线性随机市场模型的最优投资策略

（6.8）我们将（6.8）代入（6.6），（6.7），然后在u和x的相同幂下将系数相等，我们得到γj（t），j=1。。。，6，（4.13）的特殊情况γ（t）t=∑γ（t）+∑γ（t）- β - Bγ（t），γ（t）t=∑γ（t）γ（t）- Bγ（t）- iA+i∑γ（t），γ（t）t=2∑γ（t）γ（t）- 2Bγ（t）- βγ（t），γ（t）t=-∑+i∑γ（t）+∑γ（t），γ（t）t=2i∑γ（t）- iα+2∑γ（t）γ（t）- βγ（t），γ（t）t=-2βγ（t）+2∑γ（t），（6.9），以初始数据γ（0）=-x2s，γ（0）=-如果，γ（0）=xs，γ（0）=0，γ（0）=0，γ（0）=-2秒。（6.10）解决问题（6.9），（6.10），我们得到γj（t），j=1。。。，6，明确：16 G.S.Kambabeva和O.S.ROZANOVAγ（t）=-2B+β∑ln2βs-∑+2e2βtβs+e2βt∑2β(-∑+2e2βtβs+e2βt∑）++（∑+2βs）ln-∑+2e2βtβs+e2βt∑2βse2βt2(-∑+2e2βtβs+e2βt∑）++2B（B+xβ）eβt+（B+xβ）e2βtβ(-∑+2e2βtβs+e2βt∑），γ（t）=-如果- i（2Bα+xβα+βBαt- βAt）∑- 2B∑β（2βs＋∑）βe2βt- Σβ--ieβt((-4Bα- 2xβα）∑+（4Bβ+2βx）∑- 2sβBα）（2βs+∑）βe2βt- Σβ--ie2βt（（Bα（2- βt）+βAt+xβα）∑- 2β（B+βx）∑（2βs+σ）βe2βt- Σβ--ie2βt(-2Bβsαt+2sβBα+2sβAt）（2βs+∑）βe2βt- ∑β，γ（t）=2(-B+eβtxβ+eβtB）-∑+2e2βtβs+e2βt∑，γ（t）=∑t+-2(Σα - ∑β）+∑αβ（2∑βt- αs- ∑αt）（2βs+∑）βe2βt- ∑β++4eβt（∑α- Σβ)(Σα - ∑β+αβs）（2βs+∑）βe2βt- ∑β++e2βt（2sβt+（∑t- 3s）β- 2Σ)Σα（2βs+∑）βe2βt- ∑β++e2βt(-2sβt+（2s- ∑t）β+2∑）α∑- 2Σβ（2βs+∑）βe2βt- ∑β，γ（t）=2i（αβs+α∑）- ∑β）eβt- iα（∑+2βs）e2βt- 2∑β+α∑（（2βs+∑）e2βt- ∑）β，γ（t）=-β-∑+2e2βtβs+e2βt∑。（6.11）我们用表达式代替γj（t），j=1。。。，6，in（6.8）和find^P（t，u，x）。这个表达式很繁琐，我们不写这个。fourier逆变换给定sp（t，f，x）=√2πZ∞-∞^P（t，u，x）eifudu=βeC（t，f，x）√πsC（t），带c（t）=2β∑ts+（8∑αts+∑t∑）β++(-4s∑αt+4∑- 8sα∑+4α∑t∑）β++(-8αΣΣ- 2α∑t+6αs∑）β+4α∑e2βt++(-8∑+8sα∑）β+（16α∑∑）- 8αs∑）β- 8αΣ2eβt--∑t∑β+(-4α∑t∑+4∑）β++（2α∑t- 8α∑+2αs∑）β+4α∑，C（t，f，x）是变量t，f，x和参数f，x，s，a，α，B，β，∑，β的函数。

利用计算机代数系统MAPLE进行了分部多重积分。线性市场模型中的最优投资策略17积分在以下条件下收敛：=h类- 4αΣ- 4∑β+8sα∑β- 6αs∑β+8α∑∑β++（∑+2βs）（2α∑）- 4αβΣ- β∑）βtie2βt++8h（β∑）- Σα)- sαβ（∑β- ∑α）ieβt++（∑β- 2α∑+4α∑β）∑βt- 4Σβ- 4(Σβ - Σα)--2αs∑β（2βs+∑）e2βt- Σ-1> 0.（6.12）由于Ut | t=0=-∑β>0，则存在t*> 0，这样对于所有t∈ （0，t*)此条件成立。然而，limt→∞U=∞, 单位的符号等于(-Σβ- 4α∑β+2∑αβ），因此大t不满足条件（6.12）∞:= lims公司→∞U==4α∑β- 3Σα+ (2βΣα- Σβ- 4β∑α）t++(-4α∑β+4∑α）e-βt- α∑e-2βt，Us：=lims→0件==-4Σβ+ 8ΣαβΣ- 4α∑（e2βt- 1)Σ+(ΣΣβ+ 4αΣΣβ- 2α∑β）t（e2βt- 1)Σ+-4(Σβ- 2∑αβ∑+α∑）e2βt（e2βt- 1)Σ+(2αΣβ - Σβ- 4α∑β）e2βtt（e2βt- 1)++(8Σβ- 16∑αβ∑+8α∑）eβt(-1+e2βt）∑。因此，对于大s条件（6.12），不满足t→ ∞, 自限制以来→∞我们∞= -∞.对于小s，如果t>0，则不满足条件（6.12）-Σβ- 4βΣα +2αΣβ < 0.然后我们在（4.4），（4.5）中替换P（t，f，x），积分得到期望值和离差：(R)f（t，x）=-h（2βxα+2Bαβ）eβt++(-2βxα+(-2At- 2f）β+2βBαt- 2Bαβ）e2βtis++2h（α∑）- ∑β）βx- βx∑+（∑xα- 2B∑）β+2∑Bα即βt+h- βxα∑+（2x∑）- At∑- f∑）β++（（Bt∑）- ∑x）α+2B∑）β- 2∑Bαie2βt++(-∑βα+2∑β）x+（At∑+f∑）β++((-∑x- Bt∑）α+2B∑）β- 2∑Bα××β(-∑+2e2βtβs+e2βt∑）-1、（6.13）18 G.S.Kambabeva和O.S.ROZANOVA'v（t，x）=h8（β∑α- ∑αβ）eβt+2∑αβ++（2∑tβ+8∑βαt- 4（2∑α+∑αt）β+6∑αβ）e2βtis++8h2∑α∑β- Σα- ∑βieβt+h4（∑αt∑+∑）β--2（4α∑∑+α∑t）β+4∑α+α∑tβ∑ie2βt+-4（αt∑）- Σ)β- 2(4αΣΣ- ∑αt）β++4∑α- ∑tβ∑β(-∑+2e2βtβs+e2βt∑）-（6.14）从（6.13），（6.14），（6.2），（6.4）我们得到了'Qγ（t，x；h）的显式公式。让我们以两种资产为例考虑最优策略，取决于一个市场因素，即线性利率。

在这种情况下，可以用以下方式编写策略：（h，h）=（h，1- h） 。