基于马尔可夫调制利维动力学的货币衍生品定价

（41）让Ji（t，t）表示在[t，t]，t<t期间，ξ在状态ei中的占据时间。我们引入几个新的量，将在未来的计算中使用：Rt，T=T- tZT（rds- rfs）ds=T- tnXi=1（rdi- rfi）Ji（t，t），（42），其中Ji（t，t）：=RTt<ξs，ei>ds；Ut，T=T- tZTtσsds=T- tnXi=1σiJi（t，t）；(43)λθ*Jt，T=T- tnXi=1λθ*JiJi（t，t）；(44)λθ*t、 t=t- tZTt（1+kθ*Js）λθ*Jsds=T- tnXi=1（1+kθ*Ji）λθ*JiJi（t，t）；（45）Vt，T，m=Ut，T+mσJT- t、 （46）其中σJis是跳跃分布的方差。Rt，T，m=Rt，T-T- tZTtλθ*Jskθ*Jsds+T- tZTlog（1+kθ*Js）T- tds=（47）Rt，T-T- tnXi=1λθ*Jikθ*Ji+mT- tnXi=1log（1+kθ*Ji）T- tJi（t，t），其中m是间隔[t，t]中的跳跃数，n是马尔可夫链ξ的状态数。请注意，在我们的考虑中，上述所有一般公式（42）-（47）都因以下事实而简化：kθ*对于新的风险中性度量，Jt=0，Esscher变换参数由（39）、（40）给出。

根据inMerton（1976，[29]）的定价公式，让我们定义（见[8]）π（S，K，T；R0，T，U0，T，λθ*0，T）=∞Xm=0e-Tλθ*,J0，T（Tλθ*0，T）mm！×（48）BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m），其中BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m）是标准的Black-Scholes价格公式（见[6]），具有初始即期外汇汇率S、履约价格K、无风险利率r、波动率平方σ和时间T。然后，欧式看涨期权定价公式的形式为：∏（S，K，T）=Z[0，T]n∏（S，K，T；R0，T，U0，T，λΘ）*,J0，T）×（49）ψ（J，J，…，Jn）dJ。。。dJn，其中ψ（J，J，…，Jn）是占用时间的联合概率分布密度，由以下特征函数确定（见【14】）：E经验值胡，J（t，t）i= hexp{（π+diag（u））（T- t） }·E[ξ]，1i，（50），其中1∈ Rn是1的向量，u=（u，…，un）是变换变量的向量，J（t，t）：={J（t，t），…，Jn（t，t）}。3对数双指数过程的货币期权定价Zt的对数双指数分布-（eZt-- 1是（2）中的跳跃，在数学金融中起着基础作用，描述了一段时间内的即期外汇汇率变动。它由密度函数的以下公式定义：ν（x）=pθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0。（51）该分布的平均值为：平均值（θ，θ，p）=pθ-1.- pθ。（52）该分布的方差为：var（θ，θ，p）=2pθ+2（1- p） θ-pθ-1.- pθ. （53）Kou在[24]中首次研究了双指数分布。他还提出了在数学金融中使用这种分配的经济理由。双指数分布有两个有趣的特性：轻量级特征（见[22]，§3；[24]）和无记忆特性（如果对于任何非负实数t和s，我们有Pr（X>t+s | X>t）=Pr（X>s），则X的概率分布是无记忆的，见示例[45]）。

最后一个属性继承自指数分布。如果峰值（更高的峰度）高于正态分布，则统计分布具有轻轨特征。这个高峰值和相应的胖尾表明，与正态分布相比，分布更集中在平均值周围，标准偏差更小。有关厚尾分布及其在数学金融中的应用，请参见【44】中的详细信息。轻轨分布意味着微小变化的可能性较小，因为历史值以平均值为中心。然而，这也意味着在厚尾中，大的波动有更大的可能性。图1：双指数分布（绿色）与正态分布（红色），平均值=0，偏差=2。在【27】中，该分布用于模糊环境下的资产定价模型。与L'evy过程描述的其他模型相比，包括对数双指数分布跳跃在内的模型的一些优点包括：1）该模型恰当地描述了股票和外汇市场的一些重要实证结果。双指数跳变扩散模型能够反映收益分布的波动特征。此外，在[36]中进行的实证检验表明，对数双指数跳变扩散模型比对数正态跳变扩散模型更适合股票数据。2） 该模型给出了显式解，便于计算。3） 该模型具有经济性解释。4） 广泛的实证研究表明，市场往往对好消息或坏消息反应过度或反应不足。该模型的跳跃部分可以被视为市场对外部消息的反应。在没有外部消息的情况下，资产价格（或即期外汇汇率）随时间变化为几何布朗运动。

好消息（在我们的例子中，外汇市场的外部冲击）是根据泊松过程得出的，即期外汇汇率根据跳跃大小分布而变化。由于双指数分布既有高峰又有重尾，因此可以应用它来模拟对外界新闻的过度反应（描述重尾）和反应不足（描述高峰）。5） 对数双指数模型是自洽的。在数学金融学中，这意味着模型是无套利的。区域切换Esscher变换参数族由（39）、（40）定义。让我们定义θJ，*t、 （第一个参数θc，*thas与一般情况下的公式相同）by:ZRe（θJs+1）xpθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0dx=（54）ZReθJsxpθe-θxx个≥0+(1 - p） θeθxx<0dxWe需要对（54）中积分的收敛性进行额外限制：-θ<θJt<θ。（55）那么（54）可以用以下形式重写：pθθ- θJt- 1+(1 - p） θθ+θJt+1=pθθ- θJt+（1- p） θθ+θJt（56）求解（56）我们得到了二次方程：（θJt）（pθ- (1 - p） θ）+θJt（pθ+2θθ）- (1 - p） θ）+（57）pθθ+pθθ- θθ+ θθ= 0.如果pθ- (1 - p） θ6=0我们有两个解，其中一个满足限制条件（55）：θJt=-pθ+2θθ- (1 - p） θ2（pθ- (1 - p） θ）±（58）p（pθ+2θθ- (1 - p） θ）- 4（pθ- (1 - p） θ）（pθθ+pθθ- θθ+θθ）2（pθ- (1 - p） θ）则泊松过程强度（见（19））为：λθ，Jt=λtpθθ- θJt+（1- p） θθ+θJt. （59）与一般情况一样，新的平均跳跃大小（见（20））为：kθ，Jt=0（60）。当我们进行一个新的风险中性度量Q时，我们有一个新的跳跃密度νИν（x）=pθe-θxx个≥0+(1 - p）θeθxx<0。（61）可以使用（36）：pθ计算新概率▄p-θJt-1+(1-p） θθ+θJt+1pθθ-θJt+（1-p） θθ+θJt=～pθθ- 1+(1 - pθ）θ+1。（62）从（62）中，我们得到了▄p的显式公式：▄p=pθ-θJt-1+(1-p） θθ+θJt+1pθθ-θJt+（1-p） θθ+θJt-θθ+1θθ-1.-θθ+1.

（63）4对数正态过程的货币期权定价[8]研究了跳跃的对数正态分布和uj均值、σj偏差（见[46]），及其在货币期权定价中的应用。有关这些分配以及适用于外汇市场的其他分配的更多详细信息，请参见[47]。我们在这里给出了一个从[8]得到的结果的草图，以将其与本文讨论的跳跃对数双指数分布的情况进行比较。本文的主要目的是将这一结果推广到任意L'evy过程。[8]领域提供的结果如下：定理2.3。对于0≤ t型≤ T（9）中定义的Esscher变换的密度Lθc，θJt由θc给出，θJt=expZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（64）经验ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλseθJsuJ+1/2（θJsσJ）- 1.ds公司,式中，uJ，σJ分别为跳跃的平均值和偏差。此外，therandom-Esscher变换密度Lθc，θJt，（参见（9），（10）），是指数（Ht）0≤t型≤t满足以下SDEdLθc、θJtLθc、θJt-= θctσtdWt+（eθJt-Zt公司-- 1） dNt公司- λteθJtuJ+1/2（θJtσJ）- 1.dt。（65）定理2.4。让随机Esscher变换由（9）定义。那么鞅条件（对于Sdt，请参见（5））成立，当且仅当马尔可夫调制参数（θct，θJt，0≤ t型≤ T）满足所有0≤ t型≤ 条件：rfi- rdi+ui+θciσi+λθ，Jikθ，对于所有i，Ji=0，1≤ 我≤ Λ. （66）其中泊松过程的随机Esscher变换强度λθ，Ji和平均跳跃大小百分比kθ，jire分别由λθ，Ji=λieθJiuJ+1/2（θJiσJ），（67）kθ，Ji=euJ+1/2σJ+θJiσJ给出- 1对于所有i.（68），满足鞅条件（66）的区域切换参数由以下公式给出：θc，*iis与（39）中的相同，θJ，*i=-uJ+1/2σJσJ，对于所有i.（69），参数θJ的值，*i： kθ*,Ji=0，λθ*,Ji=λi-uJ2σJ+σJ对于所有我。

（70）注意，这些公式（67）-（70）直接遵循我们对于一般L’evy过程的公式，（参见（19）、（20）、（40））。特别是kθ*,Ji=0，将（40）替换为kθ的表达式，Jiin（20）。从（40）我们得出：RRe（θJ，*i+1）xν（dx）RReθJ，*ixν（dx）=1（71）AsZReθJ，*ixν（dx）=p2πσJZReθJ，*ixe公司-（十）-uJ）2σJdx=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ（72）我们从（71）中得到以下等式：e（σJ（θJ，*i+1））+（θJ，*i+1）uJ=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ.（73）Esscher变换参数θJ值的表达式，*iin（69）紧跟在（73）之后。插入θJ的值，*对于λθ的表达式，我们得到了公式（70）。在数值模拟中，我们假设隐马尔可夫链有三种状态：向上、向下、侧向，并使用十三年期间（2000年1月3日至2013年11月）的实际外汇数据计算相应的利率矩阵。为了计算所有概率，我们使用Matlab脚本（见附录）。5数值模拟在图2-4中，我们将提供跳跃幅度由对数双指数分布描述的情况下的数值模拟。这三张图显示了欧洲看涨期权价格与S/K的相关性，其中S是初始即期汇率，K是不同到期时间T年的履约汇率：0.5、1、1.2。我们在Matlab中使用以下函数：Draw（S\\u 0，T，approx\\u num，steps\\u num，teta\\u 1，teta\\u 2，p，mean\\u normal，sigma\\u normal）来绘制这些图。

该函数的参数是：Sis是确定S/K比率第一点的起始即期FXrate，T是到期时间，Abrox num描述了在欧洲看涨期权定价公式中尝试计算积分平均值的次数（见第2节，（49）），steps num表示计算（49）中积分的时间间隔数；teta 1、teta 2、p是对数双指数分布中的θ、θ、p参数（见第3节，（51））。平均正态分布、西格玛正态分布是对数正态分布的平均值和偏差（见第4节）。在这三个图中：θ=10，θ=10，p=0.5；平均正态=0，西格玛正态=0.1。蓝线表示对数双指数，绿线表示对数正态，红线表示无跳跃的绘图。信噪比范围为0.8至1.25，阶跃为0.05；期权价格范围为0到1，步长为0.1。时间间隔数：num=10。从这三个图中，我们得出结论，将跳跃风险纳入即期外汇汇率模型非常重要。由无跳跃的Black-Scholes方程描述，图上的红线明显低于蓝线和绿线，分别代表跳跃的对数双指数分布和对数正态分布。对于两种类型的跳跃：对数正态和对数双指数，所有三个图的平均值均为0，偏差大致相等。

我们在不成立的情况下进行调查（见图5-7）。正如我们所看到的，对数双指数曲线与对数正态曲线相比上升，期权价格没有跳跃。如果我们将θ参数的值固定在对数双指数分布中，且s/K=1，则相应的图如图8所示。图9显示了欧洲看涨期权价格对对数双指数分布中参数θ、θ值的依赖关系图，同样S/K=1。所有绘图的Matlab脚本可根据要求提供图2:S=1，T=0.5，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图3:S=1，T=1.0，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图4:S=1，T=1.2，θ=10，θ=10，p=0.5，平均法线=0，σ法线=0.1图5:S=1，T=0.5，θ=5，θ=10，p=0.5，平均法线=0，sigma normal=0.1图6：S=1，T=1.0，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态=0，sigma normal=0.1图7：S=1，T=1.2，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态=0，sigma normal=0.1图8：S=1，T=0.5，θ=10，p=0.5图9：欧洲看涨期权价格：S=1，T=0.5，p=0.56结论，我们将[8]的结果推广到FXrate的动力学由一般L'evy过程驱动的情况。我们的主要研究结果如下：1）我们推广了[8]中关于Esscher变换参数的公式，从而确保贴现汇率的鞅条件是广义过程的鞅。利用这些参数的值，我们进行了风险神经度量，并提供了关于度量的跳跃分布、平均跳跃大小和泊松过程强度的新公式。

此外，还给出了欧洲看涨期权的定价公式（与[8]中的公式类似，但新的风险中性度量的平均跳跃大小和泊松过程强度不同）；2） 将所得公式应用于对数双指数过程的情形；3） 我们还对不同参数的欧洲看涨期权价格进行了数值模拟。还提供了用于期权价格数值模拟的Matlab函数代码。参考文献[1]亚当斯·P.和怀亚特·S.（1987）：期权价格的偏差：来自外汇期权市场的证据。J、 银行和金融，12月11日，549-562。[2] Ahn C.、Cho D.和Park K.（2007）：跳跃扩散过程下的外汇期权定价。J、 期货市场，27，7669-695。[3] Amin K.和Jarrow R.（1991）：在随机利率下的外汇期权定价。J、 实习生。《货币与金融》，10310-329。[4] 贝茨，D.S.，1996年。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。财务研究回顾9，69-107。[5] Benth F.、Benth J.和Koekebakker S.（2008）：电力和相关市场的随机建模。世界科学[6]Bjork T.（1998）：连续时间套利理论。第二版牛津大学出版社。[7] Black、F.和M.Schotes。（1973）：期权定价和公司负债，政治经济学杂志81637-659。克拉克，P。。1973年，A从属随机[8]Bo L.，Wang Y.和Yang X.（2010）：货币期权定价的马尔可夫调制跳变差。保险：数学与经济学，46461-469。[9] Brace A.、Gatarek D.和Musiela M.（1998）：Heath、Jarrow和Morton的多因素Gauss-Markov实现。《数学金融》，7127-154。[10] Garman M.和Kohlhagern S.（1983）：外币期权价值。J

实习生货币和金融。2, 231-237.[11] Goutte S.和Zou B.（2011）：马尔可夫制度转换模型下的汇率。CREA讨论论文系列。卢森堡大学。[12] Elliott，R.J.（1982）：随机微积分和应用。斯普林格。[13] Elliott，R.J.，Chan，L.，Siu，T.K.（2005）：制度转换下的期权定价和Esscher变换。《金融年鉴》1423-432。[14] Elliott，R.J.，Osakwe，Carlton James U.（2006）：带有马尔可夫切换补偿器的纯跳跃过程的期权定价。《金融与随机》，第10卷，第2期，第250-275页。[15] Elliott，R.J.、Siu，T.K.、Chan，L.、Lau，J.W.（2007）：广义马尔可夫调制跳跃扩散模型下的期权定价。随机分析与应用25821-843。[16] 汉密尔顿J.（1988）：制度变迁的理性预期计量经济学分析：利率期限结构调查。J、 经济。Dyna。控制，12（2-3），385-423。[17] Heath D.、Jarrow R.和Morton A.（1987）：债券定价和利率期限结构：未定权益估值的新方法。康奈尔大学，10月。[18] Heston，S.L.（1993）：随机波动性期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。财务研究回顾6327–343。[19] 赫尔，约翰·C。期权、期货和其他衍生品。皮尔逊国际版，2006年。[20] Jamshidian F.伦敦银行同业拆借利率和掉期市场模型和措施。《金融与随机》，1293-330。[21]Jarrow R.和Old Field G.（1981）：远期合同和期货合同。J、 金融经济学，9373-382。【22】约翰逊，N.，S.科茨，N.巴拉克里希南。（1995）：连续单变量分布，第2卷，第2版。Wiley，纽约。[23]Grabbe O.（1983）：外汇看涨期权和看跌期权的定价。J、 实习生。《货币与金融》，12月2日，239-253年。[24]Kou S.G。