递推概率分布的计算方法

那么，对应于递归关系的方程是ξn-1（xn-1，ν）=ZRξn（xn，ν）e-iνh（xn，xn-1） f（xn，xn-1） 因此，我们对（xn）的每一点进行数值积分-1，ν）在网格上[xmin，xmax]×[νmin，νmax]，对于每个时间步。因此，从本质上讲，Fouriertransform和递归方法具有相同的时间复杂性。与傅立叶方法相比，我们的方法的一个优点是，我们不必在最后一步应用傅立叶变换来检索分布或密度函数。3应用在本节中，我们将所提出的方法应用于几个示例。在我们介绍各种不同的示例时，请注意，每个小节使用不同的符号。3.1扩散模型的数值密度本小节说明了基于递归方法数值计算各种扩散模型的概率密度或似然函数。3.1.1 CIR模型考虑平方根过程X，也称为Cox-Ingersoll-Ross模型（Cox et al.，1985），定义为：dXt=κ（θ- Xt）dt+γpXtdWt。平方根过程X=xto Xt=X的转移概率密度函数由f（X | X）=c exp给出(-u-c（x+x））c（x+x）uq/2Iqpuc（x+x）式中，C=2κ（1- 经验值(-κt））γ，u=cxexp(-κt），q=2κθ/γ- 1和IQ表示第一类q阶的修正贝塞尔函数。虽然密度函数的闭合形式解可用，但出于说明目的，我们研究了基于递归关系和离散化的近似方法，以计算某些tN的概率密度函数。

的近似分布Xn=Xn- Xn公司-1带t=tn- 田纳西州-1典型蒙特卡罗模拟中的正态分布如下：Xn公司~ Nκ(θ - Xn公司-1)t、 γpXn-1.Leth（xi）-1，xi）=xi- xi-1，thenY=NXi=1h（Xi-1，Xi）=XN- x和递归方法可用于计算Y的分布，即XN- 十、 对于递归方法的被积函数，我们使用条件概率密度函数fn（y | xn）。我们使用条件分布函数Fn（y | xn）得到了类似的结果。图2比较了数值计算的密度函数、闭式公式和模拟结果。平方根过程的参数设置为κ=11，θ=0.2，γ=1.5，数值过程的参数设置为t=1/1250，N=100，[xmin，xmax]=[0，0.6]x=0.002；y域的间隔数为1000。时间是按年计算的，因此，tN=20天。在图2的左侧，基于递归方法的数值计算密度函数非常接近闭式公式和模拟直方图。在图2的右侧，条件密度fY | Xis绘制为X=X和-0.5 0.5 101234数值闭式模拟00.6220.44x1y0.2600-1图2：CIR模型的概率密度函数（左）和fY | X（y | X）（右）200 400 600 800 100000.050.10.150.2rms图3：CIR模型概率密度函数的全局误差y=XN- X=y。

如图3.3.1.2所示，整体误差随着y轴区间数的增加而减少。恒定方差弹性模型（CEV）通过股票价格过程中的以下公式确定波动率的杠杆效应与资产价格呈负相关（Cox和Ross，1976）：dXt=uXtdt+σXγtdWt。股票价格分布的封闭式公式未知，值得用数值方法计算密度函数。使用与前一小节中平方根过程相同的方法计算条件概率密度函数。图4给出了Y，fY | X（Y | X）的条件概率密度函数以及X=1的X的密度函数。将数值概率密度函数与模拟直方图进行比较，表明递归方法生成的密度函数更精确。CEV模型示例的参数设置为0.6 0.8 1 1.2 1.40123450.5021.54y0x6180.5-0.5图4：CEV模型（左）和fY | X（y | X）（右）的概率密度函数u=0.05，σ=0.2，γ=0.7。对于数值过程，t=1/1250，N=200，[xmin，xmax]=[0.5，1.5]x=0.005，y轴上的间隔数为200，动态分配公差为10-8.3.1.3随机波动率模型和综合方差本小节根据各种随机波动率模型的数值似然法计算概率密度函数。考虑一个随机波动率模型，使得dvt=κVa（θ- Vt）dt+γvbdwt，参数为a∈ {0，1}和b∈ {1/2, 1, 3/2}. 该分类来自Christo Offersenet al.（2010）。

当a=0且b=1/2时，平方根过程用于随机波动率，如Heston（1993）所述。除a和b外，我们确定参数设置κ=11，θ=0.2，γ=0.8，V=0.2，对于数值程序，t=1/1250，N=100。图5给出了数值计算的各种概率密度函数。对于随机波动率模型，数值概率密度函数接近模拟直方图。综合方差由IVT=tZtVsds确定。众所周知，随机波动率模型中的已实现方差收敛于综合方差（Barndorff-Nielsen，2002）。然而，随机波动率综合方差的无条件分布的封闭式公式通常未知。有关a ffine模型特殊情况的讨论，请参见Broadie和Kaya（2006）。由于方差过程是不可观测的，有时综合方差更有趣，因为它可以被潜在收益的二次过程近似。使用h（xn，xn+1）=xn和近似ivt的递归方法≈NNXn=1Vn，0 0.4 0.801234数值闭式模拟（a）a=0，b=1/20 0.4 0.80123数值模拟（b）a=1，b=1/20 0.2 0.4 0.602468数值模拟（c）a=0，b=10 0.2 0.4 0.60246数值模拟（d）a=1，b=10.1 0.2 0.3051015数值模拟（e）a=0，b=3/20.1 0.3 0.3 404812数值模拟（f）a=1，b=3/2图5：Y=VT的概率密度函数-对于各种随机波动率模型，各种随机模型下综合方差的概率密度函数如图6所示。除了h的公式外，基本设置与以前的情况相同。

与模拟结果相比，数值密度函数对于所有随机波动率模型都是精确的。3.2 GARCH模型我们不仅可以计算连续模型的数值密度函数，还可以计算离散时间模型的数值密度函数。考虑方差σ和对数回报ε的GARCH模型（Bollerslev，1986）：σn+1=ω+βσn+αεn，εn~ N（0，σN）。我们对时间N方差σN和总回报的分布感兴趣，PNi=1εi。给定σnis的αεnw的条件分布由伽马分布表示，使得αεN |σN~ Γ, 2ασn,其中，Γ（，）的第一个参数是形状参数，第二个参数是伽马分布中的尺度参数。因此，从σ到σn+1的转移概率可以用移位的伽马概率密度函数表示，使得fσn+1 |σn（x）=exp-2ασnx-ω-βσnp2ασn（x- ω - βσn）Γ（1/2）。首先，让我们检查给定σ的σnw的分布。由于转移概率密度fσn+1 |σ的闭合形式可用，通过设置h（xn，xn+1）=xn+1- xn，因此Y=σN- σ、 该理论基于递归方法。由于概率密度函数包含一个非光滑点，因此对于递归过程，最好使用累积分布函数Fn。图7显示了模拟GARCH过程的历史图和数值计算的密度函数σnw，N=20。对于参数设置，我们使用ω=0.001、α=0.05和β=0.9。对于numericalprocedure，x-grid设置为[xmin，xmax]=[0.01，0.05]，其中x=0.0002，y轴的间隔数为150。y的公差级别为10-图的右侧表示F的典型形状。

对于沿x轴的任何起点x，沿Y轴检索Y的条件累积分布函数。其次，我们设置h（xn，xn+1）=xn/N，Y=PNi=1σN/N，computePNi=1εi。SinceNXi=1εiNNXi=1σn根据条件正态分布，我们可以计算从时间到时间tN的总对数回报。图8给出了结果。左侧是Pni=1σn/n的概率密度函数，右侧是Pni=1εiis的概率密度函数。图中显示，数值计算的GARCH收益率分布与模拟结果接近。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60246数值模拟（a）a=0，b=1/20 0.2 0.4 0.6024数值模拟（b）a=1，b=1/20.1 0.2 0.3 0.404812数值模拟（c）a=0，b=10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5048数值模拟（d）a=1，b=10.16 0.2 0.24 0.280102030数值模拟（e）a=0，b=0=3/20.1 0.2 0.301020数值模拟（f）a=1，b=3/2图6：综合方差的概率密度函数Y=ivt与各种随机波动率模型-0.01 0.01 0.02 0.030408012000.060.04x0.10.50.020.05y00-0.051图7：GARCH方差（左）和F（Y | x）（右）的概率密度函数0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80246810-3-2-1 0 1 2 300.20.40.6图8：GARCH方差和的概率密度函数（左）和收益率（右）3.3套期保值错误许多研究人员，如Sepp（2012），研究了时间离散化下期权套期保值策略产生的错误。我们在一个框架中考虑对冲误差，在这个框架中，基本过程遵循指数L’evy模型，如Madan等人（1998年）。本小节可被视为Park等人（2016）的延伸。设γt是一个γ过程，它是一个具有独立和γ分布增量的L'evy过程，平均速率参数为1，方差参数为ν。

换句话说，γ的l'evy度量由νz表示-1exp(-z/ν）对于跳跃大小z。假设风险中性度量下的基础资产价格遵循指数方差gammamodel：St=Sexp（rt+Xt+ωt）（8），其中Xt是由时间变化的布朗运动表示的方差gamma过程Xt=θγt+σWγtandω=（1/ν）log（1- θν -σν). 方差gamma过程的L'evy度量由k（z）dz=expθzσν| z | exp表示-qν+θσ| z|dz。Madan等人（1998年）推导了S=1时的St概率密度函数，如下所示：f（x）=Z∞σ√2πgexp-（十）- θg）2σggtν-1exp-gννtνΓ（t/ν）dg。根据上述公式，可以通过数值积分计算从S（tn）=xnto S（tn+1）=xn+1的转移概率密度函数。在方差伽马过程下，有几种实用的方法来计算欧式看涨期权价格。我们使用基于阻尼期权价格的快速傅立叶变换方法如下：eαlog KEQ[e-rT（ST- K） +]对于某些常数，α，如Carr和Madan（1999）所述。在该设置下，S=1且到期日为T的Europeancall option价格用bye表示-αlog KπZ∞e-iv日志Ke-rTψT（v- （α+1）i）α+α-v+i（2α+1）vdvwhereψT（u）=EQ[eiu log ST]。我们测试了欧式看涨期权C的两种套期保值方式：delta套期保值和最小方差套期保值，正如F¨ollmer和Sondermann（1986）提出的那样。方差gamma模型下欧洲看涨期权的最小方差套期保值比率C由φt=St表示-Rk（dz）（ez）- 1） [C（t，St-ez）- C（t，St-)]R（ez- 1） k（dz）。有关更详细的解释，请参阅Cont等人（2007）。考虑在看涨期权中持有空头头寸的投资者，以及在基础资产中持有多头头寸的对冲策略。

在交易策略φ下，Timetian和ti+1之间的交易误差由ti+1-对冲组合的实现价值和无风险资产价格之间的差异确定，如下所示：φtiSti+1- Cti+1- （1+rδt）（φtiSti- Cti）。总误差为nxi=1{φiSi+1- Ci+1- （1+rδt）（φiSi- Ci）}。（9） 同样，对于delta对冲策略，总误差为nxi=1{DiSi+1- Ci+1- （1+rδt）（DiSi- Ci）}（10），其中D表示delta套期保值比率。因为方程中的求和中的项。（9） 和（10）是基础过程的函数，我们可以应用数值递归方法计算套期保值误差的分布。图9将欧洲看涨期权的delta hedgingerrors（左）和最小方差对冲误差（右）的数值计算概率密度函数与模拟直方图进行了比较。欧洲看涨期权的执行价格K=0.9、1、1.05，图9中S=1从上到下排列。参数设置为σ=0.2，θ=1.2，ν=0.001，r=0.02，δt=1/250.3.4算术亚洲期权如上所述，亚洲期权是一种金融衍生工具，比欧洲期权对操纵潜在资产价格更为稳健。由于算术亚洲期权价格的封闭式公式未知，因此通常使用模拟、近似或计算方法。递归方法也可用于计算算术亚洲期权价格。让我们来看一个基础资产价格过程。观察点t、····、tN=t上的算术亚式期权价格，执行价格为K，由以下等式表示：NNXi=1Si- K+其中，预期为风险中性概率。为了计算上述期望，我们需要计算Y=NPNi=1Si的分布。

使用递归方法，设置h（xi-1，xi）=xi/N，或h（xi-1，xi）=xi，然后，重新缩放分布，我们可以计算Y的风险中性分布。只要风险中性转移概率可用，亚式期权价格就使用递归方法确定。以下是Lee（2014）提出的替代方法。我们假设股票价格过程遵循方差伽马过程，如等式（8）所示。参数设置为σ=0.2、θ=1.2、ν=0.001、r=0.02和S=1。除h的函数形式外，整体方法与第3.3小节中的方法相同。图10给出了数值方法和模拟之间的比较，两个结果非常相似。3.5偏态检验在本节中，我们将检验所提出的递归方法如何用于资产收益三阶矩的假设检验。资产收益率的分布倾向于向左倾斜。虽然通常不容易测量转角分布的准确三阶矩，但三阶矩的重要性已得到公认和广泛研究（Kraus和Litzenberger，1976；Harvey和Siddique，2000）。设R为平稳返回过程。对于假设检验，无效假设isH:E[(R） ]=0，备选假设为H:E[(R） ]<0。例如，考虑跳跃扩散模型如下：dRt=udt+σWt+jdnt其中u是漂移，σ是波动性，N是强度为λ的泊松过程，J遵循平均uJand和标准偏差σJ的正态分布。

为简单起见，我们设置u=-λuJ，如图9：行使K=0.9，1，1.05自上而下，S=10.8 0.9 1 1.1 1.2strike00.050.10.150.20.25价格数值模拟图10：通过数值方法计算的亚式期权价格与蒙特卡罗模拟R成为鞅的比较（关于适当的过滤）。在此假设下，统计假设可以修改如下：H：uJ=0，H：uJ<0。睾丸类似于简单t检验；但是(R） 不遵循正态分布，因此，计算(R） 使用递归方法。我们计算了临界值，这些临界值决定了在给定显著性水平下，在零假设下α=0.05的样本是否拒绝零假设（见图11）。当检验统计量被拒绝时，完全假设被拒绝；的样本平均值(R） 小于给定样本量下相应的临界值。为了计算临界值，使用(R） 计算为h（xn，xn+1）=（xn+1- xn）和假定参数设置λ=10，σJ=0.01，uJ=0和σ=0.1975。统计幂，通常用1表示- β、 是当无效假设无效时，测试正确弹出无效假设的概率。我们检查了幂曲线样本大小，其中uJis假定为-0.05表示负偏度，其他参数与前一种情况相同。图11的右侧显示了功率曲线随样本量的增加而增加。曲线表明，如果我们看到90%的统计功效，该模型将需要大约90个样本。