关于任意集合的随机积分

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英文标题：
《Stochastic integration with respect to arbitrary collections of
  continuous semimartingales and applications to Mathematical Finance》
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作者：
Constantinos Kardaras
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Stochastic integrals are defined with respect to a collection $P = (P_i; \\, i \\in I)$ of continuous semimartingales, imposing no assumptions on the index set $I$ and the subspace of $\\mathbb{R}^I$ where $P$ takes values. The integrals are constructed though finite-dimensional approximation, identifying the appropriate local geometry that allows extension to infinite dimensions. For local martingale integrators, the resulting space $\\mathsf{S} (P)$ of stochastic integrals has an operational characterisation via a corresponding set of integrands $\\mathsf{R} (C)$, constructed with only reference the covariation structure $C$ of $P$. This bijection between $\\mathsf{R} (C)$ and the (closed in the semimartingale topology) set $\\mathsf{S} (P)$ extends to families of continuous semimartingale integrators for which the drift process of $P$ belongs to $\\mathsf{R} (C)$. In the context of infinite-asset models in Mathematical Finance, the latter structural condition is equivalent to a certain natural form of market viability. The enriched class of wealth processes via extended stochastic integrals leads to exact analogues of optional decomposition and hedging duality as the finite-asset case. A corresponding characterisation of market completeness in this setting is provided.
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中文摘要：
随机积分是关于连续半鞅的集合$P=（P\\u i；\\，i\\in i）$定义的，不对索引集$i$和$\\mathbb{R}^i$的子空间施加任何假设，其中$P$取值。通过有限维近似构造积分，确定允许扩展到无限维的适当局部几何。对于局部鞅积分器，随机积分的结果空间$\\ mathsf{S}（P）$通过一组相应的被积函数$\\ mathsf{R}（C）$具有操作特征，该被积函数仅参考P$的协变结构$\\ C$。$\\ mathsf{R}（C）$和（半鞅拓扑中闭合的）集$\\ mathsf{S}（P）$之间的这种双射扩展到了连续半鞅积分器族，其中$P$的漂移过程属于$\\ mathsf{R}（C）$。在数学金融中的无限资产模型中，后一种结构条件相当于市场生存能力的某种自然形式。通过扩展的随机积分，财富过程的丰富类可以精确模拟有限资产情况下的可选分解和对冲对偶。在此设置中提供了相应的市场完整性特征。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Stochastic_integration_with_respect_to_arbitrary_collections_of_continuous_semim.pdf (471.82 KB)

2022-6-25 07:36:12 上传

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关键词：随机积分 Mathematical Applications Differential Quantitative

关于连续半鞅任意集合的随机积分及其在数学金融中的应用Constantinos KARDARASAbstract。随机积分定义为集合P=（Pi；i∈ 一） 在连续半鞅中，对指数集I和其中P取值的子空间不作任何假设。通过有限维近似构造积分，确定允许扩展到有限维的适当局部几何。对于局部鞅积分器，随机积分的结果空间S（P）具有一个对应的被积函数集R（C）的运算特征，该被积函数集的构造仅参考P的协变结构C。这种R（C）与（半鞅拓扑中闭合的）集S（P）之间的双射推广到连续半鞅积分器族，其中P的漂移过程属于R（C）。在数学金融中的固定资产模型中，后一种结构条件相当于市场生存能力的某种自然形式。通过扩展的随机积分，财富过程的丰富类可以精确计算出一系列可选分解和套期保值对偶，作为有限资产。在此背景下，提供了相应的市场完整性特征。介绍讨论。随机积分理论关于有限个半鞅积分器P≡ （Pi；i∈ 一） 综合而言，直到Hilbert同构，多维欧几里德空间都有一个独特有趣的几何和拓扑结构：[AB06，定理5.21]。可预测被积函数h在RI的线性泛函空间中取值，而在随机积分的元素hdP中取极小值，正式理解为h对dP的作用。

内积（和abasis）的选择仅影响被积函数的表示（和解释）。即使具有可预测的特征，如[CS05]中所述，也存在必要和充分的条件，以确保可预测过程中关于P的随机积分得到了很好的定义，并且所有可能的随机积分的向量空间关于P是封闭的。日期：2019年8月20日。2010年数学学科分类。60H05、91G10。关键词和短语。有限维随机积分；连续半鞅；数学金融；基本理论。au thor感谢Ioannis Karatzas对展会的宝贵意见和帮助。2 CONSTANTINOS-KARDARASa自然强半鞅拓扑，在[E79]中考虑，我们将其称为S-拓扑。这种封闭性在概念上很重要，本质上验证了定义随机积分的程序是以令人满意的方式进行的；它在实际意义上也很重要：除了在随机分析中有明显的价值（例如，在局部鞅的稳定子空间的研究中），它在应用概率的其他领域也有应用。数学金融中的一个领域，前一个领域在理论结果中起着至关重要的作用；我们稍后将对此进行进一步阐述。给定任意半鞅集合P≡ （Pi；i∈ 一） ，仅使用有限数量的此类积分器来限制对随机积分类的关注，通常会导致S-闭合性的失败。当然，这可以通过考虑上述类别的Stopology中的闭包来弥补；因此，我们可以抽象地定义与P相关的“扩展随机积分”的集合S（P）。

这种方法既可以使S（P）成为S-闭的，也可以避免在处理下一段中所述的有限维状态空间时的复杂性。然而，它有一个相当大的代价：抽象定义的类S（P）没有操作或结构特征。有限维状态空间中随机积分的一个可行构造涉及到确定的决策。向量空间Ri被认为太大，其乘积拓扑太弱，无法存在有趣的被积函数与积分器的线性对。通常，ONER限制P在选定的可分离Banach空间Y中取值，而hdP再次被正式解释为可预测过程h的局部作用，其值为线性泛函onY，在半鞅增量dP上。另一个决定涉及允许被积函数取值的线性函数的子类。限制对Y类的关注*对于连续线性泛函，可能不会导致S-闭，需要进行一些扩展。例如，当P是某些希尔伯特空间Y的Y值维纳过程时（定义和性质参见[DPZ14，第4.1节]），必须考虑在Y的严格子空间X上定义的非连续（无界）线性泛函中取值的被积函数；参见【CT06，第3-4章】、【DPZ14，第4章】以及【M’et82，第5章】和【MR98】。在有限维设置中，通常情况下，过程P几乎没有路径位于X上，这已经模糊了hdP作为h作用于dP的解释。对于上面的一个幻觉，让我是可数有限的，让P≡ （Pi；i∈ 一） bea独立标准布朗运动集合。

带重量（bi；i∈ 一） 这样BI>0，I∈ 一、 andPi∈Ibi<∞, 事实是PI∈Ibi | Pi |是一个单位值过程，意味着P取希尔伯特空间Y={Y中的值∈ RI | Pi∈Ibi | yi |<∞} 配备内件Y×Y （y，z）7→ hy，ZYY··=Pi∈Ibiyizi。为了r·hη，dP iY≡R·Pi∈Ibiηidpito有意义，η取Z··={Z中的值是有效的∈ RI | Pi∈I | bizi |<∞}, 严格无限维随机积分与Y的数学金融3超集* Y、 Cauchy-Schwarz不等式∈I | biziyi |≤pPi公司∈I | bizi | pPi∈I | yi |意味着从Z表示的线性泛函不作用于整个空间Y，而是作用于子空间X··={Y∈ RI | Pi∈I | yi |<∞}. 事实上，权重（bi；i∈ 一） 完全不相关：可以通过内积X×X简单地赋予X一个希尔伯特结构 （y，z）7→ hy，ziX=Pi∈Iyizi和解释者·ηdP≡R·hη，dP iX=Pi∈IηidPi。注意，X是Y的严格子集，内积h·、·ix赋予X一个比从h·、·iY继承的拓扑更严格的拓扑，并且几乎X的每一条路径都是X的livesoutside，sincePi∈I | Pi（t）|=∞ 适用于所有t>0。重要的是，正如已经提到的，希尔伯特空间（X，h·，·iX）不取决于Y的选择，即取决于选择的权重（bi；i∈ 一） 。最初将P限制为Y中的takevalue并没有实际目的；可以在不参考Y和constructX的情况下执行上述程序。事实上，确保PI∈Iηidpis正式定义为假定的定量变化过程r·P（I，j）∈I×IηidPidPjηj=R·kη（t）kXdt是有限的，因此只需要关于P的局部协变量结构的信息。捐款这项工作的目的是在连续的半鞅P的上下文中扩展上面最后一段的观点≡ （Pi；i∈ 一） 。

S-tochastic积分是以不可知的方式进行的，它没有对索引集I的结构进行任何假设，也没有对可能取值的Rit空间的先验限制。对于局部鞅积分器P，我们构造了“扩展随机积分”的S-闭空间（P）与适当的被积函数空间R（C）的拓扑双射。后者是关于随机聚合核C的再生核希尔伯特空间（rkHs）的动态版本≡ （Cij；（i，j）∈ I×I），由过程Cij··=（I，j）的计划和Pjf之间的总协变量的[Pi，Pj]组成∈ 然后将该双射推广到半鞅积分器，其结构性质是P的有限变分漂移过程集合属于空间R（C）。为了预览该计划是如何执行的，让我们回顾一下有限指数集I和连续局部m artin大风族P的情况。我们确定了RI的应用程序适当的几何结构，该几何结构专为在现场维随机积分中的扩展而定制。如前所述，为了保持直观水平，我们使用形式微分量。dP的局部协变矩阵dC作为I×I上的核，导出局部rkHs R（dC）={（dC）η|η∈ RI}（dC图像），内积满足hγ，δidC=Pi∈IηIδiwheneverγ≡ （dC）η和δ是R（dC）的元素。GivenX公司≡R·Pi∈IhidPi，其中h是可预测的且P可积的，设F=（[X，Pi]；i∈ 一） bethe X相对于P的聚集协变量过程。那么，dF=（dC）h；因此，这里和下面的“局部”是指依赖于乘积空间中的（ω，t）Ohm ×R+场景Ohm R+中的时间，其中定义了随机过程。4 CONSTANTINOS KARDARASdX=π∈IhidPi=hdF，dP idC。

此外，kdF kdC=Pi∈IhidCijhj=d[X，X]适用于X的二次变化[X，X]。直接的逆向工程表明，我们可以将被积函数的类R（C）描述为F的集合≡ （Fi；i）∈ 一） 假定的二次变分过程r·kdF kdCis具有有限值的有限变分过程。正是为了这样的F∈ R（C）随机积分XF=R·hdF，dP-idCis很好地定义并满足It^o等距[XF，XF]=R·kdF-kdC。仔细地整理细节，当我是一个任意索引集时，上述讨论就扩展了。一开始，积分增量hdF、dzidcf或聚合协变量过程sf≡ （Fi；i）∈ 一） 仅涉及与有限子集J的集成 积分器的I，有剩余的“坐标”（Fi；I∈ 然后，通过适当的自然近似，定义了一般的随机积分。更准确地说：（1）首先，构建空间R（C），仅使用定义1.1中的随机聚合核C作为输入。为了确保避免可测量性问题，施工是“从头开始”的，其灵感来自于通过有限维近似定义一般RKH的方式，而不是抽象地作为前希尔伯特空间的完成。第1节对此进行了详细说明，附录A.（2）中给出了常规rkHs的某些先决条件。其次，在连续局部鞅P=（Pi；i）的情况下∈ 一） ，由P cia Cij生成的cg=[π，Pj]，（I，j）∈ I×I，我们通过映射S（P）建立了空间R（C）和S（P）的双射（和原子同构） X 7→（[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）。

本材料构成第2节的前半部分。（3） 第三，我们研究了映射S（P）的程度 X 7→ （[X，Pi]；i∈ （一）∈当P是连续半鞅的集合时，R（C）在R（C）和S（P）之间形成一个双射，Doob-Meyer分解Pi=Ai+Mi，i∈ 一、 其中A≡（Ai；i）∈ 一） 是有限变化的连续过程≡ （Mi；i∈ 一） 是连续的局部鞅。主要观点是，结构条件∈R（C）对于S（P）来说既是必要的也是有效的 X 7→ （[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）至bea双射；S（P）的完整操作特性是可能的。这是在第2节的后半部分，以定理2.3告终。上述方法具有教学上的益处：它不需要有限维随机分析的知识，而是利用人们熟知的有限维积分理论，通过自然近似构建随机积分。RIM中使用的局部几何与一维欧氏空间最为接近：然而，应该注意的是，巴拿赫值随机过程理论既优雅又强大，有助于对随机分析有更深入的理解，尽管目前关于随机积分的方法并不严格要求这方面的知识。无限维随机积分和数学金融5RKH被赋予了内积结构，从而形成了一种拓扑结构，其中评价函数 x 7→ xi∈ RIA对每个i连续∈ 一、 而从有限维欧几里德空间中收集的直觉通常不会有陷阱。数学金融应用。资产数量有限的模型在数学金融领域得到了广泛的考虑，通常涉及（没有）套利、完整性和优化问题。

在所谓的大型金融市场的背景下，【KK94、KK98】中的前限额研究了无套利的情况，以及【DDGP05】中的后限额，其中讨论了资产单位可数模型中的套期保值和效用最大化，S拓扑起到了突出的作用。固定收益市场的理论模型涉及一系列的零息票债券，按其到期日进行指数化。在[HJM92]中，贴现债券价格的鞅性质通过一个明确连接远期利率漂移和协方差结构的条件来表征。在[BDMKR97]中，提出了债券市场交易的一个版本，使用度量值被积函数，以适应到期的连续性；即便如此，所得到的积分类也可能不是S-闭的，而使用了近似完全性等概念来规避这一事实。尽管有这些效果，但对于任意数量资产的模型，还没有像有限资产案例中的理论那样令人满意的统一处理方法；一个值得注意的例外是[CKT16]，它对具有资产完整性的市场进行了更抽象的处理，其中重新强调了S拓扑的重要性，但没有对财富过程类别进行具体的操作描述。利用目前的随机积分构造，数学金融理论的基础结果进行了必要的修改。首先，P的有限变差漂移过程集合属于空间R（C）的结构条件，允许我们用积分器R（C）来表征随机积分，这是确保（一种形式的）市场生存能力的确切必要和有效条件。

在之前的文献中，康乃馨的生存能力条件有多个，如[KK 94]中的第一类无套利，[Kab97]中的条件“BK”，以及[KK07]中的无界有界风险的无界利润。它弱于[DS94]中没有免费午餐且风险消失的条件；事实上，最薄弱的概念，连同随机积分类S（P）的S-闭性，允许证明其他基本结果，如可选的d分解定理和h边对偶。这些结果反过来允许应用[KS99、KS03]和[Mos15]的抽象结果来解决效用最大化问题。我们在第3节中演示了如何执行该计划，并证明了基本原理3.3，将市场可行性、局部鞅的存在和结构条件与∈ R（C），可选分解定理3.6及其结果，对冲对偶定理3.9，以及涉及6 CONSTANTINOS-KARDARAScompleteness的第二基本定理3.11。在§3.7中，我们通过专门研究希思·贾罗·莫顿债券市场的背景，举例说明了该理论是如何应用的。我们在这里只考虑s路径资产价格，因为当可能出现跳跃时，有限资产市场的理论变得更加微妙。事实上，【CKT16，第6节】中的一个有启发性的例子表明，即使没有免费午餐，风险消失的强烈条件也只能确保市场上存在超级鞅（但不一定是局部鞅）衰减因子。与[DS94]、[TS14]和[KKS16]中的固定资产情况相反，我们不能期望基本定理3.3的类似情况成立。符号时间将在R中不断演变+≡ [0, ∞). 所有随机元素将在过滤概率空间中定义(Ohm, F（·），P），其中F（·）=（F（t）；t型∈ R+是一个正确的连续过滤，P a概率为(Ohm, F） ，其中F≡Wt公司∈R+F（t）。