作为市场不平衡度量的最优交易策略

作者编写了C++函数riemannzeta和HurwitzZeta，并将其从XLL导出，XLL是一种动态链接库DLL的形式，用作Microsoft Excel的加载项【161】。这有助于使用Microsoft Solver和Goal Seek在约束S>1.001和Q>0.001的情况下优化参数S和Q。表6的成本函数是九个类别的实验χ。15.2 Hurwitz-ZetaThe的Euler-Maclaurin公式所选计算方法基于Euler-Maclaurin求和【44，第114-117页】。伯努利数取自[1，第810页]。推导过程很长，作者仅给出了Hurwitz-zeta函数的最终公式，这是他在文献中找不到的。然而，对于黎曼泽塔，其思想与[44]中的相同。由于直接和的收敛速度较慢，因此将Euler-Maclaurin求和应用于差值ζ（S，Q）-N-1Xi=0（i+Q）-S=∞Xi=N（i+Q）-S、 ζ（S，Q）=N-1Xi=0（i+Q）-S+（N+Q）1-不锈钢- 1+2（N+Q）-S++MXk=1B2k（N+Q）1-S-2kQ2k-2j=0（S+j）（2k）！+E（S，Q，N，M），其中B2kare是伯努利数，E（S，Q，N，M）是误差项。使用Harold Edwards【44】和Linas Vepˇstas【227】的估计值，选择N=20和M=13，以确保图21所示S值的C++内置类型双精度支持的16位小数精度。Hurwitz-Zeta分布是用来描述b增量分布的透视图，它不需要尝试组合多个会话或在较小范围内。由于分布在时间上发生变化，甚至在一个范围/会话内，这可能会阻止泛化。16关于抛物线分形的评论提到，在许多情况下，幂律仍然是实验事实[6，第36-41页]，寻找渐近行为和对数修正可以提供理论解释。

他应用Kolmogorov技术对幂二除以奇数后得到的余数的平均最小周期进行平滑处理，并找到一个有趣的双对数依赖关系【6，p.39，图1】。他从植物学、文学、医学、火山活动、遗传学、科学出版物数量、与空间元素紧凑排列相关的图论（对计算机科学来说很重要）中总结出了七个例子，其中包括奥洛夫·阿伦尼乌斯定律：一个地区的物种数量与其所在地区的力量成正比。作者添加了第一个名字来区分儿子和父亲——斯万特·阿伦尼乌斯（1903年诺贝尔化学奖获得者“…解离电解理论”），他提出的化学反应速率常数的温度依赖性方程也以“阿伦尼乌斯劳”的名字为人所知。由于常数与温度倒数（开尔文度）的对数曲线上有很好的直线，所以可以将其添加到阿诺德列表中。16.1绘制Arrhenius数据图作者审阅了文章[9]，并在Microsoft Excel中输入了106对（分米面积，物种数量）[9，第96页，表]。我们第一次在图22中看到了Olof的结果。我的眼睛看到：1）对于Calluna Pinus木材、Herb Pinus木材、Myrtillus Picea木材、Herb Picea wod、Herb hill II和Shore association II，抛物线的碎片会更好；2） 红豆痘苗有一个很大的异常值。在原始表格中，13个关联伴随着较大区域的实验数据和计算数据之间10-30%的偏差：前2-3个来自8-10个观察值。

Arrhenius解释道：“很容易看出，计算值和观测值非常一致。通常，随着面积的增加，偏差会增加。这取决于较小区域的值是比较大区域的值更多观测值的平均值。”。16.2抛物线在对数-对数坐标系中与频率和ranksplots上的直线偏差，统称为抛物线分形。所谓的国王效应与最高频率等级的离群值有关。一个常见的例子是城镇规模关系，在法国，巴黎偏离了曲线。图22：在Microsoft Excel中输入并绘制了[9]中的数据。据称，ena遵循抛物线分形：星系强度、城镇大小分布、语言、物种和石油系统的碳氢化合物聚集http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm.他们扩大了阿诺德的名单。引用的参考文献[36]证明，“经验和相关过程的异常振荡通常发生的点集是一个随机分形”，并建议如何评估其Hausdorff维数。图20、21和22表明，抛物线部分可能是比直线更好的选择。然而，抛物线有一个缺点：在许多情况下，它不能在不违反自然单调性的情况下，在观测间隔之外进行推断。需要更多的数据来确认或拒绝经济学中的抛物线分形效应。对于金融时间序列而言，澄清市场难题很有价值。17极端b增量在表16中，Min、nmin、Max和NMXPress列表示极端b增量及其在范围和会话中出现的次数。对于每个合同，将这些值组合在一个样本中，其中b-increments和b-increments取nsmin和nsmaxtimes。

这些值是从具有日期的会话行中提取的。评估EPDF，见图23。同样，NGN13的等级被之前绘制的10划分。绝对值取的相同极端b增量绘制在双对数坐标中，如图24所示。图23:2013年3月至7月合同的极端b增量频率，以δ表示。虽然获得0δ和±1δb增量的机会最高，如图20、21所示，但在一次会话中获得它们作为极端值的机会微乎其微，如图23所示。即便如此，如果我们在图24上的点云上方绘制直线，将其外推到左侧也是错误的。图24中的ZSN13、ZWN13、GCM13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13、6EM13和6JM13证实了绝对极端b增量的频率具有最大值。其他间接证据：2013年3月至7月，没有ZCN13、ZBM13、ESM13、HGN13和6AM13的会议，极端为0δ和±1δb增量。17.1 Fr'echet、Fisher、Tippett、von Mises、Gnedenko、Gumbel、HaanThe现代极值理论受到[59]、[163]、[64]、[13]的影响。Fisher和Tippett根据他们必须满足的函数关系提出了三个极限分布。Mises证明了最大阶统计量弱收敛于图24中每一个的充分条件：2013年3月至7月交易的合同的绝对极端b增量频率与等级的双对数图，以δ表示。三种类型。Gnedenko给出了极端阶统计量弱收敛的必要条件和有效条件的严格证明。哈恩改进了对格涅登科结果的阐述。Nedenko，G，[64，p.423]的CDF相对于x的差异给出了Fisher和Tippett，FT，[59，p.211-212]的PDF，即DFF T（x）=e-x个-e-x=d∧G（x）dx，-∞ < x<∞,二、

P DFF T（x）=kxk+1e-x个-k=dΦGα（x）dx，x>0，k=α>0，III.P DFF T（x）=k(-x） k级-1e级-(-x） k=dψGα（x）dx，x<0，k=α≤ 对于组合绝对极值b增量的样本，II可能有用。莫里斯·弗里切特（MauriceFr\'echet）在1927年写过《第二次世界大战》[60]。它也是以他的名义使用的。根据定义【65，第45页】，分布函数F（x）和F（x）属于一种类型，如果b>0和a，F（x）=F（bx+a）。很容易看出F（x）=ΦGα=k（x）=e-x个-k、 x>0且F（x）=e-（bx+a）-k、 x>-A是有效的CDF，属于k>0、b>0的一种类型。虽然改变坐标系统的规模和原点并不会创建新的类型，但我们得到了更好的拟合工具P DFII（x）=kb（bx+a）k+1e-（bx+a）-k、 x>-ab，k>0，b>0，a≥ 0。（44）P[P DFII（|δ-尺寸|）的最小化-EP DFZSN13（|δ-尺寸|））]给出了解决方案（k=3.955386，b=0.142783，a=0），图25。使用Microsoft Solver\'sconstraint a≥ 0，当猜测值a>0时，可稳定地获得最佳a=0。如果a=0，则PDF是2类Gumbel分布，表示Emil Gumbel的贡献【75】。最佳b 6=1排除了Fr'etchet的情况。使用连续的类PDF方程44来最小化Pearson的χ拟合优度是不方便的：类的分数边界将很牵强。极端和普通b增量是离散的。图25:2013年3月至7月ZSN13的绝对极端b增量频率与秩的曲线图，用δ表示，以及近似的缩放和移位Fr'echet-Fisher-TippettGnedenko-Type-2-Gumbel PDF，P DFII。17.2我们需要离散分布图，图25，外观匹配，但存在问题：1）理论密度是连续的，2）低估了大|δ|的频率。实际上，点|δ|=82是在频率为0.003322的情况下获得的，但理论密度为0.00000286，少1162倍。

需要一个具有收敛序列的有限正数序列，该序列模仿单峰P DFII。理想情况下，它应该在整数区间内[0100]。作者检查了序列（P DFII（n）），n∈ N、 将其倒数级数重新用作规范化乘法器，确保有效的离散概率质量函数PMF，P MFII（N）=kb（bn+a）k+1e-（十亿+年）-kP公司∞i=1kb（bi+a）k+1e-（bi+a）-k、 n个∈ N、 k>0，b>0，a≥ 0，（45），其中P MFII（0）=0。分母收敛。级数收敛性的Maclaurin-Cauchyintegral检验[57，p.281，item 373]证明了：当x>n>0时，p DFII（x）是正的且单调递减的，积分∞-abP DFII（x）dx=1，因此，收敛于任何下界x≥ -ab.将方程45中的分母与一般Dirichlet\'s级数[76，p.1]f（s）=p进行比较∞电子邮箱-λns，其中（λn）是一个实数递增序列，其极限为整数，s=σ+t√-1是一个复变量，其实部和虚部为σ和t，我们注意到设置σ=1，t=0，an=kb（bn+a）k+1，λn=（bn+1）-kyields分母=f（1）。然而，我们的（λn）是一个实数正递减序列，当k>0，b>0，a时，其极限为零≥ 0和limn→∞e-λn=1。在冈贝尔的情况下，a=0，an=kbknk+1=ν-1bν-1nν，ν=k+1>1和P∞n=纳米-λn≈ν-1bν-1便士∞n=nnν=ν-1bν-1ζn（ν）表示大n∈ N、 式中，ζN（ν）表示实变元大于1的黎曼zeta函数的剩余部分-收敛域。一般情况下，a>0也会导致收敛，因为每个和剩余正减少。

作为另一种收敛证明，这种考虑暗示可能很难找到分母的表达式，需要一种数值方法。Euler-Maclaurin求和法是一种候选方法。17.3拟议分布的Euler-Maclaurin公式类似于Riemann和Hurwitz zeta，我们直接计算从1到M的项之和- 1和剩余的总和【44，第106页】，适用于等式45，作为三个总和∞Xn=MP DFII（n）≈Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）+mXj=1B2j（2j）！P DFII（2j-1） （十）∞M、 其中顶部（2j- 1） 是导数阶和B2jare-Bernoulli数。这个近似值的误差等于2m=（2m+1）！Z∞M'B2m+1（x）P DFII（2m+1）（x）dx，其中'B2m+1（x）=B2m+1（x-bxc）是2m+1次的伯努利多项式。“B2m+1（x）”在符号中交替出现。如果P DFII（2m+1）（x）在[M]上是单调的，∞),然后，误差| R2m |的评估只需要计算第一个省略项：| R2m |不超过该项绝对值的两倍。FirstCommand和前两个Summand之和等于z∞Mkbe公司-（bx+a）-k（bx+a）k+1dx=Z-（bM+a）-keydy=1- e-（bM+a）-k、 Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）=1- e-（bM+a）-k1.-kb2（bM+a）k+1.对于第三项和| R2m |，我们需要导数高达（2m+1）。Letf（x）=V（x）S（x）=f（0）=V（0）S（0），V（0）=kbe-（bx+a）-k、 S（0）=（bx+a）-k-莱布尼茨公式[56，第236-238页]给出f（n）=Pni=0CniV（n-i） S（i）。以上定义为S（0），S（1）=b(-k- 1） （bx+a）-1S（0），我们猜测s（n）=bn（bx+a）-nS（0）nYi=1(-k- i） 。对于n=0，1有效。设其对n>1有效。然后，对于n+1，公式给出S（n+1）=bn+1（bx+a）-n-1S（0）Qn+1i=1(-k-i） 。然而，差异off（n）给出了相同的结果：bnQni=0(-k-（一）[-nb（bx+a）-n-1S（0）+（bx+a）-nb公司(-k-1） （bx+a）-1S（0）]=bn+1（bx+a）-n-1S（0）Qni=1(-k- （一）(-k- （n+1））。这就完成了S（n）的数学归纳证明。

获取V（n）的公式是有问题的：V（1）=kbf（0）=kbV（0）S（0），莱布尼兹公式在V（n）的分支中递归出现-i） 在每个步骤上。奇数阶1、3、5的P DFII（x）的前三个导数为P DFII（1）（x）=P DFII（x）bbx+ak（bx+a）k- k- 1., （46）P DFII（3）（x）=P DFII（x）bbx+a-k（bx+a）3k++6（k+k）（bx+a）2k-7k+18k+11k（bx+a）k+k+6k+11k+6,（47）P DFII（5）（x）=P DFII（x）bbx+ak（bx+a）5k-15（k+k）（bx+a）4k++65k+150k+85k（bx+a）3k-90k+375k+510k+225k（bx+a）2k++31k+225k+595k+675k+274k（bx+a）k+-k- 15千- 85k- 225k- 274k- 120.（48）方程式46-48中的正则性讨论被省略，因为它们不足以建立通用公式。导数在x接近零→ ∞. 三个相关的伯努利数为B=，B=-, B=。当M=200，k=3.955386，b=0.142783，a=0时，第三次求和中的前三项等于P DFII（1）（M）=-0.7130872262 × 10-10，BP DFII（3）（M）=0.1230723154×10-14，BP DFII（5）（M）=-0.5219062910 ×-19、在这些条件下仅使用一阶和三阶导数会产生错误≈ 10-对于方程式45中的分母值接近1，这比现代的8字节C++内置类型double（213，pp.74-76，pp.628-629）保持16位螳螂小数的精度要好。近似离散P MFII（n）分母的最终公式为∞Xi=1P DFII（x）≈M-1Xn=1P DFII（n）+1- e-（bM+a）-k1.-kb2（bM+a）k+1++P DFII（1）（M）-P DFII（3）（M）+P DFII（5）（M）。（49）方程式49表示的分母并不总是接近1，如图26所示。公式45中枚举数的计算很简单。对于P MFII（n），皮尔逊χ类边界的选择是自然的，见表7。χ（7，0.05）=14.067大于10个等级的最佳7.368。通过χ-最优k，b，a=0，我们得到P MFII（82）=6.159×10-5.

这仅是实验值0.003322的54倍。由于这些条件下的分母等于1.0000039587885819，因此可以使用连续的P DFII（x）获得相同的密度值。由于|δ|的离散性，使用后者不太方便。极值理论、P M FII（n）和P DFII（x）的局限性很可能是由于违反了理论假设，如构成样本的I.I.D.变量。18关于离散分布的第二点意见传统和计算离散性要求离散和晶格概率分布。科尔莫戈罗夫的远见意味着需求将增长。在上一节中，将现有的连续分布P DFII（x）转换为离散分布。变换步骤可以概括为：图26：用方程49表示的极值P M FIIdenominator方程45与k和b的依赖关系，其中a=0，M=200。地块使用Maplesoft的Maple 10完成。1） 在整数参数n处计算现有的P DF（x）；2） 将“all”P DF（n）的倒数作为一个因子，确保pnn=MP DF（n）PNi=MP DF（i）=1，其中m和n可以是-∞ 和∞; 3） 如果极限为±，则确定分母的收敛性∞. 后一步可能很简单：PDF通常是有限子区间上的可积、正和单调函数。这支持级数收敛性的乌勒-柯西积分检验。级数求和算法的作用也因矩αm=P而增加∞n=1nmP MF（n）。连续父分布和离散子分布通过p DF（x）相互关联。

连续法向和离散7之间的不同关系：用P MFII（|δ|）拟合ZSN13的极端b增量，k=2.50205129050786，b=0.145521989804209；a=0是固定的；f=10- 1.- 2 = 7.|δ| Pm |δ| p=PP MFII（|δ|）Np=pPm |δ|（Pm-Np）Np5、6、7 128 0.396078909 119.2197517 0.6466441878 43 0.107926455 32.48586293 3.40292287949 27 0.085068712 25.60568221 0.07592541710 15 0.066185687 19.92189185 1 1 1 1 0.2159994311 13 0.051504694 15.50291288 0.40409005312 11 0.040335941 12 12 12.14111814 0.10725129213 9 0.031877993 9 9 9.595276012 0.0369299914，15 13 0.045979023 13.83968581 0.05094568416-29 32 0.096558428 29.06408697 0.29657168830-82 10 0.023772516 7.155527325 1.13073774 SUM 301 0.945288358 284.5317959 7.368024797二项分布由Stephen Stigler提醒[212]：“当我们想到二项式的正态近似时，我们通常会考虑大样本。皮尔逊发现，即使是最小数量的试验，两种分布也完全一致……正态密度的特征是微分方程f（x）f（x）=-x个-uσ. Pearson发现对称二项分布的概率函数p（k）（n个独立试验，每个试验p=0.5）正好满足类似的差异方程2p（k+1）-p（k）p（k+1）+p（k）=（k+）-n（n+1）对于所有n，k”。19最后一个价格减去第一个价格作为b增量之和。如果b增量是随机变量，则某个范围内最后一个价格和第一个价格之间的差异是随机变量之和。由于讨论了a增量的性质，总结的数量也是随机的。有关增量Ps、rNs、r的信息- Ps，rexpressed inδ可从表16中计算。为了计算范围的增量，将列大小和平均值的两个值相乘。列大小包含等于Ns，r的b增量数- 1.