全部成分分布（即市场因素），但我们无法准确地知道成分的权重（即任何市场因素发生的确切概率）。也就是说，存在模型不确定性。第二层成分为高斯分布。实际上，第二层组件没有财务意义。它们只是数值模拟方法的一部分。对于经验数据，我们首先使用变化点检测方法划分收益序列，然后使用DEM算法估计参数。我们计算了四个金融市场的VaR、WVaR（最坏情况下的风险值）和BVaR（最佳情况下的风险值），然后分析了它们的不同表现。参考文献【1】Du ffed和Pan J.风险价值概述。《衍生品杂志》，4（3）：7–491997年。[2] Kupiec P.验证风险度量模型准确性的技术。《衍生杂志》，2（2）：73–841995年。[3] Christo Offersen P-F.评估区间预测。《国际经济评论》，39（4）：841–86219998年。[4] 《风险管理与金融机构》（第3版）。约翰·威利父子公司，2012年。[5] Andrew W Lo和A.Craig Mackinlay。

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