期望效用框架下的投资组合选择问题

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英文标题：
《A portfolio choice problem in the framework of expected utility
  operators》
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作者：
Irina Georgescu, Louis Aim\\\'e Fono
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Possibilistic risk theory starts from the hypothesis that risk is modelled by fuzzy numbers. In particular, in a possibilistic portfolio choice problem, the return of a risky asset will be a fuzzy number. The expected utility operators have been introduced in a previous paper to build an abstract theory of possibilistic risk aversion. To each expected utility operator one can associate a notion of possibilistic expected utility. Using this notion, we will formulate in this very general context a possibilistic choice problem. The main results of the paper are two approximate calculation formulas for corresponding optimization problem. The first formula approximates the optimal allocation with respect to risk aversion and investor\'s prudence, as well as the first three possibilistic moments. Besides these parameters, in the second formula the temperance index of the utility function and the fourth possibilistic moment appear.
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中文摘要：
可能性风险理论从风险由模糊数建模的假设出发。特别是，在可能性投资组合选择问题中，风险资产的回报率将是一个模糊数。在前一篇文章中引入了期望效用算子，以构建一个抽象的可能性风险厌恶理论。对于每一个期望效用算子，人们可以关联一个可能性期望效用的概念。利用这一概念，我们将在这一非常普遍的背景下提出一个可能性选择问题。本文的主要结果是相应优化问题的两个近似计算公式。第一个公式近似于风险规避和投资者谨慎性方面的最优配置，以及前三个可能性矩。除这些参数外，在第二个公式中还出现了效用函数的节制指数和第四个可能矩。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_portfolio_choice_problem_in_the_framework_of_expected_utility_operators.pdf (189.2 KB)

2022-6-25 06:26:20 上传

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关键词：投资组合选择 选择问题 投资组合 期望效用 Optimization

预期公用事业运营商irina GeorgescuAcademy of Economic StudiesDepartment of Economic Information and ControlneticsPiat,A Romana No 6 R 70167，O ciul Postal 22，Bucharest，Romania电子邮件：irina。georgescu@csie.ase.roandLouisAim'e Fono公司*杜阿拉大学理学院数学实验室和数学与计算机科学系，邮政信箱24157，杜阿拉，喀麦隆电子邮件：lfono2000@yahoo.frAbstractPossibilistic风险理论从风险由模糊数建模的假设出发。特别是在一个可能的投资组合选择问题中，风险资产的回报率将是一个模糊数。在前一篇文章中引入了期望效用算子，以构建一个抽象的可能性风险厌恶理论。对于每一个期望效用算子，人们可以关联一个可能性期望效用的概念。利用这个概念，我们将在这个非常普遍的上下文中表述一个可能性选择问题。本文的主要结果是相应优化问题的两个近似计算公式。第一个公式近似于风险厌恶和投资者谨慎以及前三个可能时刻的最优配置。除了这些参数外，在第二个公式中还出现了效用函数的节制指数和第四个可能性矩。关键词：期望效用算子；可能性矩；portfoliochoice问题*这项工作的一部分是在HS/AF/ACG第17497RG/M号研究拨款下完成的- F R3240297728由世界科学院（TWAS）向喀麦隆杜阿拉大学数学实验室的应用数学与社会科学研究小组提供。

第二作者（小组成员）衷心感谢TWAS。1简介投资一笔财富的代理人赢得了一笔无风险资产和一笔风险资产，他有兴趣确定在这两项资产之间划分WB的最佳比例。该数学模型是一个决策问题（称为标准投资组合选择问题），是在冯·诺依曼·摩根斯坦期望效用的背景下制定的（[1]、[3]、[12]、[20]、[27]）。代理将通过确定优化问题的解来选择风险资产中的最优财富分配。优化问题的精确解很难获得，因此一直在寻找近似解。使用Taylor-typ-eapproximations，我们找到了关于两类参数的各种形式的近似解：投资者风险绩效指标（绝对风险厌恶、谨慎、节制等）和风险资产回报的各种时刻（见[2]、[8]、[14]、[26]、[33]）。上述论文中的投资模型是概率的，风险资产的回报率是一个随机变量。在现实生活中，on可以将风险资产视为一个模糊数。在文献[19]中，基于Zadeh可能性理论[32]的框架，利用文献[16]中的可能性预期效用的概念，建立了一个可能性组合问题。我们根据模糊数的前三个概率矩确定了最优解的近似计算公式，这些概率矩重新呈现了风险资产的回报以及投资者的风险平均和审慎指标。另一方面，在文献[15]或[18]中，提出了不同于文献[16]的可能性预期效用的概念。利用这一点，我们可以制定另一个可能的投资组合选择问题，其解决方案与[16]不同。

[17]中引入了预期效用算子，以阐述可能性风险厌恶的一般理论。每个预期效用算子定义了可能性预期效用的概念。通过具体化，我们得到了[1,5]、[16]的可能性预期效用。此外，Tassak et al.（29）和Sadefo et al.（28）开发了一种基于可信性理论的方法，这在本文中没有考虑。在这篇论文中，我们将在一类显著的期望效用算子（D-算子）的背景下建立一个标准的投资组合选择问题。本文的第一个结果是最优解的近似计算公式，取决于风险规避和谨慎性指标，以及所考虑的D算子定义的前三个矩。第二个结果是一个更明确的最优解近似公式：除了上述参数外，解分量中还出现了投资者的阻力和第三阶T矩。特别地，获得了与[15]、[16]中的D算子相关的问题的最优解的形式。在第2节中，通过类比经典冯·诺依曼-摩根斯特恩效用理论中的（概率）预期效用的概念，回顾了可能性预期效用的两个不同概念。还回顾了预期效用运营商的定义和两个常见示例。根据可导性的一个自然性质，引入了D-算子，为研究可能性投资组合问题提供了一个一般框架。第三节阐述了我们的投资组合选择问题，提出了T-标准模型（T是aD算子）及其解。更准确地说，对模型进行了公式化，并对如何找到与该模型相关的优化问题的两个近似最优解进行了分析。

第一个是投资者效用函数的风险规避和谨慎性，以及与超额收益组成部分中的模糊数a相关的前三个T矩（在投资组合风险较小的情况下）。第二个近似公式基于上述指标以及Investor的温度和四阶矩。第4节包含一些总结，并将一些尚未解决的问题形式化。2可能性预期效用理论综述和D算子介绍2.1模糊数的可能性预期效用和可能性方差冯·诺依曼-摩根斯特恩预期效用理论（EU-theory）是研究风险参数现象的自然框架，它基于两个元素（[1]、[12]、[20]）：o代表代理的效用函数u；o代表风险的随机变量X。因此，（概率）预期效用E（u（X）），定义为随机变量u（X）的平均值，是欧盟理论的基本概念，提供了与X相关的可能性指标，如预期值、变量、矩、协方差等。此外，通过u及其导数，定义了描述代理人对风险的各种态度的概念，如：风险厌恶、谨慎、节制等（见【1】、【12】、【20】、【22】、【27】）。在现实生活中，有许多不确定的情况不是用概率论来描述的，而是用扎德的可能性理论来描述的【32】。

因此，有必要从以下三个要素出发，发展可能性欧盟理论：o代表代理人的效用函数u；o表示风险的模糊数a（水平集[a]γ=[a（γ），a（γ）]，γ∈ [0, 1]);o 一个weig-hting函数f：[0，1]→ R（f是满足esRf（γ）dγ=1的非负递增函数）。基于三个要素，引入了以下两个可能性预期的概念（[4]、[13]、[15]、[16]）：e（f，u（A））=R[u（A（γ））+u（A（γ））]f（γ）dγ，（2.1）e（f，u（A））=R[A（γ）-a（γ）Ra（γ）a（γ）u（x）dx]f（γ）dγ。（2.2）请注意，本文中出现的所有积分都是有限的。让我们具体说明这两个概念的两种特殊情况。1） 设置u=1R（R的恒等式），两个可能性预期效用引入了相同的可能性期望值概念：Ef（A）=E（f，1R（A））=E（f，1R（A））=R[A（γ）+A（γ）]f（γ）dγ。（2.3）2）设置u（x）=（x- Ef（A））在（2.1）和（2.2）中，得到了两个可能的方差：V ar（f，A）=R[（u（A（γ））- Ef（A））+（u（A（γ））- Ef（A））]f（γ）dγ，（2.4）V ar（f，A）=R[A（γ）-a（γ）Ra（γ）a（γ）（x- Ef（A））dx]f（γ）dγ。（2.5）让我们回顾一下本论文中有用的一种模糊数（【18】，定义2.3.3）：三角形模糊数a=（a，α，a+β）和∈ R和α、β≥ 0定义为：A（t）=1.-一-tαa- α ≤ t型≤ a、 1个-t型-aβa≤ t型≤ a+β，0。否则，A的水平集为[A]γ=[A（γ），A（γ）]，其中A（γ）=A- (1 - γ） α和a（γ）=a+（1- γ） 任意γ的β∈ [0，1]，且A的支持为supp（A）=（A- α、 a+β）。根据【18】中的示例3.3.10，与三角形模糊数A=（A，α，β）相关的可能性期望值Ef（A）的形式为：Ef（A）=A+β-α. （2.6）在下一小节中，我们将记录预期公用事业运营商的所有定义以及对其的一些概括（【18】、【19】）。

我们将通过一个属性引入D算子，该属性调节期望效用算子对参数效用函数求导的行为。我们将用F表示模糊数集，C（R）表示从R到R的连续函数集∈ R、 我们用“a：R”表示→ R恒常函数a（x）=a，对于x∈ R、 1将是R的标识函数。我们定义了权重函数f：[0，1]→ R、 这两种类型的可能性方差已在多篇论文中进行了研究（见[4]、[5]、[13]、[18]、[34]），并已应用于不同可能性模型的研究（[5]、[6]、[7]、[19]、[25]、[24]、[30]、[31]）。2.2预期效用运算符和D运算符让我们回忆一下预期效用运算符。定义2.1【18】，【19】一个（f加权）期望效用算子是一个函数T:f×C（R）→ 对于任何a，b∈ R、 g，h∈ C（R）和A∈ 满足以下条件：（a）T（a，1R）=Ef（a）；（b） T（A，(R)A）=A；（c） T（A，ag+bh）=aT（A，g）+bT（A，h）；（d） g级≤ h表示T（A，g）≤ T（A，h）。实数T（A，g）将被称为w.r.T的广义可能性预期效用。

f和g。在本文中，我们将多次写出T（A，g（x）），而不是T（A，g）。对于任意整数k≥ 1我们定义了A的k阶T矩：T（A，g），其中g（x）=xk，对于任何x∈ R、 oA:T（A，g）的k阶中心动量，其中g（x）=（x-Ef（A））K对于任何x∈ R、 特别是，我们有以下概念：oT-A的方差：V arT（A）=T（A，（x- Ef（A））；oA的T偏度：SkT（A）=T（A，（x- Ef（A））；oA的T-峰度：KT（A）=T（A，（x- Ef（A）））。以下两个例子介绍了研究最多的经验丰富的公用事业运营商。例2.2【16】，【17】期望效用算子T:F×C（R）→ R定义为：T（A，g）=Z[g（A（γ））+g（A（γ））]f（γ）dγ。对于水平集为[A]γ=[A（γ），A（γ）]，γ的任何模糊数A∈ [0，1]和对于任何g∈ C（R）。例2.3【16】，【17】期望效用算子T:F×C（R）→ R由t（A，g）=R[A（γ）定义-a（γ）Ra（γ）a（γ）g（x）dx]f（γ）dγ，对于任何fuzzy数a，其水平集为[a]γ=[a（γ），a（γ）]，γ∈ [0，1]和任何g∈ C（R）。在本小节的其余部分中，我们将介绍本文中有用的D算子。为此，我们考虑函数集U g（x，λ）：R→ r满足以下性质：g（x，λ）相对于x是连续的，cns类相对于λ是连续的，定义2.4一个期望的不确定性算子T:F×U→ 如果对于任何模糊数和任何函数g（x，λ），R被称为关于参数λ（或简称D算子）的可导函数∈ U、 满足以下条件：（D）函数λ7-→ T（A，g（.，λ））是可导的（相对于λ）；（D） T（A，g（.，λ）λ） =ddλT（A，g（，λ））。命题2.5预期效用算子和皮重算子。提案2.6让a，a∈ R、 g，h∈ U、 函数U=ag+ah。然后：（a）u∈ U、 （b）对于任何模糊数A，以下等式成立：ddλT（A，U（.，λ））=添加λT（A，g（.，λ））+添加λT（A，h（.，λ））。证据物业（a）为immedia te。

对于（b），我们首先会注意到u（.，λ）λ=ag（.，λ）λ+ah（.，λ）λ.因此，应用定义2.1（c）和性质（D），我们得到DλT（A，u（，λ））=T（A，u（.，λ）λ） =在（A，g（.，λ）λ） +在（A，h（.，λ）λ） =添加λT（A，g（.，λ））+添加λT（A，h（.，λ））。在本文件的其余部分，我们将在与D-算子相关的欧盟理论和称为T标准模型的可能性投资模型的一般框架中定义。然后，我们将检查所获得模型的最优解。3可能性投资组合问题中的T-标准模型我们将从[12]中概率投资模型的简短描述（第55-56页）开始这一小节，这将作为构建T-标准模型的起点。然后，我们陈述了我们的模型及其潜在的投资组合优化问题。3.1投资组合选择问题和T-标准模型代理人投资初始财富，赢得无风险资产（债券）和风险集合（股票）。我们假设代理具有C类效用函数u，递增和凹。投资于风险资产的金额将用α表示，因此w- α是投资于无风险资产的金额。风险资产的回报率是一个随机变量X。设r为风险资产的回报率，X为a值。无风险战略的未来财富为（w-α） （1+r）和p组合的值（w-α、 α）将为w+α（x- r） （根据【12】，第65-66页），其中w=w（1+r）。然后，投资者根据优化问题的解决方案确定α：maxαE（u（w+α（X- r） ））（4.1）。表示X=X- r对于超额收益，问题（4.1）可以写为：maxαE（u（w+αX））（4.2）。在专著【12】、【20】和论文【14】、【26】、【33】中，问题（4.2）是在投资组合风险很小的情况下研究的，即超额收益X的形式为X=ku+Y，其中u>0，Y是e（Y）=0的随机变量。

然后（4.2）得到形式：maxαE（u（w+α（uk+Y）））（4.3），称为概率标准模型。在下文中，模型（4.3）将启发我们选择假设和制定T标准模型。我们将确定权重函数f：[0，1]→ R和a D算子T:F×U→R、 构建T-标准模型的基础是以下假设：（H）风险资产的收益率是一个模糊数B；（H） 优化问题的公式将使用与D算子T相关的广义可能性预期效用的概念（见上一节）。我们将通过B记录可能的超额回报B- r、 我们将面临一个小的可能投资组合风险，即B=ku+a，其中u>0，a是一个模糊数，Ef（a）=0。在这种情况下，Ef（B）=ku。受（4.3）启发，我们将考虑优化问题：最大αT（A，u（w+α（ku+x）））（4.4），具有总效用函数v（α）=T（A，u（w+α（ku+x）））（4.5）。考虑到定义2.4中的条件（D），我们可以计算导数：V′（α）=ddαT（A，u（w+α（ku+x））=T（A，（ku+x）u′（w+α（ku+x）））（4.6）V′（α）=T（A，（ku+x）u′（w+α（ku+x）））（4.7）。作者：hy pothesis，u′\'≤ 0，因此，使用定义2.1中的条件（d）和（b），从（4.7）中，它将遵循V′（α）≤ 我们证明了函数V（α）是凹的。设α（k）为优化问题maxαV（α）的解，其中V（α）的形式为（4.5）。根据（4.6），一阶条件V′（α（k））=0将写入（A，（ku+x）u′（w+α（k）（ku+x））=0。