具有循环传染风险的动态投资组合优化

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英文标题：
《Dynamic Portfolio Optimization with Looping Contagion Risk》
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作者：
Longjie Jia, Martijn Pistorius, Harry Zheng
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we consider a utility maximization problem with defaultable stocks and looping contagion risk. We assume that the default intensity of one company depends on the stock prices of itself and other companies, and the default of the company induces immediate drops in the stock prices of the surviving companies. We prove that the value function is the unique viscosity solution of the HJB equation. We also perform some numerical tests to compare and analyse the statistical distributions of the terminal wealth of log utility and power utility based on two strategies, one using the full information of intensity process and the other a proxy constant intensity process.
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中文摘要：
本文研究了一类具有可违约股票和循环传染风险的效用最大化问题。我们假设一家公司的违约强度取决于其自身和其他公司的股价，而该公司的违约会导致幸存公司的股价立即下跌。证明了该值函数是HJB方程的唯一粘性解。我们还进行了一些数值试验，比较和分析了基于两种策略的对数效用和幂效用的最终财富的统计分布，一种是利用强度过程的全部信息，另一种是代理常数强度过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：投资组合优化 投资组合 Mathematical Optimization maximization

具有循环传染风险的动态投资组合优化*Martijn Pistorius+Harry ZhengAbstract在本文中，我们考虑了一个具有可违约股票和循环传染风险的效用最大化问题。我们假设一家公司的违约强度取决于其自身和其他公司的股价，而该公司的违约会导致幸存公司的股价立即下跌。证明了该值函数是HJB方程的唯一粘度解。我们还进行了一些数值试验，比较和分析了基于两种策略的对数效用和幂效用的最终财富的统计分布，一种是利用强度过程的全部信息，另一种是proxyconstant强度过程。关键词：动态投资组合优化，循环传染风险，HJB方程，粘性解，稳健性测试，统计比较。AMS MSC2010:93E20，90C391简介在动态投资组合优化和信用风险建模方面，无论是在理论上还是在应用上都进行了广泛的研究（见Pham（2009），Brigo和Morini（2013），以及其中的参考文献）。信用风险下的效用最大化是一个重要的研究领域，其目的是在标的证券或名称可能违约的情况下寻找最优价值和最优控制。早期的研究包括Korn和Kraft（2003）采用企业价值结构法，Hou和Jin（2002）采用简化形式强度法。违约是由外部风险因素造成的，如相关的布朗运动、Ornstein-Uhlenbeck或IR强度过程。Bo等人。

（2010）考虑一个具有alog效用的有限期投资组合优化问题，并假设违约风险溢价和违约强度都取决于一个外部因素，然后经过一个差异化过程，并表明违约前价值函数可以简化为一个aquasilinear抛物型偏微分方程（偏微分方程）的解。Capponi和Figueroa Lopez（2011）假设马尔科夫政权转换模型，推导出可违约债券的动力学，并证明了一个验证定理，并将其应用于测井和电力设施。Callegaro等人（2012年）考虑了一个财富分配问题，该问题涉及多个可违约资产，其动态取决于部分观察到的外部因素过程。传染风险或内生风险已成为人们关注的一个主要话题，因为很明显，使用协方差矩阵的传统资产相关性建模无法捕捉突然的市场协同运动。一家公司的倒闭将直接影响其他关联公司的业绩。例如，在2007-2008年全球金融危机期间，雷曼兄弟的违约导致其他投资银行的股价和道琼斯美国金融指数等股票指数大幅下跌。由于违约是罕见的事件，人们可能不得不依赖其他公司的市场信息或指数来推断一家特定公司的违约概率。例如，人们经常可以在金融市场数据中观察到，一家公司的股价与另一家公司的CDS（信用违约掉期）利差（违约概率的代表）呈负相关。一种常用的传染风险模型是互动强度模型（见Jarrow和Yu（2001）），其中，当一个名字的默认强度在一本手册中出现其他名字的默认强度时，该模型就会跳变。

传染风险对组合信贷衍生品的定价和对冲有很大影响（见Gu et al.（2013））。关于具有传染风险的动态投资组合优化的文献研究有限。Jiao和Pham（2011）考虑了一个金融市场，其中一只股票在违约时间跳下*英国伦敦SW7 2AZ帝国理工学院数学系（隆杰。jia13@imperial.ac.uk)+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ（m。pistorius@imperial.ac.uk)对应作者。英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ（h。zheng@imperial.ac.uk)未交易且不受股票影响的交易对手，对于电力公司，通过凸对偶方法解决违约后问题，并显示违约前价值函数满足BSDE（倒向随机微分方程）定义的过程。焦和Pham（2013）讨论了具有指数效用的aportfolio的多重违约，并证明了以BSDE系统为特征的值函数的验证定理。Bo和Capponi（2016）认为市场由无风险银行账户、股票指数和一组CDS组成。一个名字的违约可能会导致投资组合中其他名字的违约强度激增，进而导致参考幸存名字的CDS的市场估值激增，并影响最佳交易策略。他们用DPP（动态规划原理）解决问题，对于电力公司，发现股票指数上的最佳交易策略是默顿策略，而CDS上的交易策略可以通过递归常微分方程（普通微分方程）系统确定。Capponi和Frei（2017）引入了一种股票信贷组合，其市场由无风险银行账户、可违约股票和引用这些股票的CDS组成。

公司违约强度是股价和一些外部因素的函数，它提供了一个真正的循环传染违约结构。对于对数效用投资者，存在一个明确的最优策略，这在很大程度上取决于投资组合中是否存在CDS，详情请参见备注3.2。本文分析了市场和信用风险的相互作用及其对动态投资组合优化的影响。假设市场有一个无风险储蓄账户和多个可违约股票，其中标的公司可能违约，违约股票价格的价值为零。任何股票的defaulttime是由依赖于所有存续股票价格的强度过程驱动的纯跳跃过程的第一个跳跃时间，并且存续股票价格在违约时跳跃。这种结构的特点是，投资于多个相互密切依赖的股票，无论是内源还是外源。与文献中的外生因子模型相比，循环传染模型强烈依赖于因子参数的历史校准，它能够根据投资组合中的当前股票价格自动调整交易策略。在这个循环传染框架下，我们研究了具有广义效用函数的终端财富效用最大化问题。Bo和Capponi（2016）以及Capponi和Frei（2017）的上述论文将价值函数描述为HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的解，并分别针对功率和对数效用，用一些隐式未知函数找到最优交易策略。对于一般实用程序，基本上不可能猜测HJB方程的解形式，也不可能应用验证定理。在这种情况下，研究值函数的标准方法是粘度溶液法。

除验证定理外，我们还证明了值函数是HJBequation的唯一粘度解。这一结果很重要，因为它为数值格式找到值函数奠定了坚实的理论基础，而验证定理要求先验地存在HJB方程的经典解，这通常很难证明。据我们所知，这是首次在具有循环传染风险的效用最大化文献中研究并建立了值函数的粘度解性质。这是本文的主要贡献之一。基于两种交易策略，一种使用强度过程的全部信息，另一种使用代理恒定强度过程，我们进行了一些数值和稳健测试，以比较对数效用和电力效用的终端财富的统计分布。这两种策略可以分别被视为主动和被动的组合投资。数值例子表明，从统计上看，它们具有相似的最终财富分布，但积极的组合投资通常更具波动性。此外，我们还通过一个类似的数值测试，说明了循环传染模型的财务洞察力，但初始股价不同。数值测试假设恒定强度是根据历史校准窗口估计的，但在投资开始时，股价会大幅下跌。数值例子表明，基于股票依赖强度策略的终端财富比使用恒定强度策略的终端财富具有更高的预期回报率和标准差。

因此，如果在金融危机期间使用依赖于股票的违约强度信息，可以极大地提高投资绩效。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了市场模型并陈述了主要结果，包括单侧传染情况下值函数的连续性（定理2.5）、验证定理（定理2.7）以及值函数的唯一粘性解性质（定理2.10和2.14）。在第3节中，我们使用对数和功率效用的统计分布分析进行了数值和稳健测试。在第4节中，我们证明了定理2.5、2.7、2.10和2.14。第5节总结了本文。2模型设置和主要结果let(Ohm, G、 （Gt）t≥0，P）是满足通常条件的完全概率空间，且（Gt）t≥0a过滤如下所述。让市场由一个无风险的银行账户组成，该账户具有价值流程（Bt）t≥0和利率以及N个具有价格过程（St）t的可违约股票≥0：=（St，…，SNt）Tt≥0，其中aTis是向量的转置。Let（Ft）t≥0be由N个相关布朗运动（Wt）t生成的过滤≥0：=（Wt，…，WNt）Tt≥0，表示市场信息。设τ：=（τ，…，τN）为非负随机变量向量，表示每个可违约股票的违约时间，由τi：=inf定义s≥ t:Zsthiudu≥ xi,where（hit）t≥0是强度-速率过程，xi是概率空间上的标准指数变量(Ohm, G、 P）且独立于过滤（Ft）t≥0，这意味着τiis是一个完全无法访问的停止时间。对于i 6=j，我们进一步假设xi独立于xjj。

在此假设下，每只股票的违约是独立的。Let（Ht）t≥0是默认指标流程（Ht）生成的过滤≥0：=（Ht，…，HNt）Tt≥0其中每个默认进程hit都与强度进程（hit）t关联≥0按命中定义：=I{τI≤t} ，如果τi>t，则指示函数等于0，否则为1。用z表示指示剂过程的值，因此z∈ I：={0，1}N。指示符进程ht只能从z：=（z，…zN）跳到其相邻状态zi：=（z，…，1-zi。。。，zN）倍率（1- zi）hitfor i∈ {1，…，N}。当Ht=z时，我们表示NZ为存活股票数，IZ为存活股票数集。最后，让（Gt）t≥0为放大过滤，由Gt=Ft定义∨ Ht，其中包含市场信息和默认信息。以上述方式定义的停止时间τ满足所谓的假设，这意味着任何F-平方可积鞅也是G-平方可积鞅（seeBielecki和Rutkowski（2003）），我们将在后面的证明中使用该性质。市场模型由以下随机微分方程（SDE）驱动：dSitSit-= uidt+σidWit- LTidHt，dBtBt=rdt，对于整数i∈ {1，…，N}其中uiS分别是Si的增长率，σiS是波动率。向量Li：=（Li1，…，LiN）t表示每个股票对第i个股票的默认影响，因此Lii=1。所有系数都是正常数，以简化讨论。我们假设股票违约不会同时发生。在默认时间τ，当i 6=j时，可违约股票价格应降至零，其他股票价格应减少Lji的一个百分比。对于i 6=j，我们要求Lii=1且Lij<1。Lji<1确保其他股票价格sj在默认时间τi不会降至零。我们用K表示一个通用常数，该常数在不同的位置可能有不同的值。假设2.1。

强度过程（hit）t≥默认指示器进程（Hit）的0 t≥0可以用HIT=h（Szt）表示-, z） ，生存股价的函数Szt-:= （坐下-)我∈I和默认指示器进程的状态HT-= z、 为简单起见，我们表示h（Szt-, z） 由hiz（St-). 我们进一步假设在Szt中hizis有界且连续-对于z∈ 我和我∈ {1，…，N}。为了对循环传染模型进行分类，我们给出了两个例子，其中市场上只包含两支股票，用（St）t表示≥0和（Pt）t≥0.示例2.1。（单侧传染）在这种情况下，（St）t≥0表示DJ美国金融指数和（Pt）t上ETF（交易所买卖基金）的价格≥0表示美国投资银行的价格。我们可以将ETF视为无违约基金，其股票价格反映了整个美国银行业，因此对个别银行的业绩有影响。然后由DSTST给出模型-= uSdt+σSdWSt- LSdHt、dPtPt-= uPdt+σPdWPt- dHt，其中uSandu分别表示S和P的增长率，σSandσ表示波动率，LS<1表示股票P违约时股票S的损失百分比。在默认时间τ，默认股票价格pFall为零，股票价格S减少了LS的百分比。强度过程（ht）t≥默认指示器进程（Ht）的0≥0可用ht=h（St）表示-, Pt公司-).示例2.2。（循环传染）在这种情况下≥0和（Pt）t≥0表示单个股票的价格。然后由DSTST给出模型-= uSdt+σSdWSt- dHSt公司- LSdHPt、dPtPt-= uPdt+σPdWPt- LPdHSt公司- dHPt。在S（resp.P）的默认时间，股价S（resp.P）降至零，股价P（resp.S）减少LP（resp.LS）的百分比。默认指示器过程（HSt）t的强度过程hS（0,0）（t）（分别为hP（0,0）（t））≥0（分别为HPt）t≥0）可表示为hS（0,0）（t）=hS（0,0）（St-, Pt公司-) （分别为。

hP（0,0）（t）=hP（0,0）（St-, Pt公司-)).在S（resp.P）缺省值之后，缺省指示剂过程（HPt）t的强度过程hP（1,0）（t）（resp.hS（0,1）（t））≥0（分别为HSt）t≥0）可表示为hP（1,0）（t）=hP（1,0）（Pt-) （分别为hS（0,1）（t）=hS（0,1）（St-)).投资者动态分配比例（π，…，πN，1-PNi=总财富的1πi）存入股票和银行账户。容许控制集A是相对于过滤（Gt）和πt可渐进测量的控制过程集π∈ A代表所有t∈ [0，T]。集合A由A定义：=（π∈ O和1-NXi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}），其中O是RNand中的有界集Ais是一个正常数。财富过程动力学≥0由DXTXT给定-=r+πTtDtθdt+πTtDtσdWt- πTt-DtLdHt，（2.1），其中DT：=1.- Ht。0.........0 . . . 1.- HNt公司, θ :=u- ruN- r, σ :=σ. . . 0.........0 . . . σN, L：=LL1N。。。。。。。。。LN1。LNN公司.矩阵值过程（Dt）t≥0适用于过滤（Ht）t≥0并起到删除默认库存的作用。即使容许控制集在默认时间τi之后仍然是A，πit=0，并且不是变量，而是常数。要求1-PNi=1Lijπi≥ Afor公司j∈ {1，…，N}确保当jthstock违约时，财富损失的最大百分比不超过1- A、 换句话说，如果x是违约前的财富，那么违约后的财富至少是Ax。备注2.2。对于给定的控制过程π∈ A、 方程（2.1）允许一个唯一的强解满足∈[0，T]E[XαT]≤ Kxα（2.2），对于任何α>0。这可以很容易地验证为Xαt=XαNtMt，其中：=expαZtr+πTuDuθdu+（α- α） ZtπTuDu∑Duπudu+αNXj=1Ztln1-NXi=1Lijπiu-!dHju公司,Mt：=经验ZtαπTuDuσdWu-αZtπTuDu∑Duπudu,Σ :=(σ)ρσσ. . . ρ1NσσN。。。。。。。。。。。。ρN1σNρN2σN。（σN）,πu：=（πu。