高维全局最小方差投资组合的估计

特别是，当n=18·2jand p=9·2jforj时∈ [0，5]浓度比c始终等于0.5，p随n呈指数增长。这就是为什么小尺寸显示的点多，大尺寸显示的点少的原因。对于c的其他值，也会执行p和n的类似选择∈ {0.1, 0.9, 1.8}. 最后，值得注意的是，模拟结果表明，就相对损失而言，Bonafide最优收缩估计量的收敛速度很好，其oracle估计量已经用于p≤ 100.3.1具有有界谱的总体协方差矩阵在本小节中，我们假设协方差矩阵具有有界谱，即具有有界最大特征值。这里，我们使用协方差矩阵的结构，如图5所示，即取其特征值的1/9等于2，4/9等于5，4/9等于10。用这种方法构造的高维协方差矩阵具有一致的谱诺曼，其特征值不是很分散。此外，协方差矩阵的这种选择确保当维数p增加时，协方差矩阵的谱不会改变其行为。图7和图8显示了正态分布数据的模拟结果和浓度比c的不同值∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. 图7显示了不同维度p所考虑估计量的整体行为，而图8显示了固定p=306的局部分布特性。更准确地说，在全局行为下，我们理解了平均相对损失相对于维度p的演变，而局部行为呈现了p的一个固定值的相对损失的经验累积分布函数（e.c.d.f.），即p=306。

在全局情况下的比较很清楚：平均损失越小，估计值越好。本地研究在经验分布方面提供了更精确的比较。在这种情况下，最佳估计量的标准是基于观测值e。c、 具有随机较小值的d.f.占主导地位。这意味着，对于两个e.c.d.功能，主功能位于另一个的左侧。这一准则与一阶随机优势是一致的。关于一阶随机优势的唯一区别是，比较基于经验分布函数，而不是总体分布函数。在全局分析中，我们发现，对于所有考虑的情况c，对于较小的p值，Bonafide最优收缩估计值已经收敛到相应的oracle估计值∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}.排名第三的是Frahm和Memmel（2010）的主要估计量。它总是比最差的传统估计更好，但总是比其他两个竞争者更差。就平均相对损失值而言，我们观察到，如果c增加且低于1.0，估计值之间的差异将变得更加显著。例如，当c=0.1时，传统估计值的平均相对损失趋于1/9，而当c=0.5时，它趋于1。这两个结果与推论2.1一致，其中证明了传统估计量的平均损失趋于c/（1- c） 在高维渐近下。在ofc=0.9的情况下，最优收缩估计量和支配（传统）估计量的平均相对损失之间的差异变得非常大。实际上，在这种情况下，传统估计的平均相对损失渐近等于9。

这意味着传统估计量的样本外风险是实际风险的10倍。主导估计量明显优于传统估计量，但对于小维度，相对损失接近4（p≤ 50）这意味着其样本外风险是实际风险的5倍。这是不可接受的。相比之下，Bonafide最优收缩率估计器会快速收敛到其oracle估计器。最优收缩估计的相对误差小于0.3。图8显示了在p=306的情况下，局部分析的经验分布函数具有相同的优势。最好的方法是oracle和Bonafide optimal shrinkageestimators。其次，对支配估计量进行排序，然后是传统估计量。这些图也说明了Bonafide最优收缩估计量与其oracle的快速收敛性。p=306的局部分析证实了Bonafide最优收缩估计量的几乎确定的收敛性（一致性），这在定理2.1中得到了证明。在图8中，Bonafide和oracle最优收缩估计值的相对风险都具有非常小的方差，当维度p增加时，方差消失。同时，支配估计量具有显著的较大方差，当c接近1时，它是不稳定的。传统的估计量表现出非常关键的行为，是所考虑的估计量中最差的。最有趣的情况是，图7和图8中的c=1.8对应于奇异样本协方差矩阵Sn。在这里，我们应用第2.2节和第2.3节的结果，并采用摩尔-彭罗斯逆S+N代替S-1n。注意，我们不能使用支配估计量，因为它不适用于c>1。这一结果仍然给全球和地方政权留下深刻印象。

同样，建议的Bonafide最优收缩估计值收敛到其oracle。作为传统的估计量，我们采用了由Moore-Penrose逆+n构造的GMV投资组合。传统估计量具有快速增长的平均损失和最大的方差。对于c>1，这也是不可接受的估计值。相比之下，Bonafide最优收缩估计值的方差很小，即使c>1，也遵循稳定的行为。进一步分析了资产收益率不再服从正态分布时所考虑的估计量的行为。特别值得一提的是，研究文中导出的估计量的重尾影响有多大。因此，在我们的模拟研究中，接下来使用了具有5个自由度的t分布。最近，作者提到，在实践中，5个自由度似乎是一个合适的选择（见Venables和Ripley（2002））。图9和图10显示了自由度为5的t分布资产收益率的结果。比较研究的结构与正态分布数据的结构相同。一般而言，图9和图10中观察到的行为与正态分布中获得的行为没有显著差异。通常，最好的估计量是建议的收缩估计量。最优收缩率估计器在所有c∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. Itis指出，Bonafide最优收缩估计值对其预测值的收敛速度受到重尾的影响。建立了最优收缩估计量的一个类似的渐近相对损失行为，即平均相对损失是渐近常数且小于0.5。

传统估计在所有c和p上都具有最坏的行为。3.2谱无界的总体协方差矩阵在这一小节中，我们假设当p→ ∞. 因此，这里考虑∑nis的以下结构，即1/9的Igenvalue等于2，4/9等于5，（4/9p- 1） 等于10，最后一个特征值等于p。请注意，此结构对应于在资产回报上引入因子结构的情况。因子模型可以显著减少维度数量，从而使估计量不再受到“维度诅咒”的影响（参见Fan等人（2013））。图11至14显示了在协方差矩阵具有无界谱的情况下，本文考虑的估计器的行为。值得注意的是，结果与有界谱的协方差矩阵∑n的情况下得到的结果没有太大区别。唯一的区别是估计值的方差稍大。另一方面，BonanceBehavior以及BonanceBehavior最优收缩估计量对其Oracle的收敛速度不受总体协方差矩阵最大特征值的影响。这意味着，如果资产收益遵循因子模型，则建议的估计值仍然适用。更重要的是，在c>1的情况下，它也不会失去其效率。最后，我们注意到，出于兴趣，我们还模拟了有界和无界光谱的3自由度t分布。这种变化只影响收敛速度，而不影响优势行为。在我们的理论框架中，我们要求存在第四阶矩，但模拟研究表明，这一假设可以放宽，也可以通过假设来放宽。

因此，所提出的最佳收缩程序确保了许多重要实际情况下的效率，因此可以应用于许多实际情况。尽管如此，仍然需要进行经验回测，以便在真实数据集上检查GMV投资组合权重的衍生估计量的行为。下一节将完成此操作。4实证研究在本节中，我们将GMV投资组合（2.29）的拟议最优收缩估计值应用于真实数据，该数据包括2013年4月22日至2014年3月19日期间标准普尔500指数（Standard&Poor\'s500）所列417项资产的日收益率。它对应于T=230个交易日的水平线。标准普尔500指数以500家在纳斯达克上市的大型公司的市值为基础。在这项实证研究中，我们比较了（2.29）给出的GMV投资组合权重的导出最优收缩估计量与Frahm和Memmel（2010）提出的传统估计量和主导估计量的性能。该比较基于与DeMiguel等人（2009）提出的滚动窗口方法相似的程序。特别是，我们从所有417个投资组合中随机选取一个维度为p=54的投资组合，并估计长度n<T的给定激励窗口的投资组合权重。我们在下一步中重复这个滚动窗口过程，包括第二天的数据，并删除最后一天的数据，直到数据集结束。选择估计窗口n，使得浓度比c=p/n位于集合{0.5，0.9，1.5，2}中。为了比较估计量的性能，我们考虑了样本外方差和样本外夏普比。

设^wt为GMV投资组合的估值器，该估值器基于时间t上一次观察的窗口，并设rt+1为下一个时间段t+1的资产回报向量。然后，通过^σout=T计算样本外方差和样本外夏普比- n- 1吨-1Xt=n（^wtrt+1- ^ut）和CSR=^ut^σ- nT公司-1Xt=n^wtrt+1。（4.1）为了衡量统计显著性，我们随机抽取1000个不同的投资组合，并计算其样本外方差的e.c.d.函数和相应的样本外夏普比率。最佳策略的选择类似于随机优势原则，即选择e.c.d.f.随机支配其他策略的策略。然而，在样本外方差和样本外夏普比率的情况下，优势是不同的。对于样本外方差，最佳策略的e.c.d.f.应高于其他竞争对手的e.c.d.函数，即样本外方差值越大，概率越小。相比之下，基于样本外夏普比率的标准更倾向于whosee策略。c、 d.f.位于其他e.c.d.功能的下方。在这种情况下，使用相应估计量构建的GMV投资组合将具有最高的样本外夏普比率。图15和16显示了GMV投资组合三个估值器的样本外方差和样本外夏普比率的e.c.d.函数，即最优收缩估值器、传统估值器和Frahm和Memmel（2010）提出的主导估值器。因为，支配估计量只能在c<1的情况下构造，所以我们在c=1.5和c=2时放弃它。在所考虑的所有情况下，我们观察到最优收缩估计具有很好的性能。

对于这两个考虑的标准，它的性能超过了其他估计策略。在方差失控的情况下，相应的e.c.d.f.高于其他e.c.d.函数，而在样本外夏普比率的情况下，它低于其他竞争对手的e.c.d.函数。其次，我们对Frahm和Memmel（2010）的主导估计量进行了排名，这一排名始终优于传统估计量。全球最小方差投资组合在投资理论和实践中发挥着重要作用。该投资组合被广泛用作静态和动态最优投资组合问题的投资机会。虽然文献中有明确的GMV组合权重结构分析表达式，但GMV组合的估计似乎是一个非常具有挑战性的问题，尤其是对于高维数据。在本文中，我们通过推导一个可行且稳健的GMV投资组合权重估计量来解决这个问题，该估计量是在资产收益分布未预先规定且未施加市场结构的情况下得出的。我们为GMV组合构造了一个最优收缩估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。得到了收缩强度的解析表达式，它似乎是数据和资产收益分布参数的复杂函数。我们通过在高维渐近条件下确定收缩强度的无症状等效量来处理后一个问题。我们通过应用随机矩阵理论的最新结果，一致地估计该渐近等效函数。这是在对资产收益分配施加的非常弱的假设下实现的。也就是说，我们只要求存在四阶矩，而没有强加明确的分布假设。

此外，如果总体协方差矩阵的谱是有界或无界的，我们的发现在c<1和c>1两种情况下仍然有效。因此，建议的方法可以应用于厚尾分布资产收益率以及资产收益率，其中动态可以通过因子模型建模，这是金融和计量经济学文献中非常流行的方法。最后，利用模拟和真实数据，我们将GMV投资组合的最优收缩估计与现有的最优收缩估计进行了比较。理论发现以及蒙特卡罗模拟和实证研究的结果表明，当c>0.6时，GMV组合权重的建议估计量支配现有估计量。附录中给出了定理的证明。首先，我们指出，出于我们的目的，sn可以很好地近似为n=n∑nXn我-nXn∑n≈n∑nXnXn∑n，因为矩阵xn∑nXnXn∑nhas排名第一，因此，它不影响样本协方差矩阵频谱的渐近行为（见Bai和Silverstein（2010），定理A.44）。接下来，我们给出一个重要引理，它是Rubio和Mestre（2011）中定理1的特例。引理6.1。假设（A1）和（A2）。设一个非随机p×p维矩阵Θpposesss具有唯一有界的迹范数（奇异值之和），且设∑n=I。那么它认为tr公司Θp（序号- 邮政编码）-1.- （x（z）- z）-1tr（Θp）a、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ (0, +∞) 作为n→ ∞, （6.1）其中x（z）=1.- c+z+p（1- c+z）- 4z. （6.2）引理6.1的证明：定理1在Rubio和Mestre（2011）中的应用导致（6.1），其中x（z）是以下等式的唯一解1- x（z）x（z）=cx（z）- z、 （6.3）（6.3）的两个解由x1,2（z）给出=1.- c+z±p（1- c+z）- 4z. （6.4）为了确定两个解中哪一个是可行的，我们注意到x1,2（z）是具有正虚部的Stieltjes变换。

因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以取z=1+c+i2√c和getIm{x1,2（z）}=Im2+i2√c±i2√2c= Imn1+i√c（1±）√2） o=√c1 ±√, （6.5）仅当选择符号“+”时为正。因此，解由x（z）给出=1.- c+z+p（1- c+z）- 4z. （6.6）证明了引理6.1。Rubio和Mestre（2011）研究了泛函tr（Θ（Sn））的渐近性- zI）-1） 对于具有有限迹范数的确定性矩阵Θ。注意，Rubioand Mestre（2011）的定理1的结果在较弱的第四矩存在假设下也成立。该声明是通过使用Bai和Silverstein（2010）关于二次型的引理B.26获得的，我们引用该引理作为下面的引理6.2。引理6.2。[引理B.26，Bai和Silverstein（2010）]设A为p×p非随机矩阵，设X=（X，…，xp）为具有独立项的随机向量。假设E（xi）=0，E | xi |=1，E | xi | l≤ νl.那么，对于任何k≥ 1，E | XAX- tr（A）| k≤ Ck公司（νtr（AA））k+ν2ktr（AA）k, （6.7）其中，Ck是一个仅依赖于k的常数。为了在施加在力矩上的最弱阻尼下获得Rubio和Mestre（2011）定理1的陈述，在k的情况下，我们将Rubio和Mestre（2011）的引理2替换为引理6.2≥ 请注意，Rubio和Mestre（2011）的引理2适用于k>1，而引理6.2是一个更强的结果，因为它在k=1的情况下也适用。这就是Rubio和Mestre（2011）的引理3也适用于k的主要技巧≥ 1（而不是k>1）。Rubioand Mestre（2011）的引理4已经在存在4+ε矩的假设下得到了证明。最后一步是用k应用Rubio和Mestre（2011）的引理1、2和3≥ 最后，可以很容易地检查Rubio和Mestre（2011）定理1证明的进一步步骤是否在4+ε矩存在的情况下成立。