仿射粗糙波动率的深曲线相关偏微分方程

因此bh（u，tk）=k-1Xj=0aj，kF（u，h（u，tj））+ak，kF（u，h（u，tk）），带a0，k=αΓ(α + 2)（k）- 1)α+1- （k）-α - 1） kα,aj，k=αΓ(α + 2)（k）- j+1）α+1+（k-j- 1)α+1- 2（k-j） α+1, 1.≤ j≤ k-1，ak，k=αΓ(α + 2).由于h（u，tk）出现在两侧，因此它是一个隐式格式，我们用显式格式来近似它。考虑通过积分bhp（u，tk）=Γ（α）Ztk（tk）从近似bh（a，tk）的黎曼和中得出的预测值bhp（u，tk- s） α-1eg（u，s）ds，仿射粗糙波动率的深曲线依赖型偏微分方程11，其中eg（u，t）：=F（u，h（u，tj））表示t∈ [tj，tj+1），因此BHP（u，tk）=k-1Xj=0bj，kF（u，bh（u，tj）），带bj，k=αΓ（α+1）[（k- j） α- （k）-j- 1)α] .因此，最终方案读数为sbh（u，tk）=k-1Xj=0aj，kF（u，h（u，tj））+ak，kF（u，hP（u，tk））。Lewis[62]表明，我们可以通过逆傅里叶变换asC（S，T，K）=S来恢复看涨期权价格-√SKπZ∞<eiukΦTu-我duu+。5.2. 算法分析。我们考虑以下计算机和软件规格：Intel Core i7-6600U、CPU 2.60GHz、32GB RAM、Python 3.6.1、Anaconda 4.4.0、Tensor FLOW 1.5.0。以下所有时间均以秒为单位。5.2.1. 讨论所需网络的数量。在没有利率和股息的情况下，我们考虑了以下参数：（5.3）κ=1，ν=0.1，α=0.6，ρ=-0.7，V=0.04，θ=0.06，S=1，以及以下网络配置：我们考虑50000条蒙特卡罗路径，200个时间步。对于深度学习算法，每个神经网络由3层组成，每个层有5个神经元，learningrate设置为0.2，迭代次数设置为1000。在这个例子中，我们在维数为10的函数空间上离散曲线Θ。我们考虑20笔原币，范围从-0.4至0.4，到期日为{0.1、0.5、1.6、5。}（以年表示）。

我们考虑的损失函数实际上考虑了每个成熟度的所有罢工，而不是每个单独罢工，因此提高了算法的速度。下表3显示了BSDE方案、标准蒙特卡罗和Riccatimethod之间的差异，BSDE时间步数（m）不同，实际上对应于不同数量的神经网络。令人惊讶的是，一开始，增加BSDE时间步长（m）的数量（显然计算量更大）并没有提高准确性。这可以通过以下事实来解释：大量网络简化了要优化的更多参数，因此降低了精度。