三阶方差掉期尾部套期组合的绩效

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英文标题：
《Performance of tail hedged portfolio with third moment variation swap》
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作者：
Kyungsub Lee and Byoung Ki Seo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The third moment variation of a financial asset return process is defined by the quadratic covariation between the return and square return processes. The skew and fat tail risk of an underlying asset can be hedged using a third moment variation swap under which a predetermined fixed leg and the floating leg of the realized third moment variation are exchanged. The probability density function of the hedged portfolio with the third moment variation swap was examined using a partial differential equation approach. An alternating direction implicit method was used for numerical analysis of the partial differential equation. Under the stochastic volatility and jump diffusion stochastic volatility models, the distributions of the hedged portfolio return are symmetric and have more Gaussian-like thin-tails.
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中文摘要：
金融资产收益过程的三阶矩变化由收益和平方收益过程之间的二次协变量定义。标的资产的倾斜和厚尾风险可以使用第三时刻变动掉期进行对冲，在该掉期中，预先确定的固定支腿和已实现的第三时刻变动的浮动支腿进行交换。利用偏微分方程方法研究了三阶矩变动掉期套期组合的概率密度函数。采用交替方向隐式方法对偏微分方程进行数值分析。在随机波动率和跳扩散随机波动率模型下，套期保值投资组合收益率的分布是对称的，并且具有更多的高斯细尾。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Performance_of_tail_hedged_portfolio_with_third_moment_variation_swap.pdf (840.26 KB)

2022-6-25 08:17:16 上传

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关键词：Quantitative Applications Differential Optimization distribution

具有三阶矩变量的尾部对冲投资组合的绩效Swapkyungsub Lee*+和Byoung Ki Seo？§摘要金融资产回报过程的三阶矩变化由回报和平方回报过程之间的二次协变量定义。可使用第三时刻变动掉期对冲基础资产的倾斜和厚尾风险，在该掉期下，可交换已实现第三时刻变动的预定固定支腿和浮动支腿。采用偏微分方程方法研究了三阶矩变量掉期套期投资组合的概率密度函数。采用交替方向隐式方法对偏微分方程进行数值分析。在随机波动率和跳差随机波动率模型下，套期保值投资组合收益率的分布是对称的，并且具有更多的高斯细尾。1引言与非正态分布相比，金融资产回报的分布呈负偏态，且具有厚尾。出于风险管理、资产定价和对冲目的，考虑回报分布的高阶矩非常重要。尽管它们很重要，但由于估值器的偏差较大，很难通过平均样本收益的三、四次方来精确测量资产收益的三、四次方。估计收益分布三阶矩的方法之一是使用基于高频数据的收益三阶矩变化过程。第三个时刻的变化被定义为固定时间段内收益率与其平方过程之间的二次协变量（Choe和Lee，2014）。这种方法是不断增长的关于已实现收益方差的文献的延伸，包括Barndorff-Nielsen和Shephard（2002），Andersen等人。

（2003）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2004）、汉森和伦德（2006）、麦克兰和张（2009）以及王和麦克兰（2014）。同样，对于已实现的方差，三阶矩方差作为一种估计量具有良好的性质，例如在鞅假设下的一致性、相对效率和无偏性（Lee，2015）。*韩国庆宁岛庆南大学统计系，邮编38541+这项工作得到了2015年庆南大学研究基金的支持韩国蔚山44919蔚山大学工商管理学院§Byoung Ki Seo得到了蔚山国家科学技术研究院（UNIST）2012年研究基金（1.120071.01）的支持。此外，三阶矩变化可以在对冲收益分布的偏尾和厚尾风险方面发挥重要作用。想要对冲倾斜和尾部风险的投资者可以签订第三时刻变动掉期合约，在该掉期合约下，预定的固定支腿和已实现的第三时刻变动的负值，即浮动支腿，在到期时进行交换。第三时刻变动掉期的基本交易机制类似于变动掉期。如果标的资产价格暴跌，则波动段可能具有正值，因为第三时刻变化本身可能在曲线中具有负值，而掉期的波动段被定义为第三时刻变化的负值。因此，投资者可以通过互换的浮动部分补偿基础资产的损失。因此，总投资组合的回报率比标的资产的回报率更符合高斯分布。关于交易偏斜风险的类似研究也有报道。

Schoutens（2005）根据对数回报的第k次方的有限和定义了动量掉期，并表明方差掉期的hedgengperformance可以通过第三时刻掉期来增强，其中第三时刻掉期被定义为与我们的方法不同。Neuberger（2012）构建了一种类似的偏斜掉期方法，但这也是基于偏斜度量的不同定义，重点是聚集属性。Kozhanet al.（2013）通过对扭曲掉期的定义，研究了股票指数市场中的扭曲风险溢价。有关资产回报偏斜的财务研究的更多信息，请参见Kraus和Litzenberger（1976）、Harveyand Siddique（1999）、Harvey和Siddique（2000）、Bakshi等人（2003）和Christo Offersen等人（2006）。本研究以偏微分方程为基础，考察了第三动量变化掉期套期保值组合的收益分布。根据第三动量变化掉期的定义，在随机波动率和跳跃差异模型下，套期保值投资组合和基础收益的联合概率密度函数由偏微分方程表示。采用交替方向隐式方法（ADI）计算概率密度函数。ADI格式是偏微分方程数值解的有效算法，有金融应用，如In\'t Hout和Foulon（2010）、Haentjens和In\'t Hout（2012）、Jeong和Kim（2013）以及Haentjens和In\'t Hout（2015）。

数值结果表明，在随机波动率和随机波动率跳跃模型下，三阶矩变化掉期在偏度和峰度方面对冲了标的资产收益分布的厚尾。本文的其余部分组织如下：第2节解释了第三力矩掉期的结构，并检验了基于标准普尔500指数收益率序列的实证表现。在第3节中，概率密度函数是在随机波动率模型下计算的。第4节将结果推广到跳跃扩散随机波动率模型。第五部分对论文进行了总结。2三阶矩变化掉期2.1基本机制本小节简要回顾了Choe和Lee（2014）引入的三阶矩掉期对冲偏斜和尾部风险的结构，并使用标准普尔500指数检验了对冲绩效。掉期是基于被称为回报过程第三时刻变化的数量。（更准确地说，这是一个协变量，但为简单起见，它被称为第三时刻变量。）半鞅回归过程R的三阶矩变化由回归过程与其平方过程之间的二次协变量定义如下：[R，R]t=limkπnk→0NXi=1（Rti- Rti公司-1） （Rti- Rti公司-1） 在概率中，πnis是一个0=t<···<tN=t的分区序列，kπnk是该分区的网格。此外，[R，R]t=[R，R]ct+X0<s≤t型卢比卢比= 2ZtRu-d[R]cu+X0<s≤t型卢比卢比其中上标c表示相应过程的连续部分。对于第二个等式，使用以下等式：Rt=2ZtRu-dRu+[R]和[R，R]的连续部分是tru之间协变量的连续部分这一事实-DRU和Rt，即2RTU-d[R]铜。这种与随机积分相关的数学定义符合Protter（2013）。

返回值的四阶矩变化与[R]的定义类似，但本文主要关注三阶矩变化。第三时刻变动掉期合同的支付结构类似于varianceswap，其中预定的固定分期和特定时期内的已实现变动在到期时进行交换。方差掉期的不同之处在于，第三时刻掉期的浮动段是已实现的第三时刻方差的负值，-[R，R]T，在[0，T]期间。与差额掉期一样，掉期的买方支付固定部分，并接受浮动部分。请注意，第三个力矩变化可以有正值或负值。在市场暴跌中，潜在回报的第三时刻变化很可能为负值；因此，掉期的浮动段（即变动的负数）可能具有正值。相反，如果股票价格大幅上涨，则第三时刻的变化往往具有正值，因此互换的浮动段往往具有负值。因此，当投资者因标的资产价格暴跌而遭受巨大损失时，他们可以通过互换来弥补损失。当投资者从标的资产的多头头寸中赚取巨额利润时，他们会将流动资金作为一种保险支付给SWAP合同的交易对手。尽管第三时刻变动掉期具有简单的机制，但可以通过收缩掉期来对冲标的资产的倾斜和厚尾风险。在适当选择掉期金额数量的情况下，由标的资产和掉期组成的投资组合的概率分布呈现出更像高斯分布的细尾分布。利用1990年至2007年标普500指数五分钟数据进行了实证研究。

图1中的左面板显示了标普500指数回报率的分位数-分位数（QQ）图，时间长度为5、20、60和250个工作日。与正态分布相比，所有图都显示出显著的负肥尾。右面板显示了之前提到的自然条件下的第三时刻掉期对冲投资组合的QQ图，这些图表示较薄的回报分布。在本分析中，为简单起见，假定掉期的固定值为零。事实上，掉期的固定价值不一定为零，其公平价格将由市场参与者决定。掉期的理论价值预计将基于欧洲期权价格，前提是期权价格适当反映风险中性度量。有关掉期定价问题的更多信息，请参见Choe和Lee（2014）。请注意，掉期的固定价值，即掉期价格，是在合约时刻预先确定的，只影响投资组合回报分布的平均值，而不影响其他分布特性，如方差、偏度或峰度。因此，在不丧失普遍性的情况下，掉期的固定价值被设定为零，因为本研究侧重于对冲投资组合的回报分布形状。套期保值数量的确定是为了最小化已实现投资组合回报分位数（假设通过掉期进行套期保值）与正态分布函数（与投资组合分布具有相同的平均值和标准偏差）之间的差异平方。换言之，经验投资组合回报与相应正态分布之间差异的L-范数被最小化。掉期头寸的金额分别为242.9、80.8、46.2和16.2乘以各种到期日的初始指数值，最长分别为5天、20天、60天和250天。

例如，如果指数在时间零点为1000，掉期的到期日为20个工作日，那么单位指数掉期头寸的名义金额为80.8×1000=80，800。这表明，三阶矩变化掉期对冲了斜线和厚尾风险，因此投资组合收益在所有时间间隔内都趋向于高斯分布。图2左侧绘制了1990年至2007年标准普尔500指数的动态。图的右侧显示了具有第三时刻变动掉期的对冲投资组合的累积收益和损失，即投资者每月重新平衡投资组合，即投资者在1990年1月1日签订一个月的第三时刻变动掉期，并在下一个月的第一天签订新的掉期等。

与指数相比-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.100.1基本收益的标准正态分位数qq收益与标准正态的对比图，T=5天（a）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.100.1基本收益的标准正态分位数qq收益与标准正态的对比图，T=5天（b）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.2-0.100.10.2基本收益的标准正态分位数QQ收益与标准正态的曲线图，T=20天（c）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.2-0.100.10.2基本收益的标准正态分位数QQ收益与标准正态的曲线图，T=20天（d）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.3-0.2-0.100.10.20.3基本收益的标准正态分位数QQ收益与标准正态的对比图，T=60天（e）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.3-0.2-0.100.10.20.3基本收益的标准正态分位数QQ收益与标准正态的对比图，T=60天（f）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.4-0.200.20.4基础收益的标准正态分位数QQ收益与标准正态的曲线图，T=250天（g）-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4-0.4-0.200.20.4基本收益的标准正态分位数qq收益与标准正态分位数的对比图，T=250天（h）图1：标的资产回报率（左）和不同到期日的对冲组合回报率（右）的QQ图1990 1995 2000 2005200600100014001990 1995 2000 20050246810图2：标准普尔500指数（左）和对冲组合价值（右）的动态从1990年到2007年动态，对冲组合的回报率始终显示出更稳定的增长，甚至在2000年代初的网络泡沫破灭期间。

与标准普尔500指数相比，对冲投资组合的超额回报相对较大，这是因为假设掉期的固定部分为零。2.2交易成本、错误方式和交易对手风险考虑交易成本的影响，例如由于第三时刻变动掉期的流动性不足而产生的买卖价差。交易成本不会影响合同日期对冲投资组合条件分布的形状，因为交易成本是在合同签订时预先确定的。当一个人重复进行第三时刻变动掉期合约时，对冲投资组合在长期（如三年）内的总回报将减少，如前一示例中的每月。在图3中，根据标准普尔500指数，对冲投资组合的价值动态与假定交易成本一起绘制，分别占标的资产价格的0.2%和0.5%。正如所料，由于交易成本巨大，从1990年到2007年，总回报率有所下降。避免与交易成本相关的风险的一种方法是签订具有多个分支的长期第三方掉期合约，类似于利率掉期。例如，一家公司可以签订三年到期的第三期变动掉期合同，而分期付款的期限为一个月。然后，交换有36个浮动和固定支腿进行交换，每个支腿的交换方式与前一小节中解释的单个三阶矩变化交换相同。通过这种方式，掉期买家可以在长达三年的时间内，每月通过倾斜分布获得损失补偿，而不必承担与未来可能的交易成本相关的风险。第三时刻变动掉期可以将倾斜和尾部风险从一方转移到另一方，但不能完全消除风险。