计算风险最大值的改进算法：数值

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英文标题：
《Improved Algorithms for Computing Worst Value-at-Risk: Numerical
  Challenges and the Adaptive Rearrangement Algorithm》
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作者：
Marius Hofert, Amir Memartoluie, David Saunders, Tony Wirjanto
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Numerical challenges inherent in algorithms for computing worst Value-at-Risk in homogeneous portfolios are identified and solutions as well as words of warning concerning their implementation are provided. Furthermore, both conceptual and computational improvements to the Rearrangement Algorithm for approximating worst Value-at-Risk for portfolios with arbitrary marginal loss distributions are given. In particular, a novel Adaptive Rearrangement Algorithm is introduced and investigated. These algorithms are implemented using the R package qrmtools.
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中文摘要：
确定了计算同质投资组合中最差风险价值的算法所固有的数值挑战，并提供了有关其实现的解决方案和警告。此外，对于具有任意边际损失分布的投资组合，给出了近似最坏风险值的重排算法的概念和计算改进。特别地，介绍并研究了一种新的自适应重排算法。这些算法是使用R包qrmtools实现的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Improved_Algorithms_for_Computing_Worst_Value-at-Risk:_Numerical_Challenges_and_.pdf (973.22 KB)

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关键词：最大值 Quantitative distribution Improvements Applications

计算最差风险值的改进算法：数值挑战和自适应重排算法Marius Hoffert、Amir Memartolie、David Saunders、Tony Wirjanto2018-06-13 AbstractPortfolions已确定，并提供了解决方案以及有关其实现的警告。此外，对具有任意边际损失分布的投资组合的最差风险值近似算法进行了概念和计算上的改进。特别地，本文介绍并研究了一种新的自适应重排算法。这些算法是使用R包qrmtools实现的。关键词风险聚合、模型不确定性、风险值、重排算法。MSC201065C60，62P051简介定量风险管理的一个组成部分是分析一个时期前的损失向量Lssel=（L，…，Ld），其中Ljr表示与交易对手j，j的给定业务线或风险类型相关的损失（一个随机变量）∈ {，…，d}，在固定的时间范围内。对于金融机构，特别关注的累计损失SL+=dXj=1LJI。根据巴塞尔协议第一支柱，金融机构需要留出资本来管理市场、信贷和运营风险。为此，使用风险度量ρ（·）将总头寸L+映射为ρ（L+）∈R用于获得在预定时间段内计算未来损失所需的资本金额。自20世纪90年代中期以来，风险价值（VaRα）作为一种风险度量，已被金融业广泛采用。定义为L+分布函数FL+的α-分位数，即VaRα（L+）=F-L+（α）=inf{x∈R： FL+（x）≥ α} ，其中f-L+表示L+的分位数函数；更多详情请参见Embrechts和Hofert【12】。

VaRα（L+）作为风险度量的一个众所周知的缺点是，VaRα（L+）不一定是次可加性的，而是遵循椭圆分布；例如，见Embrechts等人【10】、McNeil等人【19，第241页】、Embrechts等人【11】和Hoffert和McNeil【16】。估计边际损失分布有多种方法f，FdofL，Ld，但捕获其D变量依赖结构（即潜在的copulaC）往往更困难。这是因为通常对这一事实了解不多，估计往往不可行（例如，对于发生在不同地区的罕见事件损失，CARXIV:1505.02281v2【q-fin.RM】2015年12月25日，霍弗特，A.梅马托利，D.桑德斯，T.维詹托地区）。在这项工作中，我们关注CIS未知的情况；Bernard等人[3]和Bernard等人[2]研究了关于TC的部分信息的情况。在我们的例子中，我们只知道Varα（L+）∈【VaRα（L+，VaRα（L+）】其中VaRα（L+）和VaRα（L+）表示最佳，VaRαL+LF，FDT认为该区间可能很宽，但金融公司有兴趣计算该区间（通常为高维SD），以确定其在此范围内的风险资本。正如我们在这项工作中所显示的，即使对于小d（和其他中等参数选择），这也可能是一个挑战。特别地，我们研究了齐次情形（即F=···=Fd）中被认为是“显式”的解；参见Embrechts等人[9]（注意，Varα（L+）和Varα（L+）的公式都有印刷错误；我们在下面更正它们）。一般来说，在不均匀的情况下（即并非所有Fj都必须相等），我们考虑Embrechts等人[11]的重排算法来计算Varα（L+）和Varα（L+）。所提出的带有QRMTool的算法还包括附带的vignetteVaR\\u边界，它提供了进一步的结果、数值研究、诊断检查和应用。

本文中的所有结果都可以用package和vignette复制（显然，如果感兴趣，可以选择其他参数）。有关计算Varα（L+）和Varα（L+）的不同方法，请参见Bernard和McLeish【1】。在下面的内容中，我们重点关注最差的VaRα（L+），即VaRα（L+）。实践者在实施同质情况下VaRα（L+）的理论解时可能面临F=···=Fd。第3节介绍了用于计算VaRα（L+）和VaRα（L+）的重排算法（RA）的主要概念，对其调整参数提出了批评，并使用各种测试案例研究了其经验性能。第4节接着介绍了RA的概念和数值改进版本，我们称之为自适应重排算法VaRαL+VaRαL+正文归入附录。2齐次情形下的已知最优解及其可伸缩性为了评估RA等一般算法的质量，我们需要知道（至少一些），Embrechts等人[9，命题1]给出了在齐次情形下获得Varα（L+）的公式。在本节中，我们将讨论相应的数值方面和算法改进。我们假设≥3贯穿始终；ford=2，Embrechts等人【11，命题2】提供了计算VaRα（L+）的明确解决方案（在弱假设下）。2.1任何VaRα（L+）VaRαL+区间的粗略界限（见第2.2节）并进行健全性检查。注意，我们没有做任何（矩或相等）。此外，边界不依赖于潜在的未知copula。引理2.1（VaRα（L+）的粗略边界）让Lj~ Fj，j∈ {1，…，d}。

对于任何α∈ （0，1），d minjF-j（α/天）≤ VaRα（L+）≤ d maxjF-j1.-1.- αd, （1） 其中F-jdenotes Fj的分位数函数。用于计算最差变量的改进算法可以使用R packageqrmtools中的函数rough\\u VaR\\u bounds（）计算边界（1）。2.2计算VaRα（L+）VaRαL+FVaRαL+本小节的一部分，我们假设F（0）=0，对于allx，F（x）<1∈[0, ∞) 这是绝对连续的，最终密度会下降。LetD（s，t）=ds- DTZ-（d）-1） tt'F（x）dx和D（s）=薄荷糖∈[0，s/d]d（s，t），（2），其中“F”关闭生存函数，即“F（x）=1- F（x）。与Embrechts等人相比，Dtmin{·}Flimt↑根据Embrechts等人【11，命题4】，s/dDs、td'Fs/dcomputingVaRα（L+）现在可以给出如下。算法2.2（根据双重界限法计算VaRα（L+）1）指定初始间隔【sl，su】和【tl，tu】。2） 内部根查找内部：对于每个考虑的∈[sl，su]，通过迭代overt计算∈直到t*找到h（s，t*) = 0，其中h（s，t）：=D（s，t）- （(R)F（t）+（d- 1） \'F（s）- （d）- 1） t））。然后D（s）=F（t*) + （d）- 1） \'F（s）- （d）- 1） t型*).3） 外部根查找ins：重复步骤2）∈直到ans*找到了*) = 1.-α.然后返回s*= VaRα（L+）。算法2.2在Rpackageqrmtools中的functionworst\\u VaR\\u hom（…，method=“dual”）中实现；dual boundDis可通过dual\\u bound（）使用。它需要在根发现算法（R中的uniroot（））的两个嵌套调用中进行一维数值积分（除非可以显式积分）。请注意，算法2.2要求指定两个初始间隔【sl、su】和【tl、tu】，Embrechts等人【11】没有给出如何选择它们的实际建议。tl，tuFtlFtus/dDs（2）必须取灰（s，s/d）=0，因此，当在U=s/d处发现根时，内部根查找程序将直接停止。

为了解决这一问题，最差VaR\\u hom（…，method=“dual”）中的内部寻根算法。上部，即h（s，tu），对于被考虑者，至-h（s，0），以便可以检测到U=s/d以下的根；请注意，这是对函数值的调整（不美观；缺乏更好的方法），而不是在根查找间隔【tl，tu】中。现在考虑一下【sl，su】，尤其是sl。根据Embrechts等人【11，命题4】的说法，sl必须选择“足够大”。如果选择得太小，则算法2.2步骤2）中的内部寻根程序将无法定位根；另请参见图1的左侧。例如，可以选择L+1的最大值和（1）中给出的VaRα（L+）的上限。(R)FDs，·用于执行。这显示了在（2）中计算d时最小值的唯一性。A标准M。Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto关于目标值函数凸性的结果则暗示D（s）本身也是凸的；参见Rockafellar和Wets【21，提案2.22】以及下面图1的右侧。命题2.3（D（s，t）和D（s））的性质1）D（s）正在减少。2） 如果F是凸的，那么D（s，t）也是凸的。示例2.4（双重界限法的辅助函数）作为示例，考虑d=8Par（θ）风险，分布函数fj（x）=1-（1+x）-θj，x≥0，θj>0。图1 illustratest 7的左侧→ h（s，t）对于θ=2和变量。请注意，HS、s/dshs、tt∈, s/dabove。图1的右侧显示了各种参数θ的递减双边界。1e级-03 1e-01 1e+01-1-0.5 0.0 0.5 1.0（s，t）对于d=8，F为Par（2）s=1s=5s=10s=100s=500s=10000 500 1000 1500 20000.0 0 0.5 1.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0S对于d=8 Par（θ）边距θ=0.5θ=1θ=2θ=4（s，t）对于各种s，d=8和FBEINGPAR（2）（左侧）。

对于各种参数θ（右侧），d=8和F的双重边界为Par（θ）。2.3 Wang计算VaRα（L+）理论的方法Embrechts等人【9，命题1】中提到的方法在这里称为Wang方法。它起源于Wang等人[26，推论3.7]，因此，严格地说，它先于对偶方法，比对偶界方法更稳定，但仍然不容易应用。为了符号的简单性，让我们引入AC=α+（d- 1） c，bc=1- c、 （3）对于c∈ [0, (1 - α） /d]（以便ac∈ [α, 1 - (1 - α） /d]和bc∈ [1 - (1 - α） /d，1]）和“I（c）：=bc- ACZBCAF公司-（y） dy，c∈ (0, (1 - α） /d]，假设fadmit的密度为正，且在[β]上递减，∞) 对于某些β≤ F-(α). 那么，对于L~ F，VaRα（L+）=dE[L | L∈ [F-（ac），F-（bc）]]，α∈ [F（β），1），（4）计算最差VAR的改进算法，其中c（通常取决于d，α）是（0，（1）中的最小数- α） /d]以便“I（c）”≥d- 1dF-（ac）+dF-（bc）。（5） 与Embrechts等人[9]中给出的相反，请注意（0，（1- α） /d]必须排除0正弦θ∈,cVaRαL+∞F是Par（θ）分布的分布函数，I由I（c）=（bc）给出-acθ1-θ((1 - bc）1-1/θ- (1 - ac）1-1/θ) - 1，如果θ6=1，bc-aclog1.-ac1-卑诗省- 1，如果θ=1。（6） 条件分布函数fl | L∈[F-（ac），F-（bc）]ofL | L∈[F-（ac），F-（bc）]为byFL | L∈[F-（ac），F-（bc）]（x）=F（x）-acbc公司-ac，x∈[F-（ac），F-（bc）]。利用这个事实和替换，我们得到α∈ [F（β），1），（4）becomesVaRα（L+）=dZF-（bc）F-（ac）x dFL | L∈[F-（ac），F-（bc）]（x）=dRF-（bc）F-（ac）x dF（x）bc- ac=d'I（c）。（7） 方程（7）的优点是，在（至少理论上）紧凑区间上，积分在I（c）中。此外，找到（5）所持有的最小数量也涉及“I（c）”。因此，一个过程只需要知道分位数函数f-计算Varα（L+）。

这将导致以下算法。算法2.5（根据Wang的方法计算VaRα（L+）1）指定初始区间[cl，cu]为0≤ cl<cu<（1- α） /d.2）在c中查找根：在c上迭代∈ [氯，铜]直到c*找到h（c）的*) = 0，其中h（c）：=(R)I（c）-d- 1dF-（ac）+dF-（bc）, c∈ (0, (1 - α） /天]。（8） 然后返回（d- 1） F级-（ac*) + F-（不列颠哥伦比亚省*).该程序在Rpackageqrmtoolswith中的FunctionBast\\u VaR\\u hom（…，method=“Wang”）中实现，通过R\'sintegrate（）进行数值积分以计算\'I（c）；函数west\\u VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）使用（6）。以下命题表明，在更严格的假设下，算法2.5步骤2）中的寻根问题是θ>分布，见bernardjiangwang2014Proposition 2.6LetF（x）=1-（1+x）-θ、 θ>0，是帕（θ）分布的分布函数。算法2.5的第二步在（0，（1）上有唯一的根- α） /d），对于所有α∈ （0，1）和d>2。PracticeLet us现在关注的是AR（θ）裕度的情况（请参见最差的VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）），特别是如何在算法2.5中选择初始区间[cl，cu]。我们首先考虑CL。“Isatis fies”I（0）=1-αRαF-（y） dy=ESα（L），即，’i（0）是L的预期短缺~ 脂肪密度水平α。如果有一个有限的第一时刻，那么“I（0）”是有限的。因此，h（0）是有限的（ifF-(1)< ∞)或-∞（ifF-(1) =∞). 无论哪种方式，都可以取CL=0。然而，ifL~ Fhas a in fifine firstmoment（参见，例如，Hoffert and Wüthrich[17]或Chavez Demoulin et al[4]），了解以下情况：∞F-∞hFM。Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.WirjantoPar（θ）和θ∈（0,1）。在这种情况下，我们必须选择∈(0,(1- α） /天）；关于如何在理论上做到这一点，请参见以下命题。关于cu，请注意l\'Hospital的规则意味着I（cu）=F-(1-(1- α） /d）因此- α） /d）=0。

因此，对于计算对偶界，我们有一个类似的问题（在初始区间的上限）。然而，在这里我们可以构造一个合适的cu- α） /天；请参见以下命题。命题2.7（计算cl，CU对于Par（θ）风险）FParθ>CLCU可以选择ascl=(1-θ)(1-α） d，如果θ∈ (0, 1),1-α（d+1）ee-1+d-1，如果θ=1,1-α（d/（θ）-1） +1）θ+d-1，如果θ∈ (1, ∞),铜=(1-α） （d）-1+θ）（d-1） （2θ+d），如果θ6=1,1-α3d/2-1，如果θ=1。在下面的例子中，我们简要地考虑了一些实验，这些实验导致了我们在实现最差VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）时必须克服的几个数字难题；有关如何再现它们，请参见详细的渐晕VaR\\U界限（如第1.4节）。示例2.8（h、VaRα（L+）和VaRα（L+）表示Wang的Par（θ）风险方法）作为示例，考虑Par（θ）风险，置信水平α=0.99。图2说明了作为c函数的目标函数H（c）∈(0,(1- α） /d]（见（8））表示各种θ和d=8（左侧）和d=100（右侧）。省略了非正值SH（c），因此y轴H的间距在0和（1）之间- α） /d），尤其是对于小θ（和大θ）。对于更大数量的CH0。

总的来说，目标函数可以在（0，（1）上无数值问题地进行评估- α） /d]对于我们选择的θ和d。图3显示了Varα（L+）和Varα（L+）作为1中的函数- α表示各种θ，d=8（左侧）和d=100（右侧）。0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012ch（c），对于α=0.99，d=8 Par（θ）边缘10-610-210210610101014101810221026θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=500e+00 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 1e-04ch（c），对于α=0.99，d=100 Par（θ）margins10-51001051010101510201025103010351040θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50α=0.99、FbeingPar（θ）、d=8（左侧）和d=100（右侧）的目标函数H（c）。为了获得数值上可靠的结果（在这些广泛的参数范围内；实际上我们也测试了更高的维度），在计算FORC的根时必须小心∈(0,(1- α） /天）。首先，选择较小的寻根公差至关重要。下图4（参见计算最差VaR0.001 0.005 0.050 0.5001的改进算法- d=8和Par（θ）margins10的αVaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实心）-610-1104109101410191024102910341039θ = 0.1θ = 0.5θ = 1θ = 5θ = 10θ = 500.001 0.005 0.050 0.5001 - d=100和Par（θ）margins10的αVaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实心）-710-11051011101710231029103510411047θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50（L+）和Varα（L+）作为1的函数- α对于fbeingpar（θ），d=8（左侧）和d=100（右侧）。示例2.9）显示了如果不考虑这一点，会发生什么情况（我们的过程选择MATLAB\'sdefault 2）·-16而不是更大的uniroot（）默认值。机器$双倍。eps^0.25）。第二，事实证明，需要进一步调整第2.7节中描述的理论有效初始间隔，以确保间隔点处的数字为相反符号。