信用风险中的模型风险

只有当ajaj<0时，方程3.2才具有正解。我们观察到aj<0表示0≤ j≤ jm，其中jm是小于pd的最大整数，jm的aj>0≤ j≤ 其中jm是比pd大的最小整数。在这种情况下，我们有jm=jm+1。因此，对于0≤ j≤ jMandjm≤ j≤ d我们有ajaj<0。方程3.2的正解为py（j）=xj=j- pdpy（j）=-xj=pd- j、 （3.10）我们有▄py（j）+▄py（j）=j- pd+pd- j=j- jand然后是（3.6）给出的jand jare对应的归一化极值射线。如果pd是整数，则apd=0。因此，（3.7）也是一个极值解。我们用R（j，j）和rpd表示pmf分别为R（j，j）和rpf的随机变量。我们将参考r（j，j）和rpfas射线密度以及r（j，j）和Rpdas射线随机变量。请注意，r（0，d）=（1- p、 0，0，p）。推论3.2。如果pd不是整数，则np=（jm+1）（d- jm）射线密度。如果pd整数，则np=dp（1- p） +1射线密度。我们已经证明了以下几点。定理3.1。以下内容适用。Sd公司∈ Sd（p）i如果存在λ，λnp≥ 0之和等于1，使得ps=npXi=1λiri，（3.11），其中Ria是射线密度，NP是射线密度数。3.1.1二阶动量Let X∈ Ed（p）并让u=E【XiXj】为其二阶交叉力矩。提案3.4。让X∈ 埃德（p）。它保持u=dXk=0k（k- 1） d（d- 1） 主键。（3.12）证明。通过互换性，我们可以固定任意一对i，j∈ {1，…，d}。它保持u=P（Xi=1，Xj=1）=dXk=0P（Xi=1，Xj=1 | Sd=k）P（Sd=k）=dXk=2d-2公里-2.丹麦pk=dXk=2k（k- 1） d（d- 1） pk=dXk=0k（k- 1） d（d- 1） pk，由于一对一映射E，我们可以使用Sd的二阶矩找到Ed（p）的二阶矩的边界。我们有E[标准差]=E[（X+…+Xd）]=pd+d（d- 1)u. （3.13）提案3.5。让X∈ 埃德（p）。如果pd不是整数d（d- 1)[-jm（jm+1）+2jmpd]≤ u≤ p、 （3.14）如果pd为整数ERP（pd- 1） （d）- 1)≤ u≤ p、 （3.15）证明。

从（3.13）我们得到u=d（d-1） [E[标准差]- pd]。自Sd起∈ 它的密度是射线密度的一个凸线性组合。众所周知，射线变量的SDA位移矩。We obtainE[R（j，j）]=jj- pdj公司- j+jj- pdpd- j=-jj+（j+j）pd，（3.16）andE[Rpd]=（pd）。（3.17）为了最大化u，我们必须最大化E【Sd】。从（3.16）和（3.17）中，我们很容易得到二阶矩最大的射线变量是R（0，d），并且我们有E[R（0，d）]=（pd）。然后，经过一些计算，uM=p。为了最小化u，我们必须最小化E【Sd】。我们考虑两种情况。如果pd不是整数，从（3.16）中，我们得到二阶矩最小的ray变量是R（jM，jM）=R（jM，jM+1），其中我们有E[R（jM，jM+1）]=-jm（jm+1）+（2jm+1）pd，断言如下。如果pd为整数，则二阶矩为最小isRpd的射线变量。由于E【Rpd】=（pd），（3.15）如下。由于等式（2.1），上述命题的下一个推论提供了相关系数的边界。推论3.3。让X∈ 埃德（p）。如果pd不是整数d（d-1)[-jm（jm+1）+2jmpd]- pp（1- p）≤ ρ ≤ 1.（3.18）如果pd为整数-d- 1.≤ ρ ≤ 1.（3.19）3.2对于给定的边际违约概率和违约相关性，在本节中，我们考虑具有给定边际p和给定相关性ρ的多元可交换伯努利质量函数类，即Ed类（p，ρ）。现在我们找到了Sd（p，ρ）的生成器。自S起∈ Sd（p，ρ）i ffe【Sd】=pd和E【Sd】=dp+d（d- 1） u，我们可以定义非均匀线性系统，其解是Sd（p，ρ）中的pmf。提案3.6。以下内容适用。Sd公司∈ Sd（p，ρ）i如果存在λ。

，λnp≥ 0求和为1，使得ps=npXi=1λirρ，i，（3.20），其中rρ，i是由线性系统定义的圆锥的归一化极值射线Cp，ρ：（Pdj=0[j- pd]pj=0Pdj=0[j- （pd+d（d- 1） u）]pj=0。（3.21）命题3.2的以下推论表征了Sd（p，ρ）的射线密度。推论3.4。Sd（p，ρ）的极值射线最多支持三个点。证据（3.2）的极值射线是凸锥的归一化极值射线={z∈ Rd+1：Az=0，Iz≥ 0}，其中A是（3.21）的矩阵系数。我们有A级≤ 2、根据命题3.2，它遵循等级（I*) = d- 3，d- 2，d- 1和I*= （e，…，en）t让A | I have d- 1个独立行。自从我*R=0，ifrank（I*) = d- 3，R只有三个非零分量，如果秩（I*) = d- 2，Rhas只有两个非零分量，如果秩（I*) = d- 1，R只有一个非零分量。在后一种情况下，所有质量都是一个点。提案3.7。（3.2）的极值射线是rρ=（p，…，pd），其中pl=0，l 6=i，j，k，pi=jk- （j+k- 1） dp+d（d- 1） u（k- i） （j）- i） pj=-ik- （i+k- 1） dp+d（d- 1） u（k- j） （j）- i） pk=ij- （i+j- 1） dp+d（d- 1） u（k- j） （k）- i） ，（3.22），i<j<k，pi，pj，pk≥ 0证明。（3.2）的极值射线如下所示。设αj：=j- pd和βj：=j- （pd+d（d- 1） u），我们可以将系统（3.21）写成如下：（Pdj=0αjpj=0Pdj=0βjpj=0，（3.23）现在让=α. . . αdβ。βd.

从推论3.4中，我们必须找到正解（zj，zj，zk），对于i<j<kαixi+αjxj+αkxk=0βixi+βjxj+βkxk=0，（3.24）然后，从正解中，我们发现pl=zlzi+zj+zk，l∈ {i，j，k}。让xk=1，系统3.25变为αixi+αjxj=-αkβixi+βjxj=-βk，（3.25）及其解可通过使用Cramer公式的标准计算确定。我们以以下命题结束本节，该命题给出了Sd（p）中射线密度也是Sd（p，ρ）中射线密度的必要和充分条件。提案3.8。A射线密度r∈ Sd（p，ρ）支持两点，即Sd（p）中的射线密度和ur=u，其中uris是r.Proof的二阶交叉力矩。如果r是（3.21）的解，那么它也是（3.2）的解，并且由于它假设支持两个点，所以它是一个极值解。因此r∈ Sd（p）是射线密度。反之，如果r∈ Sd（p）通过定义满足（3.21）的第一个方程，如果ur=u，则通过构造也满足第二个方程。因为它在两点上有质量，所以它是（3.21）的极值解。4金融风险度量及其边界作为投资组合风险的度量，我们考虑Sd的风险价值（VaR）和预期短缺（ES）。我们回顾了他们对一般随机变量Y的定义。定义4.1。设Y是一个随机变量，表示具有有限平均值的损失。然后，α级的VaRα由VaRα（Y）=inf{Y定义∈ R:P（Y≤ y）≥ α} （4.1）而α级的预期缺口定义为：α（Y）=E[Y | Y≥ V arα（Y）]（4.2）以下命题为给定类中的Sd的VaRα和ESα提供了界限。提案4.1。1、让Sd∈ Sd（p）[Sd（p，ρ）]，并将VaRα（Sd）设为其风险值。ThenminRVaRα（R）≤ VaRα（Sd）≤ maxRVaRα（R），其中R是Sd（p）[Sd（p，ρ）]的射线密度。2、让Sd∈ Sd（p）[Sd（p，ρ）]，并将ESα（Sd）设为其预期差额。

ThenminRVaRα（R）≤ ESα（Sd）≤ d、 式中，R是Sd（p）[Sd（p，ρ）]的射线密度。证据设τS=VaRα（Sd）=inf{y∈ Θ：P（标准差≤ y）≥ α}. 设τi=VaRα（Ri），τM=maxiτi，τM=miniτi。它保持sp（Sd≤ τM）=Xy≤tMpS（y）=Xy≤tMnpXi=1λipRi（y）=npXi=1λiXy≤tMpRi（y）≥npXi=1λiα=α，（4.3）因此τS≤ τM.It保持SP（Sd≤ τm）=npXi=1λiXy≤tmpRi（y）=npXi=1λiβi，（4.4）带βi≤ α因此我们有P（Sd≤ τm）≤ α. 因此τS≥ τ和τm≤ τS≤ τM.2。ESα≥ τmand ESα≤ d是微不足道的。上述命题表明，VaRα在射线密度上达到了Sd（p）[Sd（p，ρ）]中的最大值和最小值，因此我们能够明确地找到它们。备注1。ESα的界较弱且平凡。然而，至少在某些情况下，它们无法得到改善。实际上，考虑光线密度r=（1- pp）∈埃德（p）。如果1- p≤ α然后ESα=d。因此，边际违约概率高于1- α达到界限。由于命题3.3给出了Sd（p）射线密度的解析表达式，以下命题提供了Sd（p）中VaRα的解析边界。提案4.2。让我们考虑类Sd（p），让jp=（p-(1-α） ）dα。1、如果jp<0，最小VaRα（R（j，j））=0，最大VaRα（R（j，j））=j*, 其中j*最大整数是否小于Pd1-α.2、如果0≤ 日本≤ jM，min VaRα（R（j，j））=j*, 其中j*是大于或等于jp的最小整数，且max VaRα（R（j，j））=d.3。如果jp>jM，则min VaRα（R（j，j））=jM=jM+1，max VaRα（R（j，j））=d。在这种情况下，如果pd是整数jM+1=pd。证据让我们首先考虑pd不是整数的情况。射线密度在（3.6）中给出，0≤ j≤ jM和jM+1≤ j≤ d、 根据V aR的定义，我们得到了Varα（R（j，j））=j<==> r（j，j）（j）≥ α. （4.5）它遵循r（j，j）（j）=j- pdj公司- j≥ α、 （4.6）然后≥ -α1 - αj+pd1- α.（4.7）我们还知道j≤ d、 那么让我们确定j的交点P=-α1-αj+pd1-α和j=d。

（j=-α1-αj+pd1-αj=d（4.8）是P=（jP，jP）=（（P-(1-α） ）dα，d）。我们根据jP区分三种情况。1、jp＜0。在这种情况下，对于allpd1，VaRα（R（0，j））=0-α<j≤ 然后VaRα的最小值（R（j，j））=0。关于VaRα（R（j，j））的最大值，将通过VaRα（R（0，j））获得*)), 其中j*最大整数是否小于PD1-α.二≤ 日本≤ 吉咪。让我们定义j*作为大于或等于jP的最小整数。由此得出VaRα（R（j*,j） ）=j*, j*< j≤ d带j*最小整数是否大于或等于-α1-αj*+pd1-α. 那么V aRα的最小值（R（j，j））=j*. VaRα（R（j，j））的最大值为d.3。jp>jM。在这种情况下，VaRα（R（j，j））=j。那么VaRα（R（j，j））=jm=jm+1的最小值和VaRα（R（j，j））=d的最大值。如果pd是整数，那么jm+1=pd。我们还可以通过搜索射线密度中的最大e最小VaRα来明确确定Sd（p，ρ）的界限，其解析表达式如命题3.7所示。VaRα的解析计算超出了本文的目的，这里我们对射线密度中的最小VaRα和最大VaRα进行了推导。5模型风险分析迄今为止发展的理论允许我们进行模型风险分析。与此一致，让我们假设我们有一个有100个债务人的信贷组合P。让随机向量X=（X，…，X）收集portfolioP的默认指示符，并假设X∈ E、 其中，E：=E。变量S：=S表示违约次数，S的分布表示损失的分布。

对于两类多变量可交换伯努利变量E（p）和E（p，ρ），我们通过分析找到了α=0.90、α=0.95和α=0.99的VaRα和ESα的界限。通过对这两类模型的分析，我们可以研究引言中提到的模型风险的两个方面，即纯粹选择“错误”模型的风险（纯粹模型风险）和通过违约相关性（校准风险）对联合模型进行“错误”校准的风险。在这两种情况下，我们都没有调查边际违约概率的正确性，如果我们调查边际模型风险，就会出现这种情况。第一类的界限提供了纯联合模型风险的经济合理度量。为了完成这幅图，对于任何p，我们提供了100个伯努利变量的可容许相关性范围。第二类的界限提供了校准风险的度量。获得特定相关系数的边界：我们对ρ变化时的行为进行敏感性分析。对于每个相关性，我们还考虑与特定联合模型（伯努利混合模型）相关的VaRα和ESα，以说明该方法如何用于评估特定模型的校准风险，而不是一般的校准风险，考虑到VaRα和ESα离界有多远。在所有情况下，我们考虑与三种边际违约概率p=0.3%、p=1.7%和p=26.6%相对应的三种情景，这三种情景是根据第40页表13得出的1年边际违约概率，对于评级等级A、BBB和B.5.1纯模型风险，我们在三种情景p=0.3%、p=1.7%和p=26.6%中处理E（p）。本节中的所有结果都是分析性的。5.1.1情景1：在计算S类（0.3%）的VaRα和ESα之前，p=0.3%，对应于穆迪的Arating，让我们描述一下。

该类有100个射线密度，我们可以通过分析发现，所有射线密度都有不同的相关性。类中分布的所有矩的界是在射线密度上达到的，如[9]中所证明的。在这种情况下，二阶矩和相关性的界限是分析性的，如第3.1.1节所述。表1给出了四阶矩和相关性。显然，第一时刻与p重合，其范围为单态。请注意，所有正相关和一些负相关都是允许的。这是可能的，因为我们考虑了可交换伯努利变量的有限序列，而不仅仅是混合模型，即德芬尼蒂序列。因此，就其本身而言，独立于任何模型，100个具有等相关性的伯努利故障指标不能跨越负相关性，但能够跨越任何水平的正相关性和零相关性。阶次最小力矩最大力矩1 0.003 0.0032 0 0.0033 0 0.0034 0 0.003ρ-0.003表1：多元伯努利表2的力矩E（0.3%）类显示了三个水平α=0.90、α=0.95和α=0.99的VaRα的界限。分位数最小值VaRα最大值VaRα0.9 0 20.95 0 50.99 0 29表2：多元贝努利表3中E（0.3%）类的默认数VaRα显示了三个水平α=0.90、α=0.95和α=0.99的射线密度上的ES界限。分位数最小ES最大ES0.9 0.3 20.95 0.3 50.99 0.3 29表3：多元贝努利5.1.2场景2中E（0.3%）类的默认数量ES假设p=1.7%，S类（1.7%）有198个S射线分布，有198个不同的相关性。表4提供了此类力矩的界限。表5显示了三个水平α=0.90的VaRα的界限；α=0.95和α=0.99。表6显示了三个水平α=0.99的射线密度的ES界限；α=0.95和α=0.90。

自1.7%起≥ 如备注1所示，我们的ES0.99=100。订单最小力矩最大力矩1 0.017 0.0172 0 0.0173 0 0.0174 0 0.017ρ-0.009 1表4：多变量伯努利抗指数最小VaRα最大VaRα0.9 0 160.95 0 330.99 1 100表5：多变量伯努利抗指数最小ES最大ES的E（1.7%）类违约数VaRα0.9 1.7 160.95 1.7 330.99 1.7 100表6：多变量伯努利抗指数最小ES的E（1.7%）类违约数ES多元伯努利5.1.3情景3我们考虑E类（26.6%）。自1998年以来，射线密度的数量相对于其他两类要高得多。表7显示，该类的三阶矩和四阶矩的范围比其他类的更宽。minmom-maxmom1阶数0.266 0.2662 0.069 0.2663 0.017 0.2664 0.004 0.266ρ-0.01表7：多元伯努利表8的矩E（26.6%）类显示了三个水平α=0.90的VaRα的界限；α=0.95和α=0.99。分位数最小VaRαMax VaRα0.9 19 1000.95 23 1000.99 26 100表8：多元贝努利系数E（26.6%）类的默认值的VaRα下表9显示了三个水平α=0.90的射线密度上的ESα的界限；α=0.95和α=0.99。可以看到，每个α的最大ESα为d=100，实际上为26.6%≥ 1%.分位数最小值ES最大值ES0.9 26.6 1000.95 26.6 1000.99 26.6 100表9：多元贝努利5.1.4跨情景比较E（26.6%）类违约数ES读者可以了解当边际概率增加时，以及当风险度量为VaRα时，模型风险如何增加，见图1。通过计算可以得出结论，VaR范围随边际违约概率而增大，而不仅仅随置信水平（这是标准结果）而增大。

此外，最小值和最大值均不随p.5.2校准风险递减。在本节中，我们检查了上述三种情形下的边际违约概率损失行为，其中，在边际违约概率的基础上，选择了一个特定的等相关性值。我们在三种情况下处理E（p，ρ）：p=0.3%、p=1.7%和p=26%，并为三个相关水平的VaRα提供了界限：ρ=；；。这里，射线密度及其VaR都是分析性的。通过计算搜索射线密度中的最大VaR和最小VaR，可以找到边界。作为基准，我们从信贷风险文献中选择了一个可交换的伯努利混合模型。我们估计了每个情景的β-混合模型，并计算其VaRα。设Sβ为β-混合模型的默认数量，我们有（完整概述见[6]）：pβ（j）=djZpk（1- p） d-kdψ（p），（5.1），其中ψ~ β（a，b）混合变量。