用对称Hawkes和

Da Fonseca和Zaatour（2014a）中的命题2显示了平均签名图的公式：ν∧κ+ (1 -κ)(1 -e-τγγτ.根据平均签名图的定义，通过设置τ=t并将平均签名图乘以t/S（0），公式的含义与Var相同St公司-不锈钢在本文的命题1中。如果我们用本文中使用的符号重写Da Fonseca和Zaatour（2014a）的公式，那么我们有2Δλ（0）sξβt+（αs- αc）- 2β（αs- αc）eξt- 1ξ.这个公式的结果不同于指数项下的命题公式。然而，如备注2所述，如果t较大，则指数项可忽略不计。2.4模拟研究在本小节中，对对称Hawkes过程进行模拟研究。通过预先确定的参数设置，生成了500条价格过程的样本路径，这些路径由两个对称霍克斯过程之间的差异定义，时间跨度为5.5小时。对于每条路径，使用模拟路径的实际到达时间执行最大似然估计。表1列出了结果。关于模拟方法的详细信息，请参见B，关于可能性估计，请参见C。该表由两个面板组成，具有不同的参数设置。行“平均值”表示500个样本的似然估计的样本平均值。行“std.”表示估计的样本标准偏差。“H.vol”列表示挥发度估计值的平均值，该估计值是使用命题3通过u、αs、αc、β的似然估计值计算得出的。这与“真”行中命题3计算的理论波动率进行了比较。“TSRV”一栏报告了Zhang等人（2005）提出的双标度已实现波动率（TSRV），已知该波动率在存在独立市场微观结构噪声的情况下是无偏的。

对于TSRV计算，小时间尺度为1秒，大时间尺度为5分钟。霍克斯波动率和TSRV都非常接近波动率的真实值。霍克斯波动率的标准差小于TSRV的标准差，这意味着极大似然估计的效率。更准确地说，在霍克斯模型的最大似然估计中，使用了有关事件到达时间的所有信息，而没有遗漏观察期内的单个事件。另一方面，在计算等距离设置下的实际挥发分时，需要选择属于区间子网格的特定点。对称Hawkes模型的似然函数可能不是凹的，但当β固定时是凹的。对于任何给定的观测跳变时间ti，上跳变间隔[0，T]的对数似然函数为log L（T）=ZTlogλ（u）dN（u）-ZTλ（u）du=Xti<Tlogλ（ti）-Ztiti公司-1λ（u）du！-ZTtNλ（u）du=Xti<T对数λ（ti）-eβτi- 1βλ（ti）-eβ（T-tN）- 1βλ（T），其中tn是T之前的最后一次跳跃时间，τi=ti+1-ti。使用公式（5），术语logλ（ti）-eβτi-1βλ（ti）用对数λ（ti）表示-eβτi- 1βλ（ti）=对数λ（0）e-βti+u（1-e-βti）+αsZtie-β（ti-u） dN（u）+αcZtie-β（ti-u） dN（u）-eβτi- 1βλ（0）e-βti+u（1-e-βti）+αsZtie-β（ti-u） dN（u）+αcZtie-β（ti-u） dN（u）.当β固定时，该项用对数λ（ti）表示-1.-e-βτiβλ（ti）=对数（ci，0+ci，1u+ci，2αs+ci，3αc）-eβτi- 1β（ci，0+ci，1u+ci，2αs+ci，3αc）表示一些常数ci，0，ci，1，ci，2和ci，3。

通过简单计算，我们得到了关于u，αs，αcisH1，i=λ（ti）的项的负半定义Hessianmatrix-ci，1-ci、1ci、2-ci、1ci、3-ci、1ci、2-ci，2-ci、2ci、3-ci、1ci、3-ci、2ci、3-ci，3.同样，我们定义了H2，i，且对数L（T）的Hessian矩阵为H=Pti<T（H1，i+H2，i），这也是一个负半定义，并暗示当β固定时，对数似然函数是条件凹的。这意味着，如果我们计算一组合理β的每个值的对数似然，（一个数字程序将很好地完成这项任务，因为对数似然函数对于任何固定β都是凹的），并且通过比较计算值，我们可以找到最大对数似然。因此，我们为β设置了一个可能的区间，例如，β∈ [1，3]，并且步长非常小，例如0.0001，我们可以找到使对数似然足够接近最大对数似然的估计值。表1的上述模拟集示例如图1所示。虽然上述方法可以保证找到最大值，但由于耗时，我们通常使用数值过程，如基于牛顿法的BFGS算法来找到最大似然估计值。虽然BFGS算法对非凸函数的全局收敛性的证明尚不清楚，但也知道在大多数情况下全局收敛效果良好（Li和Fukushima，2001）。有关该算法及其实现的更多信息，请咨询Broyden（1970）和Nash等人（2014）。在本次仿真研究中，两种方法的结果非常接近。对于模拟集1，通过拟合β计算的估计值为u=0.0099，αs=0.6590，αc=0.0.4864，β=2.0646，通过BFGS算法计算的估计值为u=0.0099，αs=0.6590，αc=0.4864，β=2.0346。

对于模拟集2，通过拟合β计算的估计值为u=0.0502，αs=0.6273，αc=0.2085，β=1.6861，通过BFGS算法计算的估计值为u=0.0502，αs=0.6272，αc=0.2084，β=1.6860。在此处未记录的其他模拟示例中，BFGS算法与筛选β的方法相比总是产生非常相似的结果。由于拟合β的方法相对耗时，通过假设BFGS算法提供非常准确的估计，我们在未来的估计中使用BFGS算法。1 2 3β-3080-3040-3000log-likelihood1 2 3β-1.095-1.09-1.085log-likelikey×104图1：模拟集1（左）和2（右）3扩散模拟中β固定时的最大对数似然函数3.1扩散模型本小节为勾号结构提出了一种新的扩散方法。扩散模型类似于对称霍克斯模型，具有类似的概率特性。当价格过程由两个霍克斯过程的差异表示时，价格过程的增量可以重写为S（t）={δ（N（t）-N（t））}=δ（λ（t）-λ（t））t+δpλ（t）N（t）-λ（t）tpλ（t）t型√t型-δpλ（t）N（t）-λ（t）tpλ（t）t型√t、 根据实证研究，在一分钟内观察到大量价格变化，因此是泊松分布的正态近似值镍（t）-λi（t）tpλi（t）t型~ 可以考虑N（0，1）。因此，考虑与对称Hawkesmodel（如δpλ（t）dN（t））的差异类比是很自然的-λ（t）dtpλ（t）- δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）≈ δpλ（t）dB（t）+δpλ（t）dB（t）对于一些独立的布朗运动B带。通过独立性，极小方差变为δpλ（t）dB（t）+δpλ（t）dB（t）= 对于某些布朗运动，δ（λ（t）+λ（t））dt可以写成δpλ（t）+λ（t）dWst=δpλ（t）dB（t）+δpλ（t）dB（t）。在左侧，δ（λ（t）+λ（t））作为价格过程的瞬时方差vt。

此外，通过处理δ（λ（t）-λ（t））作为价格过程的平均过程Nto，可以推导出价格过程的差异类比如下：dSt=ntdt+pVtdWst。（9） 现在构建了NTA和VT的差异类比。这是因为，根据λi（t）的定义，d{δ（λ（t）-λ（t））}=（αs- αc- β） δ（λ（t）-λ（t））dt+（αs- αc）（δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）- δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）），letdnt=（as- 交流电- b） ntdt+（as- ac）pVtdWst=：-κntdt+φpvtdwst，其中as、ac、b分别是αs、αc、β的扩散对应物。价格动态的微观结构与宏观动态略有不同，因为在价格过程中观察到非零漂移项。微观动力学中的漂移项也称为微观结构噪声，与霍克斯模型中的相互激发特征有关。此外，由于{δ（λ（t）+λ（t））}={2β|δ+（αs+αc- β） δ（λ（t）+λ（t））}dt+δ（αs+αc）（δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）+δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）），在类似漂移参数下，如vt=δ（λ（t）+λ（t）），pVtdWvt=δpλ（t）dB（t）-δpλ（t）dB（t）=δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t）+δpλ（t）dN（t）-λ（t）dtpλ（t），Heston（1993）中介绍的常见平方根方差过程是：dVt=（b-像- 交流）2bmδb-像- 交流电- 及物动词dt+δ（as+ac）pVtdWvt=：κ（θ- Vt）dt+γpVtdWvt。其中m是u的扩散对应物。在此推理中，满足d[Ws，Wv]t=ρtdt的相关性ρ用ρt=λ（t）表示-λ（t）λ（t）+λ（t）。此外，如果在足够长的时间间隔内没有跳跃，因此λ（t）→ λ∞和λ（t）→ λ∞,然后ρt→ 0。即使ρ由λs表示或收敛到零，我们认为为了模型的灵活性，最好放松该约束。请注意，上述推导并不是一个精确的数学证明，而是为了提供一种直觉，为价格动力学的微观结构构建一个差异模型。

例如，如有必要，价格动态中的不对称性可以简单地通过一个常数杠杆参数ρ引入，这样在典型的宏观价格动态建模中，d[Ws，Wv]t=ρdtas。总体而言，价格、均值和方差过程如下：dSt=ntdt+pVtdWst，dnt=-κntdt+φpVtdWst，dVt=κ（θ- Vt）dt+γpVtdWvt，d[Ws，Wv]t=ρdt，参数关系：κ=b-as+acκ=b-像- acθ=2bmδb-像- acγ=δ（as+ac）φ=as- ac=γδ- κ+ κ.997 998 999 1000 1001 1002 100300.40.8图2：通过30秒（右）的模拟，数值计算出由差异模型驱动的价格概率密度函数和霍克斯模型价格直方图。注意，通过这种类比，κ对应于-对称Hawkes模型中的ξ和κ对应于-ξ. 扩散模型不是（对称）霍克斯模型的精确数学极限，但与霍克斯模型具有非常密切的分布特性。有关霍克斯过程极限理论的最新研究，请咨询Jaisson等人（2015）。3.2基本特性扩散模型有几个优点。首先，通过前向Kolmogorov方程，s=St，n=nt，v=v的扩散模型的联合概率密度函数f（s，n，v，t）在时间t为以下偏微分方程ft=- nfs+κnnf公司- κv（θ- v） f+vfs+φvfn+γvvf+φvfsn+γρφnvvf+γρsVvfan密度函数可通过有限差分法等数值程序计算。更准确地说，因为变量s仅出现在上述方程中的导数算子中，为了减少偏微分方程的维数，考虑f相对于s的傅里叶变换。即^f（n，v，t；ψ）=Z∞-∞f（s，n，v，t）e-iψs和f沙fsare iψ^f和-ψ^f。

因此，通过将Fourier变换应用于PDE，^ft=（γρφ+κn+iφψv）^fn+φv^fn个+-κ(θ - v） +γ+iγρψv^fv+γv^fv+γρφv^fn五+iψ（γρ）- n）-ψv+κ+κ^f。可通过数值程序计算转换函数^f，并通过对计算的^f应用傅立叶逆变换生成价格的概率密度函数。图2比较了扩散模型的分布和相应霍克斯过程的模拟直方图。参数设置为u=m=0.09，αs=as=0.6，αc=ac=0.3，β=b=2.5，δ=0.2，s=1000，时间范围为30秒。其次，由于扩散过程的分析简单，与对称霍克斯模型相比，扩散模型中方差公式的推导相对简单。推导10:00 12:00 14:00 15:3000.0060.012波动性扩散模型（a）由Diffusion模型计算的波动性10:00 12:00 14:00 15:3000.0060.012由对称Hawkes模型计算的波动性图3：由Diffusion模型和symmetricHawkes模型计算的波动性之间的比较为简单起见，收益的方差公式，假设方差过程VT在时间0处于静态状态。这是一个类似的假设，即symmetricHawkes模型中的强度过程在时间0时处于稳态。如果VTI在时间0处于平稳状态，则V=θ=2bmδb-像- A自E[Vs]=θ以来，中兴通讯[Vs]ds=2bmδtb-像- ac.类似地，如果平均过程在时间0时处于平稳状态，则n=0。提案4。假设价格过程S遵循等式（9），瞬时方差V和平均过程n在时间0时处于平稳状态。回报的方差为isVarSt公司- 不锈钢=S（φθ-e-2κt+4e-κt- 3+2κt2κ+2φθ（κt-1+e-κt）κ+θt）。证据

见E。如果t足够大，则方差用VaR近似St公司- 不锈钢≈Sφθtκ+2φθtκ+θt=bθtSκ，类似于备注2。当φ=0时，即价格过程的漂移为零，收益的方差仅为θt/S。图3中，将由命题4计算的扩散模型的波动率和由命题3计算的对称霍克斯模型的波动率与以下参数设置αS=as=1.2，αc=ac=0.3，β=b=2.2，u=m=0.01，δ/S=0.002进行比较。波动率没有年率化，表现出随时间增长的形状。这两种波动性非常接近。图4显示了作为固定θ=4×10的κ和φ函数的年化波动率表面-9、固定κ，增加φ=as- ac（当自激系数大于互激系数ac时）波动性增加。这一结果是预期的，因为自激效率与贸易集群相关。波动率相对于φ的增长率取决于κ的水平。因为κ=b-φ、 对于固定φ，大κ意味着大b和短持续性。此外，一个小的κ意味着asmall b和长时间的持续性。因此，当φ<0时，即相互激发效应大于自激效应，相互激发效应的持续时间越长（κ越小），意味着波动性越小，持续时间越短，意味着波动性越大。另一方面，当φ>0时，即自激效应大于互激效应，自激效应的持续时间更长-0.500.5123450.050.10.150.20.25φκ1波动率图4：作为κ和φ函数的年化波动率表面意味着较大的波动率，而较短的持续时间意味着较小的波动率。

图4显示了这种对比，根据φ是否>0，相对于κ的波动率斜率的不同符号。由于有许多研究集中于存在市场微观结构噪声时实现方差的行为，因此本研究还检验了差异模型下的实现方差。考虑时间步长为τ的离散化时间间隔[0，T]。为方便起见，设T/τ为整数。在一段时间间隔内，通过收益率二次变化的有限和近似值来确定化方差。固定区间上的特征图是区间上的已实现方差，定义为τ：bC（τ）=TT/τXn=0（R（n+1）τ的函数- Rnτ），其中R=（St- S） /Sis返回过程。（根据上下文，R可以是日志返回过程。）上述公式实际上是对已实现方差的定义，即半鞅理论在不存在微观结构噪声的情况下对收益真实方差的一致估计。另一方面，实证研究表明，由于微观结构噪声或聚类特性，实现的方差取决于分区τ的大小（Hansen和Lunde，2006；Da Fonseca和Zaatour，2014b）。对于扩散模型，在四次收益率时间序列的平稳性假设下，（R（n+1）τ- Rnτ），平均特征图isC（τ）=E[bC（τ）]=τE[（R（n+1）τ- Rnτ）]=τS（φθ-e-2κτ+4e-κτ- 3 + 2κτ2κ+2φθ (κτ - 1+e-κτ)κ+ θτ).图5显示了平均特征图，左侧为φ，右侧为κ。对于参数设置，S=1，θ=2×10-8和κ=0.5（左）和φ=-右侧0.3。φ为负值时，意味着as<Ac和更明显的自激效应，当τ接近零时，平均特征图增加。

另一方面，对于正φ，意味着as<Ac和更明显的自激效应，平均特征图随着τ接近零而减小。在这两种情况下，当τ太小时，实际方差和真实方差之间存在偏差，这与统计学中的传统理解相反，即在大样本量下获得更准确的结果。此外，对于足够大的τ，预期实现方差收敛。第三，如前所述，利用杠杆参数ρ可以很容易地引入价格分布的不对称性。该方法是用于在宏观价格动态中引入不对称的方法的自然扩展。霍克斯模型中的不对称性是一个正在进行的研究课题，例如，咨询El Euch等人（2016）。在我们的符号和设置中，非对称霍克斯模型Ine-Euch et al.（2016）可被视为方程（1）和（2）的霍克斯模型，其中α=ηα，α=α+（η- 1） α60 120 180 240 30000.050.100.150.200.250.300.35SecondMean特征图φ=-0.5φ = -0.3φ=0.0φ=0.1φ=0.360 120 180 240 30000.020.040.060.080.10二次平均特征图κ1=0.5κ1=1.0κ1=2.0图5：固定κ=0.5，不同φ（左）和固定φ=-0.3和各种κ（右），其中η是新引入的参数。人们认为，有许多可能的方法可以将不对称性纳入霍克斯模型。一般来说，估算扩散模型中的ρ并非易事（Ait Sahalia et al.，2013）。估算ρ的一种方法是使用Lee（2016）中的力矩法。设[X，Y]表示过程X和Y之间的二次协变量过程，即[X，Y]t=XtYt-ZtXs公司-dYs公司-中兴通讯-dXs=XY+lim | |πn||→0Xi（Xi+1- Xi）（易+1- Yi）对于概率极限为πnw的随机划分序列。