摆动期权定价的一阶BSPDE：经典解

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英文标题：
《A First-Order BSPDE for Swing Option Pricing: Classical Solutions》
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作者：
Christian Bender and Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In Bender and Dokuchaev (2013), we studied a control problem related to swing option pricing in a general non-Markovian setting. The main result there shows that the value process of this control problem can be uniquely characterized in terms of a first order backward SPDE and a pathwise differential inclusion. In the present paper we additionally assume that the cashflow process of the swing option is left-continuous in expectation (LCE). Under this assumption we show that the value process is continuously differentiable in the space variable that represents the volume which the holder of the option can still exercise until maturity. This gives rise to an existence and uniqueness result for the corresponding backward SPDE in a classical sense. We also explicitly represent the space derivative of the value process in terms of a nonstandard optimal stopping problem over a subset of predictable stopping times. This representation can be applied to derive a dual minimization problem in terms of martingales.
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中文摘要：
Bender和Dokuchaev（2013）研究了一般非马尔可夫环境下与摆动期权定价相关的控制问题。主要结果表明，该控制问题的值过程可以用一阶向后SPDE和路径微分包含唯一地刻画。在本文中，我们还假设摆动期权的现金流过程在预期中是连续的（LCE）。在此假设下，我们证明了价值过程在空间变量中是连续可微的，该空间变量表示期权持有人在到期前仍可以行使的数量。这在经典意义上给出了相应的后向SPDE的存在唯一性结果。我们还显式地表示了值过程在可预测停止时间子集上的非标准最优停止问题的空间导数。这种表示可以用来导出一个关于鞅的对偶极小化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_First-Order_BSPDE_for_Swing_Option_Pricing:_Classical_Solutions.pdf (262.96 KB)

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关键词：期权定价 SPD PDE Differential Presentation

摆动期权定价的一阶BSPDE：经典解决方案Christian Bender，Nikolai Dokuchaev提交日期：2014年2月26日。修订日期：2014年11月20日Abstractin Bender和Dokuchaev（201 4）我们研究了基因ral非马尔可夫环境下与摆动期权定价相关的控制问题。那里的主要结果表明，该控制问题的价值过程可以用一阶后向速度和路径差异包含来唯一描述。在本文中，我们还假设摆动期权的现金流过程是预期连续的（LCE）。在此假设下，我们表明，价值过程在代表期权持有人在到期前仍可以行使的数量的空间变量中是连续可微的。这就给出了经典情形下相应的后向SPDE的存在唯一性结果。我们还显式地表示了值过程在可预测停止时间子集上的非标准最优停止问题的空间导数。该表示可用于导出鞅的对偶极小化问题。关键词：反向速度、最优停车、随机最优控制、切换选项。AMS分类：60H15；49L20；91G20.1引言受摆动期权定价问题的启发，我们考虑以下最优控制问题。投资者的目标是最大限度地实现实施适应现金流流程X的预期回报，即。

她希望最大化ZTu（s）X（s）ds（1.1）萨尔兰大学数学系，邮编：151150，D-66041，萨尔布尔肯，德国，bender@math.uni-某人。科廷大学数学与统计系，GPO Box U1987，Perth，6845 Western Australia，Australia，N。Dokuchaev@curtin.edu.auover所有符合条件RTU（s）ds的值在[0，L]中的自适应进程u≤ 1、这里有一个局部约束，它限制了期权持有人执行现金流过程X的最大速率。此外，全局约束（即有限燃料约束）规定持有人花费的总金额取决于e。我们参考Keppo（2004）将摆动期权建模为连续时间最优控制问题，并注意到Benth等人（2011）最近在马尔可夫扩散环境中调查了Ab-ove问题和相关问题；Dokuchaev（2013）；Basei等人（2014年）。在我们的配套论文（Bender和Dokuchaev，2014）中，我们还参考了摆动期权定价的进一步参考文献，在以下温和假设下，研究了一般非马尔可夫环境下的上述最优控制问题：（X（t），0≤ t型≤ T）是过滤概率空间上的非负、右连续、F-适应随机过程(Ohm, F、 F，P）满足通常条件such thatE[sup0≤t型≤TX（t）p]<∞ （1.2）对于某些p>1。我们将这些条件视为本文其余部分的长期假设。然后，（1.1）的动态公式如下：对于任何[0，T]值的停止时间τ和fτ-可测量(-∞, 1] -值随机变量Y表示为U（τ，Y）所有F-适应过程的集合，其值在[0，L]中，使得rtτU（s）ds≤ 1.- Y因此，投资者在时间τ签订合同，剩余总金额为1- Y至到期日T。

优化问题的对应值为'J（τ，Y）：=es ssupu∈U（τ，Y）EZTτu（s）X（s）dsFτ.Bender和Dokuchaev（2014）的主要结果表明（粗略地说），一个好的版本（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (-∞, 1] 调整后的随机场（(R)J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (- ∞ , 1] ）的特征是一阶倒向随机偏微分方程（BSPDE）J（t，y）=e的唯一解LZTt（X（s）+D-yJ（s，y））+ds英尺,J（t，1）=0，这足够平滑，以确保差异包含u（s）∈{0}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）<0{L}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）>0[0，L]，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）=0。有一个解决方案u∈ U（t，y）。这里，D-yde表示y变量的左侧导数，（·）+表示正部分。本论文的主要目的是研究y变量中值过程（良好版本J（t，y））的正则性，并用经典的可微性条件取代上述平滑条件中的中间包含条件。为此，我们将假设x在期望值（LCE）中额外保持连续，即对于每个[0，T]值停止时间σ和每个[0，T]值停止时间（σn）n的非递减序列∈n极限σ保持不变→∞E[X（σn）]=E[X（σ）]。（1.3）直觉上，这意味着X的跳跃s完全出乎意料，无法预测。在这个假设下，我们将证明以下定理：定理1.1。假设存在假设，并且X在期望中保持连续。每t∈ [0，T]表示t： =（1）- L（T- t） ，1），“”t： =[1- L（T- t） ，1）。然后，（i）有一个可测量的版本（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈t） of（(R)J（t，y），t∈ [0，T]，y∈t） whichful fills：a）有一套Ohm ∈ F带P（“”Ohm) = 1使D-yJ（t，ω，y）对于每个t都存在∈ [0，T]，y∈t、 和ω∈Ohm 并且在y中保持连续。

此外，J在以下意义上是y中的Lipschitz：有一个可积随机变量C满足| J（t，ω，y）- J（t，ω，y）|≤ C（ω）| y- y |每t∈ [0，T]，ω∈Ohm 和y，y∈t、 b）每t∈ [0，T]，有一个集合Ohmtof full P-度量为，对于每个ω∈ Ohmt、 主题7→ J（t，ω，y）在t、 c）每t∈ [0，T]和y∈ t，λ[t，t]存在yJ（s，ω，y）-1.-yL] P-几乎每个（s，ω），J（t，y）=E“ZTT-1.-yLLX（s）ds+LZT-1.-yLt（X（s）+yJ（s，y））+dsFt#（1.4）几乎可以肯定地保持P和边界条件j（t，1- L（T- t） ）=EZTtLX（s）ds英尺, J（t，1）=0（1.5）满足。（ii）相反，如果（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈t） 是满足a）、b）和c）的可测量随机场，则是“J”的一个版本，即对于每个t∈ [0，T]，y∈tJ（t，y）=J（t，y）P-几乎可以肯定。在上述定理和本文的其余部分中，λ表示Lebesgue测度，λ[a，b]表示其对区间[a，b]的限制。我们注意到上述定理刻画了集{（t，y）；0上的值过程≤ t型≤T、 1个- L（T- t）≤ y≤ 1}. 对于y≤ 1.- L（T- t） 优化变得微不足道，因为剩下的卷1- y至少与最大体积L（T）一样大- t） 当以L的最大速率运动时，可以使用哪一种。因此，L1[t，t]是一种最佳策略，并且'J（t，y）=EZTtLX（s）ds英尺. （1.6）这也解释了y=1时的边界条件（1.5）- L（T- t） 。我们强调定理1.1中的条件b）是BSPDE解的经典C-条件。因此，我们可以将该定理解释为BS PDE（1.4）–（1.5）经典解的存在唯一性结果。考虑到该BSPDE是Hamilton-Jacobi-Bellman方程的非马尔可夫版本，我们认为经典解的存在是一个收敛特征。

事实上，最近对马尔可夫扩散情形下具有积分约束的随机控制问题对应的HJB方程的研究，如Basei et al.（2014）仅在粘度解的框架内讨论了HJB方程。本文的组织结构如下：在第2节中，我们回顾了inBender和Dokuchaev（2014）的一些结果，从现在起我们称之为【BD】。Th eorem 1.1的证明分为两部分。在第3节中，我们证明了唯一性部分，即我们证明了满足a）、b）和c）的每个自适应随机场必然与价值过程J（t，y）一致。事实证明，定理1.1的这一部分不需要LCE假设。然而，这对于第3节中证明的平滑部分至关重要。在这里，我们表明，价值过程的良好版本在b）的意义上确实是不断不同的。空间变量的导数还通过一些非标准的最优停止问题来表示，这些问题可以与将导数解释为控制问题的边际值联系起来。最后，在第4节中，我们导出了鞅上的对偶极小化，并将极小化鞅与值过程的导数联系起来。2概述[BD]中的主要结果在本节中，我们陈述了[BD]中的一些结果，以供参考。我们记得《立场假设》已经生效，没有进一步提及。第一个结果，即[BD]中的命题3.5，提供了价值过程J.Proposition 2.1的良好版本。有一个适应的随机场（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (- ∞ , 1] ）使得J（τ，Y）=J（τ，Y）P- a、 对于每[0，T]值的停止时间τ和每Fτ-可测量(-∞, 1] -值随机变量。此外，J满足以下要求：有一套Ohm ∈ F带P（“”Ohm) = 1以使以下属性保持不变Ohm:1.

对于每个y∈ (-∞, 1] ，映射t 7→ J（t，y）是RCLL。2、每t∈ [0，T]和y，y∈ (-∞ , 1] | J（t，y）- J（t，y）|≤supr公司∈[0，T]Z（r）|y- y |其中Z（t）是E[supr]的RCLL修改∈[0，T]X（r）| Ft]满足∈[0，T]Z（r）<∞在“”上Ohm.3、每t∈ [0，T]，映射y 7→ J（t，y）是凹的。BD的主要定理描述了价值过程。它不需要LCEASUMPTION。定理2.2。（i） 向量（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (-∞, 1] （(R)J（t，y），t∈ [0，T]，y∈(-∞, 1] ）在命题2.1中构建的满意度：a）“有一套”Ohm ∈ F带P（“”Ohm) = 1使D-yJ（t，ω，y）存在于∈ [0，T]，y∈(-∞, 1] 和ω∈Ohm 并且在y上是左连续的。此外，J在y上是Lipschitz，意义如下：有一个可积随机变量C满足| J（t，ω，y）- J（t，ω，y）|≤ C（ω）| y- y |每t∈ [0，T]，ω∈Ohm 和y，y∈ (-∞ , 1].b’）对于每个（t，y）∈ [0，T]×(-∞, 1] ，有一个控制ut，y∈ U（t，y），使得差异包括，y（s）∈{0}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstut，y（r）dr）<0{L}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstut，y（r）dr）>0[0，L]，X（s）+D-yJ（s，y+Rstut，y（r）dr）=0。（2.1）满足λ[t，t] P-几乎可以肯定。c’）表示每（t，y）∈ [0，T]×(-∞, 1] ，J（t，y）=ELZTt（X（s）+D-yJ（s，y））+ds英尺,J（t，1）=0，P-几乎可以肯定。（ii）相反，如果（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (-∞, 1] ）i是一个满足a’、b’、c’）的可测量的随机场，然后是“J”的一个版本，即对于每个（t，y）∈ [0，T]×(-∞, 1] J（t，y）=J（t，y）P-几乎可以肯定。在这种情况下，ut，y∈ 当且仅当（2.1）满足时，U（t，y）对于J（t，y）是最优的。定理2.2包括最优控制的存在性结果。人们甚至可以选择一个具有一些附加属性的最优控制，这些属性后来证明是有用的。提案2.3。

对于每个[0，T]值的停止时间τ和每个Fτ-可测量(-∞, 1] 值随机变量Y，存在一个最优策略uτ，Y∈ U（τ，Y）表示J（τ，Y），使得Uτ，Y（r）=L上的L{L（T- r）≤ 1.- （Y+Zrτuτ，Y（s）ds）}。（2.2）和ztτuτ，Y（s）ds=1- {L（T）上的Y- τ) ≥ 1.- Y} （2.3）上述建议实际上是[BD]中建议3.2的直接结果。作为定理2.2的推论，我们观察到，尽可能晚地使用子鞅和尽可能早地使用上鞅是最优的，这是意料之中的。推论2.4。假设X满足现有假设，τ是一个[0，T]值的停车时间，Yis是一个Fτ-可测量(-∞, 1] -v值随机变量。（i） 如果X是RCLL子鞅，则uτ，Y=L1[（T-(1-Y） /升）∨τ、 T]对于'J（τ，Y）是最佳的。（ii）如果X是RCLL上鞅，则uτ，Y=L1[τ，（τ+（1-Y） /升）∧T]是最佳f或'J（τ，Y）。该推论在【BD】中示例2.2的末尾指出。为了完整起见，我们在此提供一个证明。证据我们只证明了次鞅情形，因为上鞅情形是相似的。对于任何[0，T]值的停止时间τ和任何Fτ-可测(-∞, 1] -取值随机变量ywedefine'V（τ，Y）=EZTτuτ，Y（s）X（s）ds英尺= E“ZTτ∨（T-(1-Y） /升）LX（s）ds英尺#。表示J在命题2.1中构建的价值过程的良好版本。然后，J（τ，Y）≥\'V（τ，Y）P-几乎可以肯定。因此，当且仅当0=E[J（τ，Y）时，uτ，Yis是最优的-(R)V（τ，Y）]=E“J（τ，Y）-ZTτ∨（T-(1-Y） /L）LX（s）ds#。（2.4）注意，如果（2.4）适用于所有确定性对（τ，Y），那么对于一般对也是如此。事实上，J（τ，Y）=V（τ，Y）然后对（τ，Y）保持P-几乎可以肯定，这对值最多。根据J的连续性性质，可以通过极限获得一般对（τ，Y）的（2.4）。因此，有必要显示确定性t的ut、Y的最优性∈ [0，T]和y∈ (-∞, 1].

与[BD]中命题3.5的证明开始时的论点相似，定理2.2中有一个版本V（t，y）的V（t，y）满足a\'）。根据“V”的定义，D-yV（t，y）=(-E[X（（T- (1 - y） /升）-)|Ft]，t<t- (1 - y） /L0，t≥ T- (1 - y） /L，其中X（s-) 表示X在s处的左极限。因此，通过子鞅性质，X（s）+D-yV（s，y）≤ s<T时为0- (1 - y） /L和X（s）+D-yV（s，y）=X（s）≥ s为0≥ T- (1 - y） /L。因此，V求解定理2.2中c’）中的BSPDE。也可以向前看，ut，y=L1[t∨（T-(1-y） /L），T]用V代替y，解决定理2.2中b’）中的微分包含，因为x（s）+D-yV（s，y+Zstut，y（r）dr）=（X（s）- E[X（（T- (1 - y） /升）-)|Fs]≤ 0，s<T- (1 - y） /LX（s）≥ 0，s≥ T- (1 - y） 因此，根据定理2.2，ut是最优的。3经典解的唯一性本节致力于定理1.1唯一性部分的证明。它依赖于定理2.2，（ii）。这就是我们要展示的：定理3.1。在长期假设下，假设（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈t） 是满足定理1.1的a）、b）和c）的可测量随机场。定义J（t，y）：=J（t，1- L（T- t） ），t∈ [0，T]，y<1- L（T- t） 。然后（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (-∞, 1] ）充分满足定理2.2的条件a’、b’、c’）。特别是，i t是“J”的一个版本，即for every（t，y）∈ [0，T]×(-∞, 1] J（t，y）=J（t，y）P-几乎可以肯定。对于本节的其余部分，我们假设（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈t） 是一个满足定理1.1中a）、b）和c）的可测随机场，并将其推广到[0，t]×上(-∞, 1] 如定理3.1所述。我们首先验证定理2.2的条件a’）和c’”。引理3.2。J满足定理2.2中的a’、c’）。证据性质a’）是定理1.1中a）和J的常数外推的直接结果。

属性c’）适用于t∈ [0，T]和1- L（T- t） <y<1，根据性质c），在定理1.1中，注意到D-对于s，yJ（s，y）=0≥ T- (1 - y） /L通过常数外推。然后，通过a’）中的连续性性质将其延伸至y=1。最后，对于y≤ 1.- L（T- t） ，J（t，y）=J（t，1- L（T- t） ）=EZTtLX（s）ds英尺= ELZTt（X（s）+D-yJ（s，y））+ds英尺,我们使用了边界条件（1.5）和D-yJ（t，y）=0表示y≤1.- L（T- t） 。为了证明微分包含（2.1）有解，从而证明定理2.2中的条件b’），我们表示Γ+（t，ω）={y∈ (1 - L（T- t） ，1）；X（t，ω）+D-yJ（t，ω，y）>0}Γ-（t，ω）={y∈ (1 - L（T- t） ，1）；X（t，ω）+D-yJ（t，ω，y）<0}（t，ω）=R \\（Γ+（t，ω）∪ Γ-（t，ω））。作为准备，我们首先证明以下引理。引理3.3。对于每个（t，y）∈ [0，T]×R有一个适应的过程^u，使得^u（s）∈{0}，y+Rst^u（r）dr∈ Γ-（s） {L}，y+Rst^u（r）dr∈ Γ+（s）[0，L]，y+Rst^u（r）dr∈ Γ（s）（3.1）λ【t，t】 P-几乎可以肯定。证据我们采用某种程度的标准技术，通过一系列具有Lipschitz系数的微分方程来近似微分包含，参见Aubin和Cellina（1984）的教科书。