一般OTC合同中的随机切换控制模型

（5） 鉴于对价格和股息流程的这些定义，我们能够对双边CVA（在给定时间t）BCV at=Srft作出以下一般定义- St公司 t型∈ [0，T]。作为交易对手无风险和风险价格过程/合同NPV之间的差异。让我们陈述以下关于双边CVA的主张。提案2.2.3（双边CVA）。到期日为双边交易对手风险（X；a；Z；τ）的可违约债权的双边CVA过程满足以下关系BCV At=CV At- DV At=BtEQ*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - RBc）（Srfτ）-燃气轮机+- BtEQ公司*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ）+燃气轮机（6） 每t∈ [0，T]，其中Ricfor i∈ {A，B}是交易对手回收率（流程）。证据命题证明遵循Bielecki、Cialenko和Iyigunler（2011）命题2.9的相同简化线。让我们注意一下（例如，见Brigo et al.（2010）），如果违约因素和违约强度之间存在独立性，则CVA过程可以用EPE andENE表示，如下BCV At=BtEQ*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ）+- BtEQ公司*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - RBc）（Srfτ）-= BtZ]t，t]B-1sEP EsQ*（τA∈ ds，s≤ τB）- BtZ]t，t]B-1sEN EsQ*（τB∈ ds，s≤ t的τA）（7）∈ [0，T]从框架部分我们知道Q*（τi∈ ds，s≤ τi）=λit：=G-1（t）Q*（t=τi∈ dt），即交易对手违约强度。就CSA而言，一般而言，可以将其描述为TEOTC合同的一个明确部分，旨在通过定义双方在基础索赔有效期内的抵押协议来降低交易对手风险。

它主要用于降低巴塞尔委员会对投资组合风险的资本要求，并为CVA费用提供更具竞争力的价格。如前所述，这种类型的协议通常包含许多因素、条款和事件，这些因素、条款和事件对模型来说很复杂（详见Gregory（2011））。现在，让我们概括一下在CSA存在的情况下CVA的定义。定义2.2.4（抵押品账户/流程）。让我们定义A合同的双边CSA的正/负阈值，即ifor i={A，B}和正最小转移。公式从B的角度来看。在双方之间是对称的，只是符号变化。这种正交性假设将在实现和数值部分有用。现在，由于中央结算的不同，以减轻交易对手的风险，本协议作为第三方考虑将中央结算作为交易的担保。MT A的金额。抵押品处理成本：[0，T]→ R是一个随机Ft适应过程，定义如下：{Srft>ΓB+MT a}（Srft- ΓB）+{Srft<ΓA-MT A}（Srft- ΓA），（8）在时间集{t<τ}上，and collt={Srfτ->ΓB+MT A}（Srfτ-- ΓB）+{Srfτ-<ΓA-MT A}（Srfτ-- 集合{τ上的ΓA），（9）≤ t<τ+t} 。定义2.2.5（CSA结清现金流）。让我们定义回收率Ricfori∈ {A，B}A G-可预测过程集为正常数，市场上的无约束标记为θt=Srft- Collt（对于t=τ）。CSA结算现金流是实际价值的leftlimited Gτ--可测量过程定义如下：CFCSAT=Collt+{t=τB}（RBcθ+t- θ-t）-{t=τA}（RAcθ-t型- θ+t）-{t=τA=τB}θt）。通过使用这些定义并遵循命题2.2.3的相同证明线。这个命题表明。提案2.2.6（CVA（双边）与CSA）。

到期日为T且通过部分抵押减轻的可违约索赔的双边CVA满足以下关系BCV ACSAt=BtEQ*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - RBc）（Srfτ- Collτ）-燃气轮机- BtEQ公司*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ- Collτ）+燃气轮机(10)t型∈ [0，T]，其中第一项为（单边）CVA，第二项为DVA（抵押）。在CSA完全/完全抵押的情况下，例如CollP erft，抵押可以很容易理解为部分抵押的极限情况，当保证金日期之间的差值，例如tm=tm- tm公司-1，趋于零，相关CSA中未规定阈值和最低转让金额。这意味着CollP-erft始终等于mark-to-market，即基础索赔的（无违约）价格过程Srft，即形式上（采用定义2.2.4）CollP-erft={Srft>0}（Srft- 0）+{Srft<0}（Srft- 0）=Srft t型∈ [0，T]，在{T<τ}上。（11） andCollP erft=Srfτ- t型∈ [0，T]，关于{τ≤ t<τ+δt}（12）然后，通过插入CSA现金流定义2.2.5中的最后一个关系，很容易得到SCFCSAT=CollP erft t=τ∈ [0，T]。（13） 在文献中，根据CSA规定和建模选择，该过程也被认为是可预测的，或通常适用于Gt。事实上，CSA平仓现金流将不再有意义，因为交易对手风险已被完美抵押品归零，事实上，2.2.3中定义的CVA将变为BCV ACollP erft=BtEQ*{t<τB≤T}（0）| Gt- BtEQ公司*{t<τA≤T}（0）| Gt= 0t型∈ [0，T]（14）这意味着BCV ACollP erft=Srft- St=0==>St=Srftt型∈ [0，T]（15）即索赔的违约价格与无风险价格之间的相等。现在，我们已经准备好定义切换类型的或有机制，我们假设在我们的模型中，切换类型会困扰各方。

可以将其视为零抵押和完美抵押的混合，很自然地对其进行建模（下一节将更清楚），引入切换指标zjand乘以τjj，j=1，M，这会影响-作为代理人控制-系统动态，从而影响所涉及的过程，尤其是抵押品过程。让我们只考虑两种可能的转换模式（但也可以很容易地将其推广到部分抵押的情况），以便指标只取两个值，例如zj={0，1}：o当zj=1时，抵押为空，没有抵押处于活动状态，这意味着完整的BCVA（没有CSA）；o而对于zj=0，我们有一个完全/完全抵押的CSA（将BCVA归零）。因此，正如前面所做的那样，我们给出了抵押品和CVA过程的主要定义，这些定义现在也依赖于这些需要优化确定的切换控制{τj，zj}mj=1变量。如何，这将是下一节的目标。定义2.2.7（或有抵押品流程）。针对任何时间t确定的或有抵押品CollCtis盗窃适应流程∈ [0，T]和每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M，切换指示器zjand和默认时间τ（定义为min{τA，τB}），asfollowsCollCt=Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤集{t<τ}上的t<τj+1}（16），且collct=Srfτ-{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤集合{τ上的t<τj+1}（17）≤ t<τ+t} 其中，我们回顾了从b）点得出的St=CollP erftf结果。使用定义2.2.7以及结算金额和双边CVA的结果，我们很容易得到以下结果。首先，将DCT和SCA设置为刚刚定义的或有CSA的股息和价格过程，我们可以设置DCT=Drft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+Dt{zj=1}{τj≤t<τj+1}SCt=Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+St{zj=1}{τj≤t<τj+1}表示t∈ [0，T∧ τ ].

从这些关系中，很容易恢复偶然情况下双边CVA过程的一般公式，如下BCV ACt=Srft- SCt=Srft- （Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+St{zj=1}{τj≤t<τj+1}）=0{zj=0}{τj≤t<τj+1}+BCV在{zj=1}{τj≤t<τj+1}，因此以下定义是适定的。定义2.2.7（BCVA和或有CSA）。与转换型或有CSA签订合同的双边CVA，BCV激活任何时间定义的Gt适应流程∈[0，T]，对于每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M、 切换指示器zjand defaulttimeτ（如上所述），如下所示BCV ACt=BCV At{zj=1}{τj≤t<τj+1}+0{zj=0}{τj≤t<τj+1}，f或t∈ [0，T∧ τ]，（18），其中BCV A的表达式已知于命题2.2.3。最后，我们注意到，只有当抵押活跃时，CSA结算现金流才不同于零，即isCfCSAt=CollCτ t=τ∈ [0，T]。备注2.2.8。我们强调，所有这些过程通常都是c'adl'ag半鞅，很难处理它们的动力学，这些动力学也是递归和非线性的，受到代理切换控制的影响。在下一节中，我们将从随机控制的设置中看到简化问题分析所需的工作假设。2.3使用CVA和抵押品进行融资。融资问题以及如何在衍生产品和可违约债权的定价和对冲的整个问题中建模，是文献中的主要主题之一（Brigo et al.（2011）对该问题进行了清晰的分析）。关于我们的问题，我们假设存在一个由外部出资人持有的现金账户，比如CF undt 0，这可能是积极的，也可能是消极的，取决于交易对手在特定交易的价格和套期保值方面使用的融资（>0）或投资（<0）策略，在我们的案例中也进行了抵押。

包括分析中的资金，这会影响：o与特定交易的对冲组合/策略相关的现金流，尤其是如果对冲不能像违约债权那样完美，因此交易员需要融资或投资其对冲组合产生的现金盈余；o与CVA对冲相关的现金流；这通常包括在整个索赔的对冲组合中；o与双方之间确定的抵押品/CSA相关的现金流；例如，当风险敞口超出特定阈值，交易对手必须过账/接收其在融资/机会成本中产生的共同成本时。为了减少与CVA相关的递归问题，我们假设CVA值是向交易对手收取的，但没有设置对冲组合，因此资金成本为空CF und=0（即资金账户不活跃）。关于与抵押品相关的融资问题，在隔离（无再融资）和现金抵押品的假设下，我们区分以下情况：1）如果交易对手必须在保证金账户中过账抵押品，她将承担外部出资人申请的融资成本，由借款利率rborrt=rt+ST表示，即无风险利率加上信贷利差（通常与另一方不同）。

另一方面，交易对手从出资人处收到抵押后的报酬，该报酬通常在CSA中定义为无风险利率加上一些基点，因此我们可以近似于无风险利率，即rt+bpt~=rt.显然，我们注意到，上述利率的存在意味着以下融资资产的存在DBBORRT=（rt+st）Bborrtdt（19）dBremt=（rt+bpt）Bremtdt（20）2）相反，让我们考虑调用抵押品的交易对手：如上所述，抵押品是按照“Brem”给定的利率（因为双方的报酬可能不同）生成的，但她不能使用或投资抵押品金额（分离），因此她承受着机会成本，可以用roppt=rt+πt表示，其中π是无风险利率的溢价。因此，我们假设以下资产的存在ToodBoopt=（rt+πt）Bopptdt（21）d'Bremt=（rt+'bpt）'Bremtt（22）最后定义的目标将从下一小节中更加明确，在下一小节中，我们将通过定义交易对手目标，在第三节中，我们将正式定义我们想要解决的仓促转换控制问题。2.4交易对手目标和工作假设概述。现在，我们已经记住了或有类型抵押违约债权的交易对手在确定最佳标准/目标时必须考虑的所有相关要素和变量。如前所述，交易对手被认为是交易对手风险规避者，她希望通过定义或有抵押品/CSA来最小化CVA的负面影响，即另一方违约的成本，但她希望以最佳方式决定何时转换为部分或全部抵押品。当然，共同化意味着其他运营成本，比如资金成本。

因此，目标是确定以切换时间（和指标）为代表的一组控制措施的最佳切换策略，该策略将与CVA、抵押贷款和融资相关的总体运行成本以及我们需要建模的瞬时切换成本降至最低。如上所述，这类问题是高度非线性和递归的，并且由于在部分抵押情况下，由于CSA结算现金流的存在使CVA过程变得复杂，而CSA结算现金流递归地依赖于控制（切换时间），这使得分析更加复杂。

因此，在接下来的几节中，我们将部分抵押放在一边，并在双重决策案例中分析交易对手的问题：“从零抵押（fullCVA）切换到完全抵押（zero CVA）”（反之亦然）。另一种简化假设是，CVA套期保值是在不诉诸资金的情况下实现的。我们在此回顾我们在以下章节分析问题时使用的主要工作假设：Hp 1）分析是在“对称假设”下进行的：交易各方有对称的目标和类似的违约强度，以减少问题维度（这是一个在数值部分特别有用的工作假设）。Hp 2）双方都反对交易对手风险，但我们假设没有战略互动（这将是其他工作的目标）。Hp 3）分析侧重于完整/完美的抵押案例；Hp 4）CVA成本流程没有资金，CF und=0；Hp 5）所有考虑的流程都是预设值流程（从lemma2.1.1开始）3随机切换控制问题：公式和解的存在性。3.1模型动力学和控制。从上一节的推理和定义可以清楚地看出，我们所面临的是什么样的随机控制问题：我们（同一方A）的t=0，我们希望确定最佳策略，将抵押品从零转换为全额所产生的预期成本降到最低，反之亦然，直至潜在违约债权到期。将该问题形式化为具有有限视界的多重切换控制问题（更一般的脉冲控制模型的特例），其主要成分如下：1。目标函数的设置，通常由目标函数、奖励函数和切换/脉冲成本函数组成；2.

描述所考虑系统状态的随机动力学设置；3、在其中搜索问题解决方案的控件集的设置和建模。从上面列出的列表中，最后一点与“系统”动态模型密切相关，考虑到自然选择是考虑CVA动态，它进入交易对手A的目标函数（如上所述，对称B），这一模型更成问题。但可以看出，CVA动态非常复杂，不是Ito差异，因此我们需要使用不同的解决方法（对于一般的c'adl'ag过程），我们留作进一步研究。在此，我们在利率与τ正交的假设下，即交易对手B的违约强度下，使用后一节中的双边CVA表达式集，但代价很小。