Ninomiya Victoir方案：强收敛、对偶版本和

，d}，E“\'Xj，ηt-(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#≤ C1+kxk2php和j∈ {0，d+1}，E“\'Xj，ηt-(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#≤ C1+kxk2ph2p，其中根据惯例'X-1，ηˇτt=(R)Xd+2，ηˇτt=XNV，ηˇτt。证明：设p≥ 1，t∈ [0，T]和j∈ {1，…，d}。由于提案2.4中的（2.17），我们有：E“\'Xj，ηt-(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#≤ C1+E“(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#!hp。自1+E“(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#=1{ηt=1}E“1+(R)Xj-1，ηˇτt2p级η#+1{ηt=-1} E“1+(R)Xj+1，ηˇτt2p级η#将此估计与引理2.5相结合，我们得到“\'Xj，ηt-(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p级η#≤ Cexp（Cˇτt）1+kxk2php（马力）≤ Cexp（CT）1+kxk2php。应用类似的论证，使用命题2.4中的（2.18），我们得到了'X0，η和'Xd+1，η的相同结果。我们通过设置C=Cexp（CT）得出结论。以下引理涉及方案XNV，η和中间过程Xj，η之间差异的估计∈ {0，…，d+1}。引理2.7p≥ 1.C∈ R*+, t型∈ [0，T]，N∈ N*, j∈ {0，…，d+1}，E“\'Xj，ηt-XNV，η^τt2p级η#≤ C1+kxk2php。证明：Let p≥ 1，t∈ [0，T]和j∈ {1，…，d+1}。利用伸缩求和和和凸性等式，我们得到\'Xj，ηt- XNV，η^τt2p级≤ （d+2）2p-1.\'Xj，ηt-(R)Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p+Xηtm<ηtj\'Xm，ηˇτt-(R)Xm-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xm+1，ηˇτt{ηt=-1}2p！。取条件期望，并使用引理2.6，我们得到“\'Xj，ηt- XNV，η^τt2p级η#≤ （d+2）2p-1（d+2Tp）C1+kxk2php=C1+kxk2pHPC=（d+2）2p-1（d+2Tp）C.2.3强收敛证明证明：设p∈ [1, +∞), t型∈ [0，T]和s∈ [0，t]。

从（1.1）中减去（2.12），我们可以评估精确解和模式之间的差异- XNV，ηs=Zs公司σ（Xu）- σ(R)X0，ηudu+Ztσ（Xu）- σ(R)Xd+1，ηu杜邦+dXj=1Zsσj（Xu）- σj（(R)Xj，ηu）dWju+dXj=1Zsσjσj（Xu）- σjσj(R)Xj，ηu杜。利用一个凸不等式并取上确界的条件期望，我们得到：E“sups≤t型Xs型- XNV，ηs2p级η#≤ （2（d+1））2p-1.dXj=1Ej+2pd+1Xj=0Ij（2.22）其中i=E“sups≤t型Zs公司σ（Xu）- σ(R)X0，ηu杜邦2p级η#，Id+1=E“sups≤t型Zs公司σ（Xu）- σ(R)Xd+1，ηu杜邦2p级η#，对于j∈ {1，…，d}Ej=E“sups≤t型Zs公司σj（Xu）- σj（(R)Xj，ηu）dWju2p级η#，Ij=E“sups≤t型Zs公司σjσj（Xu）- σjσj(R)Xj，ηu杜邦2p级η#.让我们关注Ejand Ij，对于j∈ {1，…，d}。W和η之间的独立性允许应用Burkholder-Davis-Gund y不等式来获得j≤ K E“Zt公司σj（Xu）- σj（(R)Xj，ηu）杜邦pη#≤ KTp公司-1中兴通讯“σj（Xu）- σj（(R)Xj，ηu）2p级η#du，其中K是Burkholder-Davis-Gund y不等式中出现的常数。Lipschitz假设≤ KTp公司-1L2中兴通讯“徐-(R)Xj，ηu2p级η#du。（2.23）应用一个凸性不等式，我们得到≤ T2p型-1中兴通讯“σjσj（Xs）- σjσj(R)Xj，ηs2p级η#ds。同样，根据Lipschitz假设，我们也得到了≤ T2p型-1L2中兴通讯“徐-(R)Xj，ηu2p级η#du。（2.24）使用相同的方法，我们得到了与Iand Id+1类似的结果。结合（2.23）和（2.23）以及（2.22），我们得到了“SUP”≤t型徐- XNV，ηu2p级η#≤ αd+1Xj=0ZtE“徐-(R)Xj，ηu2p级η#du（2.25），其中α=（2（d+1））2p-1L2pKTp公司-1+T2p-12便士. 现在，我们看看徐-\'Xj，ηu. 让j∈{0，…，d+1}和u∈ [0，t]。

引入解X和Ninomiya Victoir s chemeXNV，η在时间^τu，并使用凸性不等式，我们得到“徐-(R)Xj，ηu2p级η#≤ 32便士-1E“kXu- X^τuk2p+X^τu- XNV，η^τu2p级+XNV，η^τu-(R)Xj，ηu2p级η#.然后，使用命题2.4E“kXu”中的估计（2.17- X^τuk2pη#≤ C1+kxk2p（u）- ^τu）p≤ C1+kxk2p来自Lemma2.7E的hpand“(R)Xj，ηu-XNV，η^τu2p级η#≤ C1+kxk2php。MoreoverE“X^τu- XNV，η^τu2p级η#≤ E“supv≤u十五- XNV，ηv2p级η#.我们最终得到了“支持”≤t型Xs型- XNV，ηs2p级η#≤ β中兴通讯“supv≤u十五- XNV，ηv2p级η#du+γ1+kxk2php，（2.26），其中β=32p-1（d+2）α和γ=βT（C+C）。在应用Gr-onwall引理之前，让我们通过（2.25），（2.16）和引理2.5来说明，Esups公司≤t型Xs型-XNV，ηs2p级是有限的。感谢Gronwall的lemmaE“支持”≤TXt公司- XNV，ηt2p级η#≤ exp（βT）γ1+kxk2php。我们用一个引理来结束这一节，它将对下一节有用。引理2.8 Let F∈ C（Rn，Rn），并假设其一阶和二阶导数具有多项式增长。在定理2.3的假设下，我们得到以下结果：p∈ [1, +∞), C∈ R*+, j∈ {0，…，d+1}，N∈ N*,E“支持≤TZtF公司(R)Xj，ηs- FXNV，η^τsds公司2p级η#≤ Ch2p。证明：Let j∈ {0，…，d+1}，i∈ {1，…，n}，和t∈ [0，T]。使用partsformulaZt集成金融机构(R)Xj，ηs- 金融机构XNV，η^τsdu=Zt（t∧ ˇτs-s） d金融机构(R)Xj，ηs+ZˇτtXηsm<ηsj（ˇτs- s） d金融机构\'Xm，ηs.然后，使用m的链式规则∈ {0，d+1}，我们得到了金融机构\'Xm，ηs=σ\'Xm，ηs. 金融机构\'Xm，ηsds。应用It^o公式计算m∈ {1，…，d}，我们得到金融机构\'Xm，ηs=σmσm\'Xm，ηs. 金融机构\'Xm，ηs+tr公司σm（σm）*\'Xm，ηs金融机构\'Xm，ηsds+σm\'Xm，ηs. 金融机构\'Xm，ηsdWms。在这两种情况下，结合凸性不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、theHolder不等式、关于σm的Lipschitz假设，σmσm或m∈ {0, . . .

，d}，F和t的一阶和二阶导数的多项式增长假设∧ˇτs-s≤ h、，s∈ [0，ˇτt]，我们得到两个常数γ∈ R*+和q∈ N*, 独立于N，因此e“supt≤TZtFi公司(R)Xj，ηs- 金融机构XNV，η^τsds公司2p级η#≤ γh2pd+1Xm=0ZTE“1+\'Xm，ηs第2季度η#ds。最后，我们使用Lemma2.5并采用欧几里德范数。3结合Giles Szpruch方案[6]，Giles和Szpruch提出了一个修改后的Milstein方案，定义如下XGStk+1=XGStk+bXGStk公司（油箱+1- tk）+dXj=1σjXGStk公司Wjtk+1+dXj，m=1σjσmXGStk公司Wjtk+1Wmtk+1- 1{j=m}hXGSt=x.（3.1）与Milstein方案相比，涉及列维的条款为ztk+1tkWjsdWms-Ztk+1tkWMSDWJS已被删除。根据文献[6]中的引理4.2，强收敛阶为γ=1/2。引理3.1假设b，σj∈ C（Rn，Rn），j∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：CGS公司∈ R*+, N∈ R*+, E最大值（maxk）∈{0，…，N}Xtk公司- XGStk公司2p级≤ CGShp。（3.2）Giles和d Szpruch还提出了一个相反版本的方案，该方案基于交换方案中每一对连续的布朗增量。关于多层蒙特卡罗估计量，Giles和Szpruch使用方案（3.1）的算术平均值及其在细网格上的对偶版本，在每个水平l∈ {1，…，L}如下^Y=MMXk=1fX1,0，kT+LXl=1MlMlXk=1fXl、l、kT+ fXl、l、kT- fXl码-1，l，kT.交换每一对连续的布朗增量可在粗网格和细网格上使用的方案之间提供1阶的强收敛性，因此Giles和Szpruch获得了方差V的收敛速度β=2fXl、l、kT+ fXl、l、kT-fXl码-1，l，kT,当支付顺利时。

通过这种方式，使用这种多级蒙特卡罗估计器会导致计算复杂性-2.对于均方根误差。为了在每个层次上使用Ninomiya Victoirscheme或仅在多层蒙特卡罗估计量的最高层使用Ninomiya Victoirscheme，我们在本节中研究了Ninomiya Victoir和Giles Szpruch方案之间的耦合。为了保持β=2，我们建议将Giles Szpruch方案与以下修改后的Ninomiya Victoir方案'XNV，η进行比较=XNV，η+XNV，-η. （3.3）为了与Ninomiya Victoir方案的插值保持一致，我们将网格点之间的方案插值定义为xgst=x+ZsbXGS^τudu+dXj=1ZsσjXGS^τudWju+dXj=1ZsσjσjXGS^τuWjudWju+dXj，m=1m6=jZsσjσmXGS^τuWmˇτudWju。（3.4）定理3.2我们假设b∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn；Rn）和σj∈ C（Rn；Rn），j∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数以及多项式增长的三阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：C∈ R*+, N∈ N*, E“支持≤T(R)XNV，ηt- XGSt公司2p级η#≤ Ch2p。证明：我们用L表示b的公共Lipschitz常数，σjandσjσm，j、 m级∈ {1，…，d}。我们还用M表示b和σj的第一和第二导数的全局界，j∈ {1，…，d}。让t∈ [0，T]和s∈ [0，t]。

将“XNV，η”写成积分形式，我们得到“XNV，ηs=x+dXj=1Zs”σj(R)Xj，ηu+ σj(R)Xj，-ηsdWju+dXj=1Zsσjσj(R)Xj，ηu+ σjσj(R)Xj，-ηudu+Zsσ(R)X0，ηu+ σ(R)X0，-ηudu+Zsσ(R)Xd+1，ηu+ σ(R)Xd+1，-ηu杜。然后使用B-民主党=1σjσj-σ=0，我们得到？XNV，ηs=x+dXj=1ZsσjXNV，η^τu+ σjXNV，-η^τudWju+ZsbXNV，η^τu+ bXNV，-η^τudu+dXj=1Zsσj(R)Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj(R)Xj，-ηu- σjXNV，-η^τudWju+dXj=1Zsσjσj(R)Xj，ηu- σjσjXNV，η^τu+ σjσj(R)Xj，-ηu- σjσjXNV，-η^τudu+Zsσ(R)X0，ηu- σXNV，η^τu+ σ(R)X0，-ηu- σXNV，-η^τudu+Zsσ(R)Xd+1，ηu- σXNV，η^τu+ σ(R)Xd+1，-ηu- σXNV，-η^τu杜。减去（3.4）并使用凸性不等式，我们得到了“sups”≤t型(R)XNV，ηs- XGSs公司2p级η#≤ 32便士-1（d+1）2p-1.dXj=1Ij+dXj=0Ej+d+1Xj=0Rj（3.5）其中E=E“sups≤t型Zs公司bXNV，η^τu+ bXNV，-η^τu- bXGS^τu杜邦2p级η#，R=E“sups≤t型Zs公司σ(R)X0，ηu- σXNV，η^τu+ σ(R)X0，-ηu- σXNV，-η^τu杜邦2p级η#，Rd+1=E“sups≤t型Zs公司σ(R)Xd+1，ηu- σXNV，η^τu+ σ(R)Xd+1，-ηu- σXNV，-η^τu杜邦2p级η#，对于j∈ {1，…，d}，Ij=E“sups≤t型Zs公司σj(R)Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj(R)Xj，-ηu- σjXNV，-η^τudWju-Zs公司σjσjXGS^τuWju+dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu！dWju2p级η#，Ej=E“sups≤t型Zs公司σjXNV，η^τu+ σjXNV，-η^τu- σjXGS^τudWju2p级η#，Rj=E“sups≤t型Zs公司σjσj(R)Xj，ηu- σjσjXNV，η^τu+ σjσj(R)Xj，-ηu- σjσjXNV，-η^τu杜邦2p级η#.步骤1：估计Ej，对于j∈ {0，…，d}。让我们从Ej、f或j的估计开始∈ {0，…，d}。我们为j设置F=b和Fj=σjj∈ {1，…，d}。结合Burkholder-Davis-Gundy不等式和凸性不等式，我们得到≤ 最大值T2p型-1，KTp-1.中兴通讯“Fj公司XNV，η^τu+ Fj公司XNV，-η^τu- Fj公司XGS^τu2p级η#duk，其中K是Burkholder-Davis-Gundy不等式中出现的常数。对于i∈{1, . . .

，n}，表示Yu=金融情报机构XNV，η^τu+ 金融情报机构XNV，-η^τu- 金融情报机构XGS^τu并进行二阶泰勒级数展开，得到Yu=Fij(R)XNV，η^τu- 金融情报机构XGS^τu+XNV，η^τu- XNV，-η^τu*金融情报机构ξ^τu+ 金融情报机构ξ^τuXNV，η^τu- XNV，-η^τu其中ξ^τuan和ξ^τuare点位于XNV、η^τuan和XNV之间，-η^τu.那么，我们很容易得到Kyuk2p≤ α(R)XNV，η^τu-XGS^τu2p级+XNV，η^τu- XNV，-η^τu4p其中α=22p-1.L2p公司+M2p级. 图塞吉≤ αmaxT2p型-1，KTp-1.中兴通讯“supv≤u(R)XNV，ηv-XGSv公司2p级η#du+中兴通讯”XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#du！。在时间^τu处引入解X，并使用凸性不等式，我们得到“XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#≤ 24便士-1E“XNV，η^τu-X^τu4pη#+E“X^τu- XNV，-η^τu4pη#!.多亏了定理2.3，我们推断出XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#≤ 24pCNV1+kxk4ph2p。接下来就是EJ≤ β中兴通讯“supv≤u(R)XNV，ηv- XGSv公司2p级η#du+h2p！（3.6）其中β=αmaxT2p型-1，KTp-1.maxn1，24pCNV1+kxk4po、 步骤2：估算Rj，对于j∈ {0，…，d}。关于Rj的估计，对于j∈ {0，…，d}，从引理2.8我们得到一个常数β∈ R*+,这样的话RJ≤ βh2p。（3.7）步骤3：估算Ij，对于j∈ {1，…，d}。仍需估计Ij，对于j∈ {1，…，d}。利用Burkholder-Davis-Gundy和凸性等式，我们得到≤2pKTp-1中兴通讯“σj(R)Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj(R)Xj，-ηu- σjXNV，-η^τu- 2.σjσjXGS^τuWju公司-dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu2p级η#ds。引入ψju=ψj，ηu+ψj，-ηu其中ψj，ηu=σj(R)Xj，ηu- σjXNV，η^τu- σjσjXNV，η^τuWju公司-Xηum<ηujσjσmXNV，η^τuWmˇτu（3.8）和Φju=σjσjXNV，η^τuWju+σjσjXNV，-η^τuWju公司- 2.σjσjXGS^τuWju+Xηum<ηujσjσmXNV，η^τuWmˇτu+Xηum>ηujσjσmXNV，-η^τuWmˇτu-dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu（3.9）我们得到≤KTp公司-1中兴通讯“ψju2p级+Φju2p级η#du！。步骤3.1：估计E“ψju2p级η#，对于j∈ {1, . . .

，d}。应用（3.8）中的It^o公式计算σj(R)Xj，ηu- σjXNV，η^τu, 我们得到ψj，ηu=Zu^τuσjσj(R)Xj，ηv- σjσjXNV，η^τvdWjv+Xηum<ηujZˇτu^τuσjσm\'Xm，ηv- σjσmXNV，η^τvdWmv+Zu^τuFj，jσj(R)Xj，ηvdv+Xηum<ηujZˇτu^τuFj，mσm\'Xm，ηvDV，其中Fj，m=σjσmfor j，m∈ {1，…，d}。注意，termPηum<ηujZˇτu^τuFj，mσm\'Xm，ηvDv等于漂移贡献和因动态Xm，η引起的It^o校正之和。σjand Lemm a2.5的假设，确保oj、 m级∈ {1，…，d}，σjσmis-Lipschitz连续j、 m级∈ {1，…，d}，Fj，mσm\'Xm，ηv具有一致有界力矩。利用引理2.7、Burkholder-Davis-Gundy和一个凸性不等式，我们得到了一个常数γ∈ R*+因此，E“ψj，ηu2p级η#≤ γh2p。显然，对于ψj，我们有相同的不等式，-η.步骤3.2：估计E“Φju2p级η#，对于j∈ {1，…，d}。根据Lipschitz假设Φju2p级≤ （d+1）2p-1L2pXNV，η^τu- XGS^τu2p级Wju公司2p级+XNV，-η^τu- XGS^τu2p级Wju公司2p+Xηum<ηujXNV，η^τu-XGS^τu2p级Wmˇτu2p+Xηum>ηujXNV，-η^τu- XGS^τu2p级Wmˇτu2p！。（3.10）独立人士“XNV，η^τu- XGS^τu2p级Wmˇτu2p级η#=E“XNV，η^τu- XGS^τu2p级η#EhWmˇτu2pi≤ 22便士-1EhWmˇτu2页“XNV，η^τu- X^τu2p级η#+E“X^τu- XGS^τu2p级η#!.然后，利用g定理2.3和引理3.1，我们得到“XNV，η^τu- XGS^τu2p级Wmˇτu2p级η#≤ 22pEh | G | 2piCNV公司1+kxk2p+ CGS公司H2P其中G是一个范数al随机变量。使用相同的方法，我们对（3.10）右侧的中的其他项得到了相同的结果。

因此，我们推断存在一个常数α∈ R*+以便：E“Φju2p级η#≤ αh2p。结合不同的不等式，我们得到≤ βh2p（3.11），其中β=KTpα+22pγ.第4步：结论最后，通过结合（3.6）、（3.7）、（3.11）和（3.5），我们使用Gronwall的lemmaE“supt”完成了p屋顶≤T(R)XNVt-XGSt公司2p级η#≤ CH2P，其中C=32p-1（d+1）2p-1（dβ+（d+1）β+（d+2）β）实验2p级-1（d+1）2p-1dβT.4 SDE的多层次方法在本节中，我们感兴趣的是通过蒙特卡罗方法计算期望y=E[f（XT）]，wher E X=（XT）t∈[0，T]是随机微分方程（1.1）的解，f:Rn7→ R给定的函数，使得Ehf（XT）是有限的。我们将重点关注在给定目标误差下最小化计算复杂性。为了测量anestimator^Y的准确性，我们将考虑均方根误差RMSE^Y，Y= EY-^Y.4.1多水平蒙特卡洛法Giles在[5]中介绍的多水平蒙特卡洛法包括结合多水平离散化，例如使用时间步长hl=T/2l的几何序列。用XNa数值格式表示，采用时间步长T/N，该技术的主要思想是使用以下望远镜求和来控制偏置HFXLT公司i=EfXT公司+LXl=1EhfXlT公司- fXl码-1吨i、 然后，建立了广义多级蒙特卡罗估计量，如下所示：YMLMC=LXl=0MlMlXk=1Zlk（4.1），其中Zlk公司0≤l≤五十、 1个≤k≤M为相依随机变量，对于给定的离散化水平l∈ {0，…，L}，序列Zlk公司1.≤k≤MLI分布均匀且令人满意Z= EfXT公司（4.2）和l∈ {1，…，L}，EhZli=EhfXlT公司- fXl码-1吨i、 （4.3）假设，f或给定的离散化水平l∈ {0, . . .

，L}，模拟一个样本的计算成本为Cλll，其中C∈ R+是一个常数，仅取决于离散化模式和λl∈ Q*+是一个权重，仅取决于l。由CMLMC表示的^YMLMC的计算复杂性由CMLMC=CLXl=0Mlλll给出。（4.4）Zl、l的自然选择∈ [5]中考虑的{0，…，L}isZ=fXT公司（4.5）Zl=fXlT公司- fXl码-1吨, l∈ {1，…，L}。（4.6）对于这个规范选择，取λ=1和λl=3/2是很自然的，l∈ {1，…，L}。根据[5]中的OREM 3.1，最佳复杂度C*MLMC依赖于格式弱收敛的阶数erα和Zl方差收敛到0的阶数β。这里，我们回顾一下这个复杂性定理。定理4.1假设EHFXlT公司我- Y=cαl+oαl（4.7）andVZl公司=cβl+oβl（4.8）对于某些常数c∈ R*和c∈ R*+独立于l。然后，通过选择：l*=日志√2 | c | 491;α（4.9）和l∈ {0，…，L*}, M*l=sV（Zl）λllL*Xj=0qλjjV（Zj）（4.10）我们得到了最佳计算复杂度：C*MLMC=O-2.如果β>1C*MLMC=O-2.日志!如果β=1C*MLMC=O-2+β-1α如果β<1（4.11），RMSE^YMLMC，Y以为界。要获得估计值（4.8），关键是Xland Xl的模拟-1来自同一布朗路径。我们很容易使用数值格式的强收敛速度γ从下面限制方差收敛速度，因为通常β≥ 2γ用于平滑支付。为了得到γ=1，在e上，通常需要模拟涉及所有区域的迭代Br ownian积分，对于这一点，没有已知的有效方法。为了解决这一难题，Giles和Szpruch引入了一个Milstein方案，该方案具有ou t L'evy区域，并通过交换布朗增量来实现其对立版本。