保险公司现金流量的非参数建模

坐标s对集合Cskar进行了截尾，这些集合Csk可能只有两种类型：Cτk={τ：τ>t- τk}，如果尚未报告索赔号k，且保险有效期尚未到期，或者，否则，Cτk={τk}（包括Cτk={∞} at t时- τk>L）。在所考虑的数据收集方案中，截尾值由时间t或相关随机变量tk=t表示- τk由保险公司精确确定，在统计上不依赖于值s和τ。这使得我们可以通过构建2D分布函数F（s，τ）来简化边际索赔分布函数F（s）的估计，而不会破坏一般性，因为考虑到上述单个向量（s，τ，t）坐标的独立性，等式F（s，τ，t）=F（s，τ）·F（t）是有效的。因此，根据保险公司的说法，随机向量（s，τ）由经过审查的setCk表示≡ Csk×Cτk3（Sk，τk），k=1，镍。e、 实现向量（s，τ）的一组可能值，在tk时刻实际可见该向量（s，τ）与区间内发生的索赔相关以及在此日期之前的后续开发。应该记住，保险单可以包括从本质上截断随机值s空间的免赔额。事实上，如果保险单规定免赔额为dk，则保险公司不会在索赔登记簿中记录索赔s<dk，因此不会支付，因为这是投保人的责任。换言之，值s是在随机条件s下看到的/∈ Tsk，其中下面的集合，简单的t表示值t- τk。

这不会导致歧义，因为从上下文来看，预期价值总是很清楚8 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenko表1来源统计指标符号值保单开始日期至2017年1月1日保单提前终止/取消日期至2018年1月1日j保险索赔的发生日期j=1τI1，2017年5月16日j=2τI2新成员21，2017年j保险索赔报告日期j=1τI12017J=2τI22019年1月7日j理赔日期j=1τi1August 12018J=2τi2截至2019年6月31日j索赔的总付款j=1 si1（t）95j=2 si2（t）39Tsk={s:s≤ dk}称为截断集或与其Sk相关联的截断集（见[1]）。然而，当考虑二维随机向量（s，τ）时，情况会发生根本变化。向量（s，τ）的第二分量τ的值可以在任何时候看到，因为其实际值τkbelongs到的集合Cτk总是已知的。因此，在任何时刻t，以及族{Ck}，k=1，…，都可以获得截尾集cks形式的关于Skvector（s，τ）实现的最终（即未截断）信息，n、 （7）从分布F（s，τ）中形成截尾样本。因此，当考虑2D向量（s，τ）时，免赔额会改变fromof删失集Ck，但不会影响样本结构。它保持删失，在1D的情况下，免赔额将样本类型从删失转换为截断删失。实例我们假设保险人根据概述的方案组织保险统计数据的收集，并需要根据2019年6月31日获得的数据进行精算计算。让我们假设表1代表为免赔额为10000的第一号保单收集的数据。让我们根据表1中的数据考虑表（7）中的截尾抽样程序。

为简单起见，我们假设（a）对于此类保险，一个日历月内可能发生的保险索赔不得超过一次，并且（b）根据保险合同，时效期限L最长为两年。保险公司现金流非参数建模9表2多维截尾向量样本（sk，τk，τ*k） k tk=t- τkτk=τk- τkτ*k=τk- τksk·10-3δk1 29∞ ∞ 0 02 28 ∞ ∞ 0 03 27 ∞ ∞ 0 04 26 ∞ ∞ 0 05 25 4 15 95 06 24 ∞ ∞ 0 07 23 > 23 > 23 ≥ 10 28 22 > 22 > 22 ≥ 10 29 21 > 21 > 21 ≥ 10 210 20 > 20 > 20 ≥ 10 211 19 14 > 19 ≥ 39 112 18 > 18 > 18 ≥ 10 2根据假设（a），我们可以tkA为一个月，并创建样本{Ck}，k=1，12，其中每个要素对应于保单有效期12个月内的每个月（见表2），其中时间是从保单开始日期τk算起的整月。注意，选择示例数据是为了使表2中的样本包含所有四种可能的截尾集类型，例如对应于k=1、5、11和12（见图3）。特定示例中的截断集对于样本的所有元素都是相同的，因为它们都属于同一政策，免赔额为10000。因此，审查集的表达式可以写成asCk=（Sk，τk），如果δk=0，τk≤ 五十、 τk≤ tk（0，∞), 如果δk=0，τk>L，tk>L（s，τ）：s≥ sk（t），τ=τk，如果δk=1，τk≤ 五十、 tk公司≤ tk（s，τ）：s≤ Dk，τ∈ （0，L），s>Dk，τ∈ （tk，L），s=0，τ=∞,如果δk=2，τk>tk，tk<L（8）10 Valery Baskakov，Nikolay Sheparnev和Evgeny YanenkoFig。2维向量（s，τ）的3个截尾集3分布函数的估计准经验分布[4]（或qED估计[1]）用于估计样本（7）P的分布P（B*n（B）=nnXk=1P*n（B | Ck），B R、 P*n∈ P

（9） 它被确定为a函数的解lpn（B）=nnXk=1P（B | Ck），B R、 P∈ P、 其中P（B | Ck）是条件分布；P是R上所有可能分布的类；B是可测量集，B R、 估算值P*n（B）推广了通常的经验分布，它是最大似然P（B）对P的广义估计，在某些条件下，它继承了它的基本性质：一致性、渐近正态性等。要构造分布函数（9）的估计，可以使用EM算法类型的迭代过程，包括以下步骤。1、设置估计值P（0）n（B），B的初始近似值 R、 例如，一致近似。保险公司现金流的非参数建模112。计算新值P（1）n（B），如下所示：P*n* （1） （B）=nnXk=1P（0）n（B | Ck）。3、返回步骤2，将P（0）n（·）替换为P（1）n（·），以此类推4。计算完成，达到设定精度。注意，如果B={S，τ：S<S，τ<t}，则P（B）=P（S<S，τ<t）=F（S，t），即传统意义上的分布函数，即点{S，t}的唯一、明确、实和非负函数 R、 估算值F*n（s，t）可以使用上述算法和以下概率计算公式显式构造：F（0）n（s，t | Ck）=1，如果δk=0（F（0）n（s，τk）- F（0）n（sk，τk））（F（0）n(∞, τk）- F（0）n（sk，τk）），如果δk=1（F（0）n（s，t）- F（0）n（s，τk）+F（0）n（min（s，dk，τk））（1- F（0）n(∞, τk）+F（0）n（dk，τk）），如果δk=2if B∩ Ck6= （否则P（0）n（B | Ck）=0），根据截尾集的表达式（8）获得。

索赔F的边际分布*n（s）和报告日期F*n（t）可计算如下：F*n（sk）=F*n（sk，∞)andF公司*n（tk）=F*n个(∞, tk）。二维分布函数F的非参数估计算法*基于类型（7）的n（s，t）截尾数据在SAS环境中使用SAS/IML实现。与基本算法不同，它使用分组数据，因此计算复杂性几乎与保单数量无关。这样不仅可以处理单个公司的数据，还可以处理整个保险业的数据。4应用任务让我们根据建议的方法考虑一些应用任务的解决方案。俄罗斯多家普通保险公司的真实数据被用作初始统计信息。这些数据结合了271674份同类型合同的信息，构建了一个二维截尾样本（见表3）。样本范围（暴露）为85244280天。报告和结算的索赔数量（δ=0，τ<∞) 为11196件，未决索赔数量（δ=1）为1393件。Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny YanenkoFig未报告索赔的天数。4二维分布函数F（s，τ|τ<∞)报告日期为69693135，但可能已经发生并可能在未来提出索赔（δ=2），剩余15538556天内没有索赔（δ=0，τ=∞) 自3年期限到期后，将永远不会出现。在收集数据时支付的索赔总额为814218985便士。用上述方法估计分布函数F（s，τ）。为清楚起见，图4显示了函数的标称变量F（s，τ|τ<∞) 由于P（τ<∞) =0.000555.

边际分布F（s）的估计如图5所示。对分布F（s，τ）、F（s）和F（τ）的估计使得有效解决保险公司面临的一系列重要问题变得简单。例如，使用索赔分布函数F（s）的估计，公式（1）可用于计算其期望值M（s）=11.141814，或估计概率P（s>0）=0.000555。这些值应解释为一天保险期内的净保险费率和保险索赔频率。通过将不同保险期的等值图乘以保险期（以天为单位），计算出不同保险期的等值图。因此，一年期保单的净保费为11.141814×365≈ 4067p，频率为5.68%。一次保险索赔的平均索赔金额为11.141814/0.000555=71652p。显然，金额与保险期无关。非参数建模保险公司现金流1314 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenkonon参数建模保险公司现金流150.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0损失（百万P）0.999700.999750.999800.999850.999900.999951.00000累积概率图。5边际分布函数F（s）索赔准备金的估计。接下来，让我们考虑估算索赔准备金的问题，包括未决索赔准备金和已发生但未报告的准备金（IBNR）。请注意，已经进行的计算足以估计索赔准备金（报告日期未偿债务）。事实上，在知道平均索赔金额M（s）、日风险敞口和报告日支付的索赔金额后，索赔准备金估计如下：11.141814×85244280- 814、218、985=135556927便士。

（10） 为了进行比较，使用最常用的索赔保留方法进行了替代计算，包括链梯法、Bornhuetter-Ferguson法和频率和严重性法。这些方法基于累计支付索赔发展三角（见表4）。此表的底线添加了通过链梯法获得的发展系数估计值。将指示的准备金方法应用于表4中的数据，得出索赔准备金金额的点估计（最佳估计），即1.26亿P，索赔准备金的合理估计范围为1.167亿至1.476亿P。请注意，之前根据本文提出的方法得出的索赔准备金估计（10）属于合理估计范围，与索赔准备金的估计略有不同。16 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenkov表4累计支付索赔发展三角，百万卢布6 12 18 24 30 36 42 48 546 4.70 14.33 17.25 18.64 19.66 20.15 20.48 20.85 20.9512 22.52 49.23 55.78 59.33 60.49 61.70 63.8318 44.44 73.67 80.15 83.45 85.24 87.24 88.6424 52.81 88.55 98.61 103.41 106.43 107.3630 56.49 92.36 99 105.32 106.3336 70.28 117.76 133.06 137.5842 71.21 125.4748 65.74 107.6854 56.421.701 1.103 1.048 1.022 1.017 1.020 1.010 1.005 1.000IBNR以及未决赔款准备金。假设我们知道二维分布函数F（s，τ），其中s是保险索赔金额，τ是索赔发生和报告日期之间的间隔。

该函数可以使用正在检查的保险组合的数据进行估计，就像上面所做的那样，或者可以通过基于类似数据的先前计算结果的归纳或其他方式获得（该方法与该案例无关）。让我们以表2的形式获取传感器样品（7）。让我们考虑保险索赔发生的日期τk。如果在日期t，保险索赔发生的时间τkis未报告，则报告日期τ>tk，尤其是τ=∞, 如果保险索赔没有发生。索赔的分布函数出现在τikandreported in The interval[t，t]的时刻，前提是截至报告日期t，isFk（s）=1时未公布-（F）(∞, t2k）- F级(∞, t1k））（1- F级(∞, tk））+（F（s，t2k）- F（s，t1k））（1- F级(∞, tk））。（11） 不依赖于索赔金额的第一个加数对应于区间【t，t】中的索赔不被报告的可能性，最后一个加数等于上述区间中报告的索赔小于或等于s的概率。请注意，对于区间【t，∞), 索赔分布函数如下fk（s）=（F（s，∞) - F（s，tk））（1- F级(∞, tk））。（12） 间隔[t，t）isMk（s）中报告的预期索赔=∞Zdks·dF（s）。（13） 保险公司现金流的非参数建模17索赔差异isDk=∞Zdks·dF（s）- Mk（s）。（14） 在区间[t，t）isPk（s）=（F）内报告索赔s>dk的概率(∞, t2k）- F级(∞, t1k）- F（dk，t2k）+F（dk，t1k））（1- F级(∞, tk））。（15） 其他日期的类似推理，保险索赔日期τk，k=1，n允许按单个保单或整个投资组合计算预期索赔。Mt（s）=nXk=1Mk（s）（16）及其方差t（s）=nXk=1Dk（s），（17）以及预期索赔数量t=nXk=1Pk（s）。

（18） 这里，指数t表示统计数据（16）-（18）是在报告日期t未报告索赔的情况下计算的。让我们考虑一下表（1）中IBNR的定义。它等效于表达式（16），其中预期损失（保险付款的预期值）用作加数Mk（s），k=1，n在间隔[t，∞), 包括在报告日t或报告期内发生但未按规定方式向保险人报告的理赔费用。请注意，函数F（s，τ）的qED估计量（9）作为索赔期望值（16），其方差（17）和已发生但未报告的索赔数量（18）都是加性估计，从某种意义上讲，它们是作为每个样本元素单独构建的类似估计的总和计算的。可加性允许使用所提议的方法来解决与准备金在保险组合的各个部分和/或时间间隔之间重新分配有关的问题。为此，有必要使用公式（11）-（15）对保险组合的相关部分和/或时间间隔进行计算，并总结结果。特别地，如果我们考虑一个非重叠时间间隔系统[ti，ti+1），i=1，2，3，…，这样∞[i=1[ti，ti+1）=[t，∞),18 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny YanenkoIBNR可根据预计发生但未报告的索赔数量，按这些时间间隔重新分配，这些索赔将在特定期间报告，例如：。

在报告日期t之后的每个季度，类似的注释适用于公式（17）和（18），可用于估计IBNR方差和在任何预定时间间隔内报告的索赔数量[t，t）在报告日期t之后。让我们考虑建立储量区间估计的问题。理论上，解决方案非常简单：使用生成函数和服务分布函数（13）对于一天，得到了计算整个保险组合准备金分布函数和确定容差范围的公式。然而，由于计算的复杂性，这种方法不适合于实际计算。因此，为了建立储量的区间估计值，我们假设其分布为高斯分布（其理由将在下文中给出），而较低的sLandupper sUtolerance范围分别等于tosL=Mt（s）- u（1-p） pDt（s）和sU=Mt（s）+u（1-p） pDt（s），（19），其中uα是α级标准正态分布的分位数。按上述方法计算IBNR及相关指标。然后，对于α=0.95，我们得到：Mt（s）=35759781p±4057684p，Dt（s））=246688p，Nt=448.21。已发生但未报告的索赔估计平均金额为79785，所有预期索赔的平均金额为71652p。索赔随时间的分布情况见表5。