为了完成水平描述,我们将α=0和αN+1设置为1。我们定义了αjat时间t水平的违规或例外指标,j:=I{Lt>VaRαj,t}(2.2),其中,IAdenotes是事件A的事件指标。众所周知(Christo Offersen,1998),如果损失l具有条件分布函数ftn,则对于固定j,序列(It,j)t=1,。。。,n应满足:o无条件覆盖假设,E(It,j)=1- αjfor all t,ando独立性假设,It,jis独立于Is,jfor s 6=t。如果两者都满足αjare水平的VaR预测,则表示满足正确条件覆盖率假设和例外数pnt=1It,则j为二项分布,成功(例外)概率为1- αj.在N个水平上同时检验VaR估计会导致多项式分布。如果我们定义Xt=PNj=1It,则当序列(Xt)t=1,。。。,n计算违反的VaR级别数。序列(Xt)应满足两个条件:o无条件覆盖假设,P(Xt≤ j) =αj+1,j=0,N对于所有t,独立性假设,对于s 6=t,Xtis独立于xs。无条件覆盖属性也可以写入xt~ MN(1,(α- α, . . . , αN+1- αN)),对于所有t。这里MN(N,(p,…,pN))表示具有N个试验的多项式分布,根据概率p,…,每个试验可能导致N+1结果{0,1,…,N}中的一个,pn那总和等于一。如果我们现在确定观察到的细胞计数byOj=nXt=1I{Xt=j},j=0,1,N、 那么随机向量(O,…,ON)应该遵循多项式分布(O,…,ON)~ MN(n,(α- α, . . . , αN+1- αN))。更正式地说,假设0=θ<θ<····<θN<θN+1=1是一个任意的参数序列,并考虑模型,其中(O,…,ON)~ MN(n,(θ-θ, . . . , θN+1-θN))。我们测试了由H0:θj=αj对于j=1。
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