通过有界回归组合Alpha

我们将通过Hi表示所需的美元（非股票）持有量，并通过I:I表示总美元投资（多头加空头）≡NXi=1 | Hi |（35）Let wi≡ Hi/I.这些是我们的库存权重（类似于alpha权重）。然后我们有了熟悉的规范化条件nxi=1 | wi |=1（36），然而，通常情况下，一个在Hi上影响边界，而不是在wi上。例如，在建立交易的情况下，可能希望对头寸进行限制，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资不超过一个小的百分点ξ–这是一个多元化约束；ii）ADDV（平均每日美元交易量）波动率只有一小部分被交易——这是一个流动性约束（见下文）。在这种情况下，我们有以下关于美元持有量的bo unds Hi:H-我≤ 你好≤ H+i（37）H±i=±minξI，eξVi（38）在这种情况下，上下界是对称的。在某些情况下，例如对于难以借入的股票，我们可能会有一些H-i=0。在其他情况下，可能无法进行各种概括，有些概括比其他概括更直接。希望持有一些股票的多头头寸。等。我们只会假设-我≤ 0和H+i≥ 0，与我们上面讨论的权重界限一致，然后由w±i给出≡ H±i/i（39）最终的结果是，在股票的情况下，ione使用了一些预期回报，而不是αione。其余部分与上述f或适当选择的∧iA完全相同。2.5.2再平衡贸易通过再平衡贸易，我们目前持有的美元为H*和desireddollar holdings Hi。

在这种情况下，人们可能希望限制头寸，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资i不超过一个小的百分点ξ–这与上述的多元化约束相同；ii）仅交易ADDV Viis的小百分比ξ–这与上述流动性约束相同；Andii）分配给任何已发行股票的ADDV Vi不超过一个小百分比ξ′——这是另一个流动性约束，其原因是，如果必须迅速清算投资组合（例如，由于不可预见的事件），以降低流动性成本，则头寸将根据流动性设定上限。这里ξ′通常比eξ大几倍——只要每个阶段的界限都满足，投资组合就可以分阶段建立。Hinow上的界限为：| Hi |≤ min（ξI，ξ′Vi）（40）| Hi- H*i |≤eξVi（41）更方便的是，根据交易美元金额改写这些界限≡ 你好- H*i： D-我≤ Di公司≤ D+i（42）D+i=最小值最小值（ξI，ξ′Vi）- H*i、 eξVi≥ 0（43）天-i=最大值-最小值（ξI，ξ′Vi）- H*我，-eξVi≤ 0（44），我们假设| H*i |≤ min（ξI，ξ′Vi）。此外，我们假设H*IIT自我满意度（5）：A.∈ {1，…，K}：NXi=1H*i∧iA=0（45），则可直接将bo unded回归算法应用于权重wi，定义如下：≡ 你好/我（46）xi≡ Di/I（47）在J±迭代中，我们现在使用XI代替wi，而在γ迭代中，我们仍然使用wi。然后，算法的测试将不变地通过。

然而，让我们注意到，附录A中给出的源代码在编写时考虑了alpha权重，因此在建立交易的情况下，虽然它可以适用于股票投资组合，但需要进行简单的修改以适应再平衡。2.5.3示例：日内均值反转α为了说明算法hm的使用，我们使用它构建了日内均值反转α的投资组合，其荷载矩阵∧Ia在以下5种情况下：i）仅截距（因此K=1）；ii）BICS（彭博行业分类系统）部门；iii）BICS行业；iv）BICS子行业；和v）【60】和BICS子行业的4个风格因素prc、mom、hlv和vol。回归权重是逆样本方差：zi=1/Cii（见下文）。在这种情况下，截距上方的i）-v）包含在载荷ma t rix∧iA中。事实上，我们有∈G∧iA≡ 1，其中G是∧i列的集合，对应于案例ii）中的部门、案例iii）中的行业以及案例iv）和v）中的子行业。因此，由此产生的投资组合实际上是美元中性的。公文包构建和回溯测试与[61]中的内容相同，可以在这里找到更详细的讨论，因此为了节省空间，这里我们只做一个简要的总结。假设投资组合在当日开盘时建立，在当日收盘时清算，因此它们纯粹是盘中交易，第2.5.1节的算法适用于建立交易。每个日期的预期回报Ei被视为Ei=-Ri，其中Ri≡ 自然对数Popeni/Pclosei公司, 对于Popenisistoday开盘的每一天，而Pcloseis则是昨天的收盘价，如果截止日期是今天，则会对拆分和股息进行调整。这些是日内均值回归α。ADDV Vi排名前2000，其中ADDV是根据21个交易日的滚动周期计算的。

然而，宇宙并不是每天都在重新平衡，而是每21个交易日（详情参见[61]）。样本方差CIIAR是基于相同的21个交易日滚动周期计算的，不是每天应用，而是每21个交易日应用一次，与宇宙再平衡相同（详情请参见[61]）。我们在5年的时间内进行模拟（更准确地说，从2014年9月5日算起，共252×5个交易日）。年化资本回报率（ROC）的计算方法为每日平均损益除以总（长加短）日内投资水平I（无杠杆），再乘以252。年化夏普比率（SR）计算为每日夏普比率乘以√每股252美分（CPS）计算为总损益除以总交易股份。每一天，Qi=2 | Hi |/Popeni给出了每支股票交易的总股份（建立加清算）（详情参见[61]）。为了进行比较，表1给出了无界限回归的结果。有界回归的结果，desiredholdings的界设置为| Hi |≤ 表2给出了0.01 Vi（48），因此每只股票的ADDV中不超过1%的部分已售出或售出，相应的损益图如图1所示。因此，正如预期的那样，增加流动性界限会对投资组合产生多元化影响，因此夏普比率得到了实质性的改善——与往常一样，代价是（略微）降低paperROC和CPS。请注意，即使流动性边界很紧，4个风格因子prc、mom、hlv和vol【60】也增加了价值，进一步验证了【60】的4因子模型。3结论性意见考虑有界回归的一种方法（但不是唯一的方法）是在有界优化无法实现时，将其作为有界优化的替代方法。

事实上，如上所述，有界回归是一种在因子模型背景下具有界的零特定风险优化极限。因此，当因子模型不可用时，例如在alpha流的上下文中，可以使用有界回归代替优化。在这方面，我们可以通过包括线性交易成本来进一步扩展上面讨论的有界回归算法，如【59】所示。一种系统的方法是在【58】中所述的因子模型的背景下，从边界和线性交易成本的优化开始，并采取零特定风险限额。阿尔法权重下的非线性交易成本（影响）可以使用[59]中讨论的t近似，使用营业额减少的特殊模型来处理[62]。下面的R码我们给出了统计计算的R（R）包，http://www.r-project.org)我们在正文中讨论的有界回归算法的源代码。entry函数是calc.bounded。lm（），它运行γ迭代循环并调用函数bounded。lm（），它运行J±迭代循环。calc.bounded的args（）。lm（）是：ret，它是alphasαi的N向量（或者更一般地，一些其他返回）；载荷，即N×K载荷矩阵∧iA；权重，是回归权重zi的N向量；upper，是上界w+i的N向量；lower，它是下界w的N向量-i；和prec，这是输出权重wi所需的精度，N向量的计算有界。lm（）返回，必须满足no r ma lizat ion条件（1）。内部，有界。lm（）调用函数calc.bounds（），该函数在每次迭代时计算bw（s+1）iin（24）。代码是直截了当的，不言自明。Jp，Jmin有界。lm（）对应于J±。

一个微妙之处是，当限制∧iAtoeJ时 J、 在二元行业分类的情况下（例如，当∧i对应BICS子行业时，可以很小），如此受限的∧i可能有空列，必须省略，下面的代码就是这样做的。