具有延迟索赔的复合Beta二项风险模型

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英文标题：
《On the Compound Beta-Binomial Risk Model with Delayed Claims and
  Randomized Dividends》
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作者：
Aparna B. S, Neelesh S Upadhye
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we propose the discrete time Compound Beta-Binomial Risk Model with by-claims, delayed by-claims and randomized dividends. We then analyze the Gerber-Shiu function for the cases where the dividend threshold $d=0$ and $d>0$ under the assumption that the constant discount rate $\\nu \\in (0,1)$. More specifically, we study the discrete time compound binomial risk model subject to the assumption that the probabilities with which the claims, by-claims occur and the dividends are issued are not fixed(constant), instead the probabilities are random and follow a Beta distribution with parameters $a_{i}$ and $b_{i}$, $i = 1, 2, 3$. Recursive expressions for the Gerber-Shiu function corresponding to the proposed model are obtained. The recursive relations are further utilized to obtain significant ruin related quantities of interest. Recursive relations for probability of ruin, the probability of the deficit at ruin, the generating function of the deficit at ruin and the probability of surplus at ruin and for the probability of the claim causing ruin are obtained.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们提出了具有副索赔、延迟索赔和随机红利的离散时间复合贝塔二项风险模型。然后，我们在假设（0,1）$中的固定贴现率为$\\ nu \\的情况下，分析了股息阈值$d=0$和$d>0$的情况下的Gerber-Shiu函数。更具体地说，我们研究了离散时间复合二项式风险模型，假设索赔、副索赔发生和股息发放的概率不是固定的（常数），而是随机的，并且遵循参数为$a{i}$和$b{i}$，$i=1，2，3$的贝塔分布。得到了该模型对应的Gerber-Shiu函数的递推表达式。进一步利用递推关系获得与破产相关的重要利息量。得到了破产概率、破产时赤字概率、破产时赤字概率、破产时盈余概率和索赔引起破产概率的递推关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：风险模型 beta Bet ETA Econophysics

在具有延迟索赔和随机分割的复合贝塔二项风险模型上，本文提出了具有副索赔、副索赔和随机红利的离散时间复合贝塔二项风险模型。然后，我们分析了在假定恒定贴现率ν∈ (0, 1). 此外，我们还研究了离散时间复合二项风险模型，假设索赔发生的概率、副索赔发生的概率和股息发放的概率不是固定的（常数），而是随机的，并遵循参数为a和B的贝塔分布，i=1、2、3。得到了该模型对应的Gerber-Shiu函数的递推表达式。进一步利用递归关系获得与破产相关的重要利息数量。得到了破产概率、破产损失概率、破产损失生成函数、破产盈余概率和索赔导致破产概率的递推关系。关键词：复合贝塔B二项风险模型，效用函数，Gerber-Shiu函数，延迟索赔，随机红利。1简介风险理论是一种描述公司破产脆弱性的数学结构。与破产相关的利息量，如破产概率、破产时债务的生成函数、盈余的分布等，可使用风险理论的概念进行评估。资本总额从最初的盈余金额u开始，并随着定期保费的增加而继续增加。资本因通货膨胀而急剧减少。每当公司的准备金金额或盈余为负值时，就会发生破产/解散。

许多抽象风险模型使用连续时间风险模型，但实际情况是相反的。离散时间风险模型的优点是，可以在不假定索赔规模分布的情况下得出递归公式，从而使计算变得简单。离散时间风险模型的结果可作为其连续时间类似物的简单表现，并可作为连续时间风险模型中相应结果的近似值和界限，例如参见[4]。离散时间风险模型的相关文献可在[13]、[9]、[6]、[17]、[10]、[11]、[16]中找到。对于涉及延期索赔的连续时间风险模型，感兴趣的读者请参阅[3]，了解复合泊松风险模型的扩展。此外，[19]涉及将索赔编号过程作为Erlang（2）过程的结果。Gerber于1988年首次引入复合二项风险模式l，其效用函数为n=S+n-NnXi=1Xi=S+n-nXi=1KiXi，其中S=u表示保险人的初始盈余，u∈ N、 N表示离散时间单位，假设周期保费率为一个单位。此外，{Xi}ni=1是独立的同分布（iid）随机变量（r.v），其中每个Xidenotes表示在时间i的主要权利要求的大小，pmf P（X=k）=f（k），nn表示在n个时间段内主要权利要求的出现次数，遵循参数n和∧的二项分布，并假设与Xi无关。等效地，如果Kidenotes-Bernoulli（λ）r.V在时间i表示主权利要求的o c电流，那么很明显Nn=K+…+KN表示PNNI=1Xi=Pni=1KiXi。在实践中，权利要求可分为两类，主要权利要求和按权利要求。主要索赔引起的索赔。By索赔在同一时间段内解决，或最多在一个时间段后解决。

Letyi表示在时间i具有pmf P（Y=k）=g（k）的副权利要求的大小。此外，{Yi}ni=1是iidr序列。v代表不同时间段i的索赔额，对于k=1、2、3、··································。此外，letWibe-Bernoulli（λ）r.v表示在时间i发生的副索赔。我们假设r.v的Ki、Wi、xind yi对于所有i都是相互独立的。然后修改后的效用函数由n=s+n给出-nXi=1Ki（Xi+WiYi），S=u。该模型进一步推广，以适应随机d股息和索赔。当盈余超过或等于阈值d（一个预先确定的常数）时，应支付股息。设VibeBernoulli（λ）r.v代表在时间i支付的单位股息。因此，修改后的效用函数为n=S+n-（nXi=1ViI（{Si-1.≥ d} ）+n-1Xi=1Ki（Xi+Yi）+Kn（Xn+WnYn））（1），其中pni=1ViI（{Si-1（u）≥ d} ）表示在n个时间段内支付的股息总数和（1）中定义的效用函数，其中n=0、1、2、。也称为离散时间剩余过程（DTSP）。破产时间τ定义为τ=inf{n>0 | Sn<0}，这是s曲线SNI为负值的第一个时间。最终概率定义为φ（u）=P{τ<∞|S=u}。破产时{τ<∞}, |Sτ|表示盈余中的亏损/亏损规模，Sτ-= Sτ-1是破产前的sur加号和Sτ-+ |Sτ|是导致破产的索赔。Letν∈ （0，1）为固定折现率，且 （Sτ-, |Sτ|）是一个非负有界函数，是一个惩罚函数，用于解释破产产生的收益/损失。I（{τ<∞}) 强调了罚函数仅在破产时是等价的。当r d>0的形式为：md（u）=E[ντ]时，破产时S=u的预期罚金由Gerber-Shiu贴现罚金函数给出（见Gerber等人[8]） （Sτ-, |Sτ|）I（{τ<∞})|S=u]。

（2） 由于通过适当选择惩罚函数可以获得各种与破产相关的利息量，Gerber-Shiu函数已成为金融文献中的一个重要和标准风险度量。当股息阈值d=0时，我们表示相应的Ge rber Shiu函数m（u）。有关Gerber Shiu函数的相关文献，请参阅[1]、[5]、[15]、[14]、[12]。在本文中，我们考虑了具有副索赔和随机股息的复合二项风险模型的推广，其中主索赔、副索赔和股息发放的发生概率遵循贝塔分布。除了采用[18]和[11]中的模型外，我们还假设在保险公司破产之前支付概率为∧的随机股息1。推导了折扣Gerber-Shiu函数的显式递归表达式。pape ris的其余部分组织如下：在第2节中，我们描述了本文所选模型的动机，并定义了附带索赔和随机股息的β-二项复合二项风险模型，分析该模型并推导出折现预期惩罚函数或Gerbe r-Shiu函数的显式表达式。在第3节中，利用第2节中获得的结果分析了一些与破产相关的利息量，即：破产概率、破产损失概率、破产损失生成函数和破产盈余概率。2复合贝塔二项风险模型和递归关系据我们所知，文献中研究的各种DTSP都假设索赔发生的概率、索赔发生的概率和股息发放的概率是固定的（常数），这并不总是一个建设性的假设。

在实践中，索赔概率和股息发放概率可能是随机的，并且可能在[0，1]上有一些分布。为了理解具有随机索赔概率的DTSP的行为，我们提出了具有以下假设以及（1）的假设的新模型。（A1）设Kibe-Bernoulli（λ）r.v代表在时间i发生的主要索赔，其中∧具有参数（a，b）的Betadistribution。因此P（K=1）=E（K）。（A2）设Wibe-Bernoulli（λ）r.v’s，其在时间i再次呈现a副索赔的发生，其中∧具有带参数（a，B）的B eta分布。因此，P（W=1）=E（W）（A3）让Vibe Ber noulli（λ）r.v在时间i重新呈现单位股息的支付，其中∧具有参数（a，b）的betadistration。因此，对于DTSP（1）中的效用函数，P（V=1）=E（V）（A4）的预期正安全加载条件（见[2]）为1-E（V）>E（K）E（X+Y）。（A5）Ki、Wi、Vi、XIAN和YI在所有i中都是相互独立的∈ N、 此后，除了复合二项式风险模型的现成假设外，符合假设（A1）至（A5）的DTSP（1）被称为具有延迟索赔和随机股息的复合贝塔二项式风险模型。在本文中，我们分析了DTSP（1）中定义的风险模型在有无正股息阈值/障碍d的情况下的预期贴现惩罚函数（2）。我们用ef（z）表示f和g的概率生成函数=∞Xu=0zuP（X=u）和eg（z）=∞Xu=0zuP（X=u）。如果P（X+Y=k）=f* g（k），然后]f* g（z）=ef（z）eg（z）。

假设概率为∧的主索赔引发概率为∧的副索赔，副索赔的解决在下一个时间段内以概率1同时进行- ∧，则这种附带索赔称为延迟/延迟附带索赔。假设第一时间段内的索赔延迟occ urs，则索赔延迟情况下的辅助效用函数或辅助离散时间剩余过程（ADTSP）由auxn（u）=u+n给出-nXi=1ViI{Si-1（u）≥ d}-n-1Xi=1Ki（Xi+WiYi）- Kn（Xn+WnYn）-^Y I{n≥1} （3）这里，^Y是代表延迟索赔的r.v，并且具有pmf P（^Y=k）=g（k）。此外，^Y具有与Y相同的分布，即^Yd=Y。^Y独立于所有其他r.v。读者可以阅读关于延迟索赔风险模型的文献[16]、[18]和[11]。我们用maux（u）表示对应于ADTSPby的Gerber-Shiu函数。给定Zτ和P（Zτ=k），当DTSP（1）变为负（从τ=u+1到∞ ) 由：ΘZτ（u）=E[ （Sτ-, |Sτ|）|τ<∞, Sτ-= u、 Zτ=X]然后，E[ΘZτ（u）]=∞Xk=u+1 （英国- u） P（X=k）。现在，我们推导了m（u）和md（u）在一段时间内的显式表达式，这是本文的主要结果之一。在第一时间段，表（1）中列出了根据权利要求和分割的不同权利要求场景的DTSP（1）和Gerber-Shiu函数的校正成分。

例如，当τ=1，K=1，W=1，V=1，S=S- 十、- Y、 =u- 十、- Y、 S=u，（2）的一个分量由下式给出∞Xk=0E[ν （S，| S |）| S=u，S=u- 十、- Y、 K=1，W=1，V=1]P（KW V=1）P（X+Y=K）=∞Xk=2E[ν （u，| k- u | | S=u，S=u- k、 k=1，W=1，V=1]P（KW V=1）P（X+Y=k）=νuXk=2m（u- k） （f）* g） （k）+∞Xk=u+1（英国- u） （f）* g） （k）E（K）E（W）E（V）（4）（4）（4）中的第一个术语是指公司未破产的情况，而第二个术语是指公司解散/破产的情况。整理表（1）中列出的结果，并使用TotalExpection定律，我们可以得到预期折扣惩罚函数（2）的显式表达式。表1：对应于无破产的DTSPK V W Sm（u）情况的Gerber-Shiu函数的分量。

无损坏的情况1 1 1 u- 十、- YuXk=2m（u- k） （f）* g） （k）∞Xk=u+1（英国- u） （f）* g） （k）1 1 0 u+1- 十、- Yu+1Xk=2m（u+1- k） （f）* g） （k）∞Xk=u+2（u+1，k- u- 1） （f）* g） （k）1 0 1 u- XuXk=1m（u- k） f（k）∞Xk=u+1（英国- u） f（k）1 0 u+1- Xu+1Xk=1m（u+1- k） f（k）∞Xk=u+2（u+1，k- u- 1） f（k）0 1-u m（u）-0 0-u+1米（u+1）-现在，在DTSP（1）中，每当d=0，我们就有，Sn=u+n-nXi=1ViI{Si-1（u）≥ 0} -n-1Xi=1Ki（Xi+Yi）- Kn（Xn+WnYn）（5）我们现在继续寻找m（u）的递归关系，如下所述：m（u）=v[1- E（K）][1- E（V）]m（u+1）+V[1- E（K）]E（V）m（u）+V E（K）E（W）[1 - E（V）]u+1Xk=2m（u+1- k） （f）* g） （k）+E（V）uXk=2m（u- k） （f）* g） （k）+ v E（K）E（W）[1 - E（V）]∞Xk=u+2（u+1，k- u- 1） （f）* g）（k）+E（V）∞Xk=u+1（英国- u） （f）* g） （k）+ v E（K）[1- E（W）][1 - E（V）]u+1Xk=1maux（u+1- k） f（k）+E（V）uXk=1maux（u- k） f（k）+ v E（K）[1- E（W）][1 - E（V）]∞Xk=u+2（u+1，k- u- 1） f（k）+E（V）∞Xk=u+1（英国- u） f（k）（6） 进一步简化，1.- 五[1- E（K）]E（V）m（u）- 五[1- E（K）][1- E（V）]m（u+1）=V E（K）E（W）”[1- E（V）]（m* f* g） （u+1）+E（V）（m）* f* g） （u）#+v E（K）[1- E（W）]“[1- E（V）]（maux* f） （u+1）+E（V）（maux* f） （u）+v E（K）[1- E（V）]E[ΘX+W Y（u+1）]+V E（K）E（V）E[ΘX+W Y（u）]（7），其中（f* g） （u）=uXk=0f（u- k） g（k）。现在，我们检查辅助效用函数Sauxn（u），即ADTSP（3），当nd=0时，在第一时间段。Sauxn=u+n-nXi=1ViI{Si-1（u）≥ 0} -n-1Xi=1Ki（Xi+WiYi）- Kn（Xn+WnYn）-^Y I{n≥1} （8）表（2）中列出了ADTSP（8）中的效用函数以及一段时间内Gerber-Shiu函数的相应成分：表2：在无破产的情况下，对应于ADTSPK V W Sauxmaux（u）的Gerber-Shiu函数的成分。