非线性市场中美式期权的无套利定价

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英文标题：
《Arbitrage-free pricing of American options in nonlinear markets》
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作者：
Edward Kim, Tianyang Nie, Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2018) who studied American and game options in a particular market model using the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). In the first part, we provide a detailed study of unilateral valuation problems for the two counterparties in an American-style contract within the framework of a general nonlinear market. We extend results from Bielecki and Rutkowski (2015) and Bielecki, Cialenco and Rutkowski (2018) who examined the case of a European-style contract. In the second part, we present a BSDE approach, which is used to establish more explicit pricing, hedging and exercising results when solutions to reflected BSDEs have additional desirable properties.
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中文摘要：
我们重新审查并扩展了Dumitrescu、Quenez和Sulem（2018）最近的论文中的研究结果，他们使用El Karoui和Quenez（1997）开发的非线性无套利定价方法研究了特定市场模型中的美式期权和博弈期权。在第一部分中，我们在一般非线性市场的框架内详细研究了美式合同中两个交易对手的单边估价问题。我们扩展了Bielecki和Rutkowski（2015）以及Bielecki、Cialenco和Rutkowski（2018）的结果，他们研究了欧洲风格合同的案例。在第二部分中，我们提出了一种BSDE方法，当反映BSDE的解决方案具有额外的期望属性时，该方法用于建立更明确的定价、套期保值和行使结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：套利定价 美式期权 非线性 无套利 Mathematical

非线性市场中美式期权的无套利定价*Marek Rutkowskib，山东大学数学学院，济南，山东250100，新南威尔士州悉尼大学中国数学与统计学院，2006，华沙理工大学澳大利亚数学与信息科学学院，波兰华沙00-661，3月13日，2022年摘要我们重新审查并扩展了Dumitrescu等人[12]最近的论文中的发现，Dumitrescu等人利用El Karoui和Quenez[18]提出的非线性无套利定价方法研究了特定市场模型中的美式期权。在第一部分中，我们在一般非线性市场的框架内，详细研究了美式合同中两个交易对手的单边估值问题。我们扩展了Bielecki等人[5，6]的结果，他们研究了欧洲式合同的案例。在第二部分中，我们提出了一种BSDEapproach，当反映BSDE的解决方案具有额外的期望属性时，该方法用于建立更明确的定价、对冲和行使结果。关键词：非线性市场、美式期权、最优停止、反映的BS非数学科目分类（2010）：91G40、60J28*T.Nie和M.Rutkowski的研究得到了DVC研究过渡性支持赠款多代理金融游戏非线性定价的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号：11601285）和山东省自然科学基金（编号：ZR2016AQ13）的资助。2 E.Kim、T.Nie和M。

Rutkowski1简介与欧式合同不同，美式合同在两个交易对手（以下简称发行人和持有人）之间是不对称的，这不仅是因为合同现金流的方向相反，而且因为只有一方，即美式期权持有人，有权在美国合同到期之前履行（即终止和结算），我们通常将其表示为T。无套利定价和在线性市场模型框架内合理行使美式期权的问题（通常适用于经典的Black和Scholes模型，但可能存在交易约束，如：不借入现金或不卖空股票）已在许多论文中进行了研究，仅举几篇：Bensoussan【4】、El Karoui et al【16】、Jaillet al【25】，Karatzas【27】、Karatzas和Kou【28】、Kallsenand K¨uhn【26】、Klimsiak和Rozkosz【34】、Myneni【37】和Rogers【44】。这项工作的目标是重新审查和扩展Dumitrescu等人[12]最近的论文中的发现，Dumitrescu等人利用El Karouiand Quenez[18]开发的非线性无套利定价方法，在特定的违约不完善市场模型的框架内研究了美式期权。与[12]相比（关于博弈期权的情况，另见[11]），我们将自己置于一般非线性无套利市场的框架内，正如Bielecki等人[5，6]所介绍的那样，我们研究了公平和可接受的单边价格的一般性质。

我们还使用BSDE方法获得了关于发行人定价、套期保值和盈亏平衡时间以及持有人合理行使时间的更明确的结果，而不是关于基础资产的动态，而是通过关注反映BSDE的解决方案的相关一般特征。让我们为一般非线性市场模型介绍一些符号。让(Ohm, G、 G，P）是一个满足右连续性和完备性通常条件的过滤概率空间，其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]为所有交易者可用的信息流建模。为方便起见，我们假设初始σ-场Gis微不足道。此外，下面介绍的所有过程都被隐式地假定为G-适应的，并且像往常一样，任何半鞅都被假定为c\'adl\'ag。对于注释的含蓄性，我们自始至终都假设发行人和持有人的交易条件是相同的，尽管由于我们研究了单边估价和套期保值问题，这种假设可以毫无困难地放宽。设T=T[0，T]代表[0，T]中所有G停止时间取值的类别。我们对美国未定权益采用以下定义。按照惯例，合同的所有现金流都是从发行人的角度描述的。因此，当发行人的现金流量为正值时，持有人支付现金金额，发行人接收现金金额。显然，如果发行人的现金流量为负值，那么现金金额将从发行人转移到持有人。例如，在处理股票S上的美式认沽期权的经典案例时，我们假设对发行人（分别是持有人）的支付等于xhτ=-（K）- Sτ）+（分别为，Xhτ=（K- Sτ）+）如果持有人在时间τ行使期权。这是通过以下对美国未定权益的定义正式确定的。

请注意，XH中的Superscript h用于强调只有持有人有权行使并终止合同；这可以与博弈期权的情况形成对比（例如，参见Kifer[29，30]及其参考文献），其中契约规定双方可以行使并终止合同。定义1.1。美国未定权益，采用G-调整的c\'adl\'ag支付流程，是发行人和持有人之间的合同，持有人有权通过选择G-停止时间τ来行使合同∈ T[0，T]。然后，发行人“收到”金额Xhτ，或相当于“支付”持有人-时间τ处的Xhτ，其中G-自适应支付过程Xht，t∈ [0，T]由合同规定。请注意，我们没有对支付过程Xh的符号作出任何先验假设，因此它通常可以是正的或负的。更一般地说，美国合同被正式确定为三元组Ca=（a，Xh，T），其中G-适应的c\'adl\'ag随机过程a由合同条款预先确定，表示从时间0到合同到期日T的累计现金流。在财务解释中，假设过程A模拟给定美式合约的所有现金流，美式期权3的非线性定价，这些期权要么从发行人的财富中支付，要么通过其交易资产组合的价值过程增加到其财富中。根据对称性，类似的解释适用于美国合同的持有人，显然，一方收到（分别支付）的任何金额都由另一方支付（分别收到）。

然而，请注意，合同Ca的价格（按照约定，在时间0时）未包含在过程A中，因此我们将A设置为0。这一惯例的动机是，交易前的合同价格是特定的，因此需要通过交易对手之间的谈判来确定，我们将辩称，单方面定价通常不会产生美国合同初始价格的共同价值。在任何时候检查美国合同的估价时∈ [0，T]，我们隐含地假设它还没有被执行，因此，在时间T时对其当前持有者可用的执行时间集是所有G停止时间的类别T[T，T]，取[T，T]中的值。原则上，可以考虑两种关于行权支付的替代约定：（A.1）时间t的行权现金流等于- 在-+ Xhtor（A.2）如果合同在时间t行使，则现金流在- 在-因此，在时间t发生的唯一现金流为Xht。除非另有明确规定，否则我们根据契约（A.1）开展工作，并且我们承认，选择特定的结算规则通常可能会导致美国合同Ca的不同价格。当然，当过程A是连续的，或者简单地说，当它消失时，这种选择是无关紧要的，因此契约减少为一对（Xh，T）。在经典的线性市场模型中，如果合同的最终支付为负（或正），那么很容易确定给定一方的公平价格是否应为正（或负），因此跟踪现金流的迹象就不那么重要了。

相反，在非线性设置中，可能会发生这样的情况，例如，各方都希望以各自的正价格出售合同，因此，对价格的迹象作出任何先验假设是不合理的。本文的组织结构如下。在第2节中，我们在一个抽象的非线性系统中工作，这意味着我们只对自我融资策略财富过程的非线性动力学做出了相当一般的假设。这类主要假设是财富的单调性（见假设2.1和2.2）。我们研究了发行人和持有人这两个交易对手的公平和可盈利价格的一般性质。特别是，我们以Bielecki等人的论文为基础。[5，6]研究了非线性市场中欧洲未定权益的无套利估值。在第3节中，我们重新审查并扩展了BSDE方法，以评估非线性市场中的美国期权，该方法由El Karoui和Quenez【18】发起，并在Dumitrescu等人中继续。[12]. 我们的主要目标是表明，美国合同的单边可接受价格可以用多维连续半鞅驱动的反映BSDE的解决方案来描述。为了具体起见，我们在第3节中假设财富过程V=V（y，ξ，a）满足vt=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（1）其中y∈ R是动态投资组合ξ在时间0时的初始财富（回想一下，a=0）。然而，为了保持符号的全面性，我们没有明确指定流程S或generatorg，而是对SDE（14）和BSDE（17）的解决方案进行假设。2单方面公平和可接受的普氏M=（B，S，ψ）是一种市场模型，在Bielecki等人的意义上，该模型对于欧洲合同而言是无套利的。

这里，ψ表示所有可容许交易策略的类别，ψ（y，D）表示从ψ开始的所有可容许交易策略的类别以及初始财富y∈ 任何交易策略的外部现金流均为兰特∈ ψ（y，D），我们用V（y，ν，D）表示4 E.Kim，T.Nie和M.Rutkowskiwealth过程。显然，等式V（y，ν，D）=y对所有y都成立∈ R和任何策略。自始至终，假设过程D、xh和财富过程V（y、Д、D）是c\'adl\'agand G-适应的。我们将逐步对财富过程的动态做出更多假设。2.1基准财富非线性无套利方法的一个重要特征是基准财富Vb（x）的概念，根据该概念，对给定交易者的套利机会进行量化和评估。如[5，6]中所述，基准财富的简单自然候选值可由等式Vb（x）=V（x）给出，其中，对于任意初始捐赠x∈ 对于交易者，我们设定为所有t∈ [0，T]Vt（x）：=xB0，lt{x≥0}+xB0，bt{x<0}，其中无风险贷款（分别借款）现金账户B0，l（分别借款）用于无担保贷款（分别借款）现金。请注意，V（x）表示交易者在时间0时决定将其初始现金捐赠x保留在贷款中（当x≥ 0）或借款（当x<0）现金账户，且在0和T之间未参与任何其他交易活动。按照惯例，数量x和x代表发行人和持有人的初始禀赋，因此过程V（x）和V（x）是他们各自的基准财富。由于基准财富的概念对于线性市场模型中的估值并不重要，因此在无套利估值的工作中很少遇到，尽管它与众所周知的机会成本经济概念相对应。

因此，重要的是对其相关性、范围和局限性少加评论。一方面，我们承认，基于交易者初始投资组合的单边定价想法可能会被拒绝，因为这是不现实的。因此，值得强调的是，即使我们将x=x=0设为所有t的Vt（x）=Vt（x）=0∈ [0，T]，这意味着完全忽略了贸易商的初始禀赋，其各自单边价格的不对称性将因财富动态的非线性而表现出来，因此该假设不会对我们的结果和发现提供重要的启示。另一方面，也可以假设每个交易者都有一个初始资产组合（也包括储蓄账户B0、土地B0、b，这意味着他可以是借款人或现金贷款人），在时间0时的当前市场价值为y（忽略买卖价差和交易成本）。那么Vb（y）可以表示他的静态投资组合的财富过程。例如，假设美国合同的发行人拥有风险资产（表示为α）和现金（表示为β）的初始投资组合，分别具有（静态）终值VT（α）和VT（β）。假设风险投资组合α不用于发行人的对冲目的，但现金账户β中的（正或负）金额X用于建立对冲。那么，发行人的基准财富Vb（α，β）可以定义为Vbt（α，β）：=所有t∈ [0，T]因此，特别是发行人的初始财富等于y：=Vb（α，β）=V（α）+V（β）。然后，发行人的总财富，包括在时间0输入的合同价格p和对冲策略Д，等于Vt（α，β，x，p，Д，A）=Vt（α）+Vt（β- x） +Vt（x+p，Д，A）。其中，X不再代表发行人的初始财富，而是用于Ca对冲的初始现金捐赠部分。

很明显，分析动态基准投资组合的情况将更加困难，尽管原则上这是可能的。为简洁起见，我们不打算在下文中研究这些案例，但我们强调，这项工作中的所有结果对于发行人和持有人的基准财富过程的任何具体情况都是有效的，因为有必要假设它们是一些G适应和c\'adl\'ag随机过程。美式期权的非线性定价52.2单边公平价格我们考虑了一个扩展市场模型Mp（Ca），其中美式合约在0时以某个初始价格p进行交易，其中p是一个任意实数。我们首先对一份美国合同的发行人进行了初步分析，该发行人被赋予了交易前初始财富x∈ R和相应的基准财富过程Vb（x）。2.2.1发行人的公平价格应从以下条件开始。由于流程A自始至终都是固定的，为了缓解操作，我们在与发行人打交道时会经常写V（x+p，Д），而不是V（x+p，Д，A）。同样，我们稍后将写V（x- p、 ψ）代替V（x- p、 ψ，- A） 检查持有人的交易策略时。定义2.1。我们说一个三重态（p，ν，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足度：（AO）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥ Vbτ（x）和PVτ（x+p，ν）+Xhτ>Vbτ（x）> 0，（SH）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥ Vbτ（x），（BGε）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≤ Vbτ（x）+ε，（BE）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ=Vbτ（x），（NA）<==> Vτ（x+p，Д）+Xhτ=Vbτ（x）或pVτ（x+p，ν）+Xhτ<Vbτ（x）> 0.让我们首先解释定义2.1中出现的首字母缩略词的含义：（AO）表示套利机会，（SH）表示超边际，（BG）表示有界收益，（BE）表示盈亏平衡，（NA）表示无套利。