基于流动性的限额订单随机模拟框架

然后，在实现这些参数θ的条件下，可以根据算法1.4基于模拟的可能性校准中描述的程序模拟LOB中的交易活动所有基于代理的建模框架的一个共同属性是，它们能够生成它们所代表的随机过程的实现，在我们的例子中是LOB过程。也就是说，给定一组代理参数的规范，代理模型的模拟非常简单有效。然而，通常情况下，要么没有可直接处理的（逐点评估）似然模型，要么似然模型复杂且计算成本高。在这些情况下，当根据观察到的LOB数据校准此类模型时，基于似然推理的传统参数估计方法不直接适用。然而，有一系列方法尚未在基于agent的建模算法中得到广泛应用。算法1：基于agent的随机LOB模拟1：过程模拟（θ，T）2：对于T=1。T do3： 模拟流动性提供者限额订单买卖。4： 对于k=a，b do5： 模拟限制订单提交的相关随机强度。6： 样本ΓLO，kt=γLO，kt~ M St（mk，βk，νk，∑k）通过方程9.7：在方程5.8中应用变换λLO，kt=ukF（γLO，kt）： 模拟每级出价/询问的相关限制订单计数。9： 样本NLO，kt=NLO，kt~ GCPλLO，kt通过方程式3.10： 模拟限制订单大小。11： 对于s=-ld+1。lp，i=1。

NLO、k、stdo12：OLO、k、si、t~ H（·）13： 模拟流动性提供者取消的限额订单买入/卖出。14： 对于k=a，b do15： 评估各级投标和询价的总数量。16： VLO，kt=VLO，kt-1+NLO，kt=~vLO，kt17： 模拟买卖取消计数的相关随机强度。18： 样品ΓC，kt=γC，kt~ M St（mC，k，βC，k，νC，k，∑C，k）通过等式9.19：在等式5.20中应用变换λC，kt=uC，kF（γC，kt）： 在每个级别的出价/询问中模拟相关的限额订单取消计数。21：样本NC，kt=NC，kt~ GCPλC，ktI（NC，kt<vLO，kt）通过方程式10.22： 模拟流动性需求方市场订单。23：对于k=a，b do24： 评估投标/询价各层级的当前剩余量。25：▄RLO，kt=∑lps=1h▄VLO，k，st- NC、k、sti=~rLO、kt26： 模拟市场订单提交的随机强度。27：样品γMO，k~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）来自斜t分布。28：计算公式14.29中的转换λMO，kt=uMO，kF（γMO，kt）： 模拟市场订单计数。30：样品NMO，kt |rLO，kt~ GCPλMO，ktI（NMO，kt<rLO，kt）通过方程式12.31： 模拟市场订单大小。32：对于i=1。NMO，ktdo33：OMO，ki，t~ H（·）34:Lt← G（Lt-1，NLO，at，NLO，bt，NC，at，NC，bt，NMO，at，OLO，at，OLO，bt，OMO，at，OMO，bt）返回L={L，…，LT}文献，允许仍然对基于仿真的格式中指定的模型执行模型校准，即参数估计。我们模型的结构确保我们可以捕获不同LOB级别的活动之间的非线性依赖关系等特征。该活动包括被动或主动提交的限额订单、取消订单和市场订单，并且可能由两类不同的代理产生。鉴于这种复杂性，获得可能性的分布形式将是不可能的。

因此，我们建议通过一种称为间接推理的基于模拟的方法来估计模型。特别是，我们开发了一种新的扩展，用于这些基于统计模拟的似然推理过程，称为间接推理。4.1间接推理的背景与基于模拟的可能性推理相关的大量学术工作，我们专注于被称为间接推理的子类，由Smith【1990年、1993年】和Gourieroux等人【1993年】介绍，并在Gallant和Tauchen【1996年】、Gourieroux等人【2006年】以及inGourieroux和Monfort【1997年】一书中进行了广泛的介绍。在最基本的层面上，间接推理是基于仿真的随机模型中的参数估计技术。这些模型无法评估数据生成模型的密度，但可以在给定一组参数的情况下生成数据。然后，可以将模拟数据与观测数据进行比较，并在此比较的基础上获得一组参数的适用性度量。为了通过间接推理实现这一点，我们引入了一种称为“辅助模型”的新模型，该模型是特定的，通常甚至不是生成的，但通常可以通过例如最大似然估计来轻松估计。该辅助模型有自己的参数向量β，带有点估计量bβ。辅助模型的这些参数描述了观测值分布的各个方面。

间接推理的思想是简单地尝试将Bβ（y）给定的观测数据y上估计的辅助模型参数的各个方面与模拟数据y上估计的辅助模型参数的各个方面进行匹配*（θ） ，使用实际模型θ的参数通过模拟得到，由bβ（y）给出*(θ)).我们可以看到，间接推理只需要我们想要估计的模型可以被模拟，然后通过对模拟数据和真实数据建立一个更简单的辅助模型来进行。然后，通过最小化辅助模型的参数向量与模拟数据和真实数据之间的差异，获得模型参数的估计值。在考虑选择辅助模型时，最简单的形式可能是对根据实际观测数据（如y）计算的单个汇总统计数据与模拟合成数据y进行比较*. 或者，可以考虑考虑使用求和辅助参数向量的方法，例如Winker等人[2007]考虑最小化估计矩的真实数据向量和合成模拟数据等价物之间的加权L2二次误差函数。其他采用此类方法的人包括McFadden【1989年】和Pakes and Pollard【1989年】，他们各自提出了矩估计方法的定义，称为模拟矩方法（MSM）。其他基于模拟的替代估计技术包括模拟最大似然法（SML）和模拟得分法（MSS）。

此类技术已被用于许多经济模型的估计，例如动态随机一般均衡（DSGE）模型Ruge Murcia【2007】和资产定价的Markovmodels Du ffee和Singleton【1993】。在本文中，我们考虑的辅助模型是基于对LOB随机过程的分析。我们考虑的主要特征包括LOB中的价格变化和交易量。特别是，我们希望捕获日内对数收益率波动率的聚类以及LOB前n级总交易量的动态行为。具体而言，获得间接推断估计量的顺序如下：1。将观察到的LOB状态序列L1:T转换为辅助模型数据集Y=T（L1:T）。2、利用观测到的辅助模型数据y，估计辅助模型参数bβ（y）。3、初始化随机代理LOB模型的参数向量，在我们的例子中，流动性提供者和流动性需求者代理模型参数θ（0）。然后模拟LOB模型L的综合实现*1： T型θ(0)从随机agent模型。4、取LOB状态的合成序列L*1： T型θ(0)并将其转换为辅助模型数据集*（θ（0））=TL*1： T型θ(0).5、使用综合辅助模型数据y*（θ（0）），估计辅助模型参数bβy*(θ(0)).6、估计辅助参数向量之间的马氏距离或欧氏距离dbβ（y），bβ（y*(θ(0)))设置最佳参数向量Bθopt=θ（0），距离Dmin=Dbβ（y），bβ（y*(θ(0))).8.

使用建议的参数向量θ（j）重复步骤3至7，直到收敛，或对于j个总迭代，步骤（vii）有条件地应用于事件dmin>Dbβ（y），bβjy*θ（j）从这种数据生成过程中获得的估计量的若干理论性质是已知的，参见Smith【2008】和Genton and Ronchetti【2003】中的讨论。在某些假设下，可以证明间接推理程序产生了模型参数的点估计量，该点估计量在相当无限制的正则性条件下是一致和渐近正态的（Gourieroux和Monfort【1997】）：1。为了估计辅助模型参数β，我们使其最大化的可能性趋于渐近非随机极限。2、该限值在仿真模型参数θ中是连续的。3、将辅助模型的参数与我们试图估计的实际模型的参数联系起来的所谓绑定函数是一对一的，其对辅助模型参数的导数是满列秩的。此外，当模型对观测数据正确规定时，间接推断可以显示出渐近有效性。4.2多目标间接推理用于基于仿真的模型校准为了对我们的agent随机模型进行估计，我们开发了一种基于仿真的估计程序的新扩展，它结合了两个关键思想：基于间接推理的基于仿真的似然推理和多目标优化方法，通常用于遗传搜索算法。我们将估计方法的结果类表示为多目标II。拟议的多目标II估计框架，即非标准间接推断，旨在允许一个人使用多个辅助模型，每个模型捕捉LOB随机过程的不同特征。

从这个意义上说，这是标准间接推理程序的多目标扩展，它自然允许我们探索LOB给出的目标随机过程的相关特征。为了继续说明多目标II估算方法，除了第3节中描述的LOBsimulation框架外，我们还需要指定o辅助模型，每个模型由一组参数向量进行参数化，通常用β表示，这是根据观测数据随机过程的特征确定的，我们希望用我们的模型来近似量化辅助模型参数与真实数据之间差异的目标函数（我们将使用shorthandbβ来表示Bβ（y）），以及量化辅助模型参数与合成生成数据之间差异的目标函数（我们将使用shorthandbβ*（θ） forbβ（y*（θ） ）o在对随机代理LOB模型校准执行基于仿真的优化时，搜索方法将探索基于随机代理的模型的参数空间。4.2.1辅助模型辅助模型有时被称为估计函数，用于捕获我们希望在模拟中反映的真实数据的各个方面，即它们不一定必须与数据生成过程密切对应，但每个模型都应捕获一些相关特征，这些特征将通知随机模拟模型参数的估计。在标准间接推理方法中，只有一个辅助模型，通常来自相对简单的一类模型，有关选择的指南，请参见Heggland and Friessesi【2004年】。在我们的框架中，对于给定的候选参数向量θ，我们生成LOB过程轨迹的M个实现，即。L*,mt（θ）t> 0，m∈{1,2，…，M}，来自基于随机代理的LOB模型。

然后，对于由某个向量参数化的每个辅助模型，通常用β表示，我们利用模拟数据获得辅助模型参数的估计值，例如通过最大似然框架：bβ*（θ） =arg maxβMXm=1TXi=1log（f（T（Lmt（θ））| T（L*,mt公司-1(θ)); β)). （16） 原则上，可以根据特定应用的需要采用尽可能多的辅助模型。然而，一些作者探讨了在多目标优化框架下，目标函数K的数量对估计性能的影响。例如，Purshouse和Fleming【2003年】以及Hughes【2005年】认为，基于Pareto排序的方法，如本文中使用的方法，与目标数量的比例很低。K¨oppen等人（2005年）解释说，目标数量的增加可能会对优化产生一定的影响，因为基于帕累托最优的多目标框架中的优势概率将为零。有大量目标的第二个问题是很难定性地比较结果，因为在有K个目标的任务中，一组解决方案取决于K- 1超空间。基于这一指导，我们将重点捕捉LOB随机过程的两个核心特征，这两个特征与价格的演变和靠近本书顶部的卷的性质有关。辅助模型1-价格特征：如果我们将中间价格表示为pmidt=pa，1t+pb，1t，则日志返回定义为rt=lnpmidtpmidt-t此处这是一个合适的间隔，在我们的情况下是1分钟。图3显示了典型股票GDF苏伊士集团一天的日志回报时间序列。这一说明性时间序列显示了中等价格动态的典型特征，例如异方差性。ARCH-LM测试正式证实了拱效应的存在。因此，波动率σt=pV ar（rt | rt-1.

.) 不是常数，可以用广义自回归条件异方差模型或GARCH（p，q）模型捕捉，其中rt=σtη和ηt~ N（0，1），我们有平方效用σt=a+art-1+ . . . + aprt公司-p+bσt-1+ . . . + bqσt-Q何处ai≥ 0，北京≥ 0代表所有i∈ {1，…，p}和j∈ {1，…，q}。为了简化辅助模型，我们对这方面的数据使用了aGARCH（1,1）模型，由β=（a，a，b）参数化。辅助模型2-交易量特征：在图4中，我们展示了一个典型的GDF苏伊士库存日买卖方交易量的示例。我们对该数据建立ARIMA模型，以捕获LOB卷的时间序列结构。在模型识别过程中，我们会犯吝啬的错误，因为我们希望在间接推理过程中获得一个参数很少的辅助模型。我们首先通过计算第一个差异，消除了在一天中LOB交易量时间序列中观察到的线性趋势，见图4。图4给出了结果样本ACF和PACF，表明anMA（1）模型是合适的。因此，我们将ARIMA（0,1,1）模型用于体积数据。4.2.2结合多目标优化和间接推断迄今为止，对于随机LOB代理模型中的一组给定参数，我们模拟了订单记账过程。然后利用这些模拟数据构建一个框架，在该框架中，我们获得了多个fittedparameter向量，每个辅助模型对应一个向量。

我们现在需要考虑如何判断模型参数向量在捕捉真实观测的LOB随机过程动力学时的适用性。在标准的基于间接推理的框架中，将所有辅助模型输出参数向量估计值连接到一个辅助模型参数向量中，以便在模拟数据和实际数据之间产生一个单一距离度量或差异。这种串联会导致信息丢失，例如，一些辅助参数模型差异可能与其他差异在不同的尺度上。因此，如果应用naive串联，这通常会导致选择少数几个标准，而不是单独考虑每个组件。我们通过引入多目标优化框架来克服这个问题。这种方法在通过一组辅助模型来评估随机代理LOB模型参数的适用性时，自然地调整基于模拟的估计，以考虑竞争标准。因此，多目标优化方法使我们能够将差异分数的多个距离度量作为单独的目标函数来考虑。在此框架中，通过模拟生成模型并量化每个辅助模型参数之间的差异，来衡量随机agent LOB模型参数向量θ的适用性。每个辅助模型都适用于观测数据的转换以获得（bβk）和模拟LOB数据的转换（bβ*k（θ）），通过测量两者之间的距离来计算差异分数。最常用的距离度量基于某种形式的加权或未加权范数，如Lp范数或p阶Minkowski距离，其中L∞-norm、L-norman和L-norm在实践中经常使用。