计算风险最大值的改进算法：数值

特别是，在θ6=1的情况下，最差的VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）选择Cl/2作为下端点（clas在命题2.7中）。这些问题在vignetteVaR\\u界限的第1.4节中有详细描述，其中我们还说明了将辅助函数转换为（1，∞) 如初始间隔中所述，并且面临取消问题（尽管可以解决）；另请参见图6的左侧，在对这些数字问题进行筛选后，我们将此方法与Worst\\u VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）进行比较。简言之，在计算VaRα（L+）或VaRα（L+）的所谓“显式解决方案”时，在具有PAR（θ）（很可能也是其他）裕度的同质情况下，应该非常小心。示例2.9（Par（θ）风险方法的比较）让我们再次考虑Par（θ）风险和置信水平α=0.99。图4比较了Wang\'sapproach（使用数值积分；Seebast\\u VaR\\u hom（…，method=“Wang”））、Wang\'s方法（与积分I（c）butuniroot（）的默认公差的分析公式）；参见vignetteVaR\\u界限），Wang的方法（将积分I（c）和辅助函数的分析公式转换为（1，∞); 参见vignetteVaR\\u界限），Wang的方法（使用积分I（c）的分析公式，smalleruniroot（）公差和调整后的初始间隔；最差\\u VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）RA（绝对公差为0）；参见第3节andRA（）。所有结果均除以从双重界限法获得的值，以便于比较。这两个图（ford=8和D=100）表明，通过不同的方法可以获得可比较的结果，并且说明了为什么在Wang的方法中使用较小的uniroot（）公差很重要。让我们再次强调初始间隔【cl，cu】的重要性。

人们可能会倾向于简单地选择（1- α） /d通过设置M等方式，强制辅助功能与CU相反。Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto1 2 3 4 50.95 1.00 1.05 1.10θ标准化（通过双重方法）VaR0.99，用于d=8 Par（θ）marginsWang（num.int.）Wang Pareto（直截了当）Wang Pareto（转换）Wang Pareto（wo num.int.）下RA边界上RA边界1 3 4 51 2 3 4 5 6 7θ标准化（通过双重方法）VaR0.99，用于d=100 Par（θ）marginsWang（num.int.）Wang Pareto（直截了当）Wang Pareto（转换）Wang Pareto（转换）Wang Pareto（wo num.int.）Wang方法的下RA边界上RA边界比较（使用数值积分；参见最差的VaR\\u hom（…，method=“Wang”））、Wang方法（使用积分I（c）butuniroot（）的默认公差的分析公式）；参见vignetteVaR\\u界限），Wang的方法（将积分I（c）和辅助函数的分析公式转换为（1，∞);参见vignetteVaR\\u界限），Wang的方法（带有积分I（c）的分析公式，smalleruniroot（）公差和调整后的初始间隔；参见最差的VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”））和从RA获得的上下限；所有结果除以从双重界限方法获得的值，以便于比较。左侧显示案例d=8，右侧显示案例d=100。用于计算最坏VaRh（cu）to的改进算法。机器$双倍。xmin，一个正的但很小的数字。图5显示了与图3（仅限butVaRα（L+）和图4（根据从RA获得的上界进行标准化）左侧类似的图。

特别是，VaRα（L+）在α中不再是单调的（参见图5的左侧），并且计算的VaRα（L+）值不再正确（参见图5的右侧）。0.001 0.005 0.050 0.5001e+01 1e+04 1e+07 1e+101- d=8的αVaRα（L+），F为Par（θ）θ=0.5θ=1θ=2θ=40 1 2 3 4 51.0 1.5 2.0 2.5θVaR0.99（L+），d=8和F为Par（θ）Wang（num.int.）Wang Pareto（wo num.int.）Wang Pareto（uniroot（）tol）的比较（标准化）Wang Pareto（变换后的）双边界下RA边界图，对应于图3（仅VaRα（L+）和图4（根据从RA获得的上界进行标准化）的左侧，但对于H（（1- α） /d）调整至。机器$双倍。xmin。在仔细考虑了所有的数值问题之后，我们现在可以从不同的角度来看待VaRα（L+）和VaRα（L+）了。图6的右侧显示了维D中的函数Varα（L+）和Varα（L+）。对数-对数标度中Varα（L+）的线性表明Varα（L+）实际上是一个幂函数。据我们所知，这一点尚不清楚（理论上也不成立）。3重排算法我们现在考虑RA来计算非均匀情况下的Varα（L+）和Varα（L+）；与之前一样，这里我们主要关注VaRα（L+）。3.1关于算法VarαL+，见马卡洛夫【18】，他提供了两个随机变量之和的分布函数的界，并给出了Varα（L+）的界。后来，Firpo和Ridder[14]利用copula理论证明了这些结果，并将依赖结构引入上述框架中（尽管他们没有证明边界的尖锐性）。Williamson和Downs【27】开发了计算随机变量函数分布的卷积和依赖边界的新方法；它们使用所需分布的上下近似值，包含表示错误，并提供错误的界限。M

Hofert，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto 0 200 400 600 800 1000dVaR0.99（L+）直接（固态）或Par（θ）margins10的转换h（虚线）-210410101016102210281034104010461052θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=502 5 10 20 50 100 200 500 1000dVaR0.99（虚线）和VaR0.99（实线），用于Par（θ）边缘10-3103109101510211027103103103910451051θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50A比较VaRα（L+），使用最差VaR\\u hom（…，method=“Wang.Par”）（实线）计算，并使用基于转换辅助函数的方法解决（1，∞) （虚线）如命题2.7证明（左侧）所述。VaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实线）作为对数刻度的函数（右侧）。Denuit等人[6]扩展了上述二维框架，并展示了如何计算L+=L+·······+LDF的分布函数的边界≥3例。在一项类似的工作中，Cossette等人提出了（L，L）的结构。他们进一步将其结果推广到一般的多元情形，并提出了连续单调函数和成分单调函数的组合，Ld，假设theLjFjj∈ {，…，d}Embrechts等人[13]关于聚集函数的连续性假设使用copula理论对这些结果进行了概括。在后一篇文章中，证明了在没有依赖结构的任何先验信息的情况下，只能找到风险总和分布函数的界，并且当≥ 2、Embrechts和Pucceti[8]基于Rüschendorf[23]对连续分布函数F的对偶结果，在F=····=Fd=F的齐次情况下，提供了更好的FL+边界，见第2.2节。等利润率的假设是相当严格的，尤其是对于larged。

为了解决这个问题，Embrechts和Puccetti[7]将双界方法扩展到一般投资组合，并描述了一个数值程序，用于计算非齐次投资组合算法的FL+下界，对于该算法，无法保证在合理且可预测的时间内收敛到全局最优值；更重要的是，其中许多人的表现质量在下降，也在上升。由于这些原因，该方法的应用≥50在某些情况下是不可分割的。上述问题可以在完全可混合矩阵（即矩阵行和）的背景下研究。Wang和Wang【25】介绍并讨论了完全混合性的概念。如果矩阵不是完全可混合的，则确定最小最大值和最大最小值改进算法，以计算最坏的VaRVaRαL+VaRαL+）。这些minimax和maximin问题分别与边缘分位数函数的离散近似有关。Haus[15]指出，计算Varα（L+）和Varα（L+）的这种方法与多维瓶颈分配问题有关，完全混合性通常是P-完全的。因此，无法保证在多项式时间内收敛到最优解。如果我们使用npoints离散每个风险因子的尾部，则分析上述问题的基础空间将变为anN×dmatrix，并且在应用程序中，除了一列之外，排列所有列所产生的可能矩阵总数的计数将变得难以处理，因为有（N！）d-1可能的矩阵。可以很容易地观察到，对于只有10个头寸且n=20的投资组合，此类矩阵的总数为（20！）∈ O（10）。

注意，Hn=20和D=10的选择非常保守，仅用于说明目的；N、 40台仪器；大型金融机构可以拥有数千种工具的投资组合。给定任意的边际分布以及较高的运行时间是使用双界方法获得VaRα（L+）的上下限的主要缺点。作为走廊。RA和Puccetind Rüschendorf[20]中引入的计算VaRα（L+）和VaRα（L+）的数值近似的最初想法源于Rüschendorf[22]，与之前的方法相比，其简单的实现使得RA成为获得VaRα（L+）和VaRα（L+）的有吸引力的替代方法，当（仅）边际损失分布f，Fdperformance使用各种测试用例。3.2重排算法的工作原理RA可用于近似任何边缘集的风险值α（L+）的最佳值或风险值α（L+）的最差值fj，j∈ {，…，d}。接下来，我们主要关注VaRα（L+）；R包QRMToolso中的实现RA（）地址为varα（L+）。要了解算法，请注意两列A、b∈如果foralli，j∈ {，…，N}我们有（ai- aj）（bi- 北京）≤给定边际分位数函数的若干离散点f-, . . . , F-daboveα（见下面算法3.1的步骤2.1）和3.1），RA构造两个（N，d）-矩阵，用xα和xα表示；第一个矩阵旨在从下面构建VaRα（L+）的近似值，第二个矩阵用于构建VaRαL+列。重复此操作，直到最小行和（X）=min1≤我≤NX1≤j≤dxij（forX=（xij）是所述（N，d）-矩阵之一）变化小于给定（收敛）公差ε≥因此，RA forVaRα（L+）旨在解决maximin问题。

这背后的直觉是最小化L+| L+>F的条件分布的方差-L+（α）使1- 尾部α质量OFL+。这进一步推高了ESVarα（L+）。AsEmbrechts等人[11]指出，一个矩阵通常以两个矩阵结束，其最小行总和彼此接近，大致等于Varα（L+）。请注意，如果对所有列进行一次迭代。Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjantois与所有其他行和的顺序相反，因此最小行和也没有变化（但反过来未必成立，见下文）。下面给出的RA版本包含的信息略多于Embrechts等人[11]的信息；e、 如何处理有限分位数。要了解实际实现的更多功能，请按NULLordered将ra（）重排（）max.raε（Absol=）与所有其他函数之和相加。后者通常（到目前为止）不由ε=0表示，但不会带来更好的精度（例如，请参见vignetteVaR\\u界限中讨论的应用），而且通常非常耗时（因此引入了max.ra）。算法3.1（计算VaRα（L+）的RA）1确定了置信水平α∈（0,1），边际分位数函数f-, . . . , F-d、 整数∈Nand所需（绝对）收敛公差ε≥ 0.2）计算下限：2.1）确定Xαij=F的矩阵Xα=（Xαij）-jα +(1-α） （一）-1） N个, 我∈ {1，…，N}，j∈ {1，…，d}。2.2）随机排列Xα每列中的元素。2.3）对于1≤ j≤ d、 排列矩阵xxα的第j列，使其与所有其他列的总和顺序相反。调用得到的矩阵Yα。2.4）重复步骤2.3），直到s（Yα）- s（Xα）≤ ε、 然后设置sN=s（Yα）。3） 计算上限：3.1）确定矩阵xα=（xαij）for xαij=F-jα+(1-α） 在中,我∈ {，…，N}，j∈ {，…，d}。如果（对于i=N和）对于任何j∈ {1, . . .

，d}，F-j（1）=∞, 将其调整为F-jα +(1-α） （N）-1/2）N.3.2）随机排列Xα每列中的元素。3.3）对于1≤ j≤ d、 迭代地重新排列矩阵xxα的第j列，使其与所有其他列的总和成正序。调用得到的矩阵Yα。3.4）重复步骤3.3），直到s（Yα）- s（Xα）≤ ε、 然后设置sN=s（Yα）。4） 返回（序号，序号）。如前所述，RA的主要功能是迭代所有列，并根据所有其他列的总和对每个列进行相反的排序（请参见步骤2.3）和3.3））。此过程旨在减少每次重新排列时行和的方差。注意，它不一定能达到maximin问题的最优解（例如，参见Haus【15，引理6】中的一个计数器示例），因此收敛| sN- 序号|→不保证为0。为了减少这种情况在实践中发生的可能性，步骤2.2）和3.2）中初始输入的随机化VaR\\u限制了可能重新排列的输出矩阵以及基本排序算法对结果的影响。3.3概念和数字上的改进这里有一些警告语。除了置信水平α和边际量化函数f-, . . . , F-d、 RA依赖于两个输入源，namelyN∈Nandε≥0，对此，Brechts等人[11]未提供合理违约的指导。很明显，算法中使用了绝对公差ε。有两个问题。第一个问题是计算最差VAR的改进算法，在这种情况下，使用相对公差而不是绝对公差更为自然。如果（大致）不知道步骤2.4）和3.4中的最小行和，预先规定的绝对公差不能保证xαtoYα的最小行和的变化顺序正确（并且这种顺序至少取决于ondand所选的分位数函数）。

如果ε选择得太大，则snsn不需要很长的运行时间；后者似乎是Embrechts等人[11，表3]的情况，其中选择的ε=0.1约为计算VaR0.99（L+）的0.000004%。εgence“ofsNand ofsN。它不能保证SNandSNare足够接近Varα（L+）的合理近似值。我们知道算法背后的理论障碍，这些障碍目前仍然是悬而未决的问题（例如，Nandsntovarα（L+）或thatVaRα（L+）的收敛概率）≤ sn表示足够大），但从计算角度来看，仍应检查sn和sn是否彼此接近。此外，该算法应返回收敛和其他有用信息，例如，相对重排范围|（sN- sN）/sN |，计算snandsn时达到的实际单个绝对公差，使用的列重排数，指示是否达到单个绝对公差的逻辑变量，nandsn的列重排数，XαXαYαYαRA（）qrmtools信息。RA的另一个次优设计是，在检查最后一列的列重排的TerminationReagrance（）跟踪之前，遍历所有的列，因此可以在之后终止（尽管有“跟踪”开销）。我们建议感兴趣的读者查看source codeofrearrance（），以获得进一步的数值和运行时改进（快速访问列vialist；避免计算除当前列以外的所有列的行和；扩展跟踪功能），其中一些在vignette VaR\\u界限中提到。3.4不同情景下的实证表现为了实证研究RA的表现，我们考虑了两项研究，每项研究涉及四个案例；因此，我们考虑八种情况。作为研究，我们考虑以下内容：研究1：N∈ {2, 2, . . .

，2}，d=20；研究2：N=2=256和d∈ {2, 2, . . . , 2}.这些选择使我们能够研究上尾离散化参数（研究1）的影响以及风险因素D的数量（研究2中）对RA性能的影响。作为案例，我们基于帕累托分布函数Fj（x）=1考虑以下不同的边际尾部行为- （1+x）-θj：情况HH：θ，θd形成0.6到0.4的等距序列；这种情况代表了一个所有边际损失分布都是重尾分布的投资组合（重尾性略有增加）。案例LH：θ，θd形成1.5到0.5的等距序列；这种情况代表了一种具有不同边缘尾部行为的PortfolioW，从相对的轻尾分布到非常重尾分布。情况LL：θ，θd形成1.6到1.4的等距序列；这个案例代表了一个所有边际损失分布都是相对轻尾的投资组合。M、 Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.WirjantoCase LH：θ，θd-1在LL和θd=0.5的情况下选择；这种情况表示除最后一种情况外，所有边际损失分布都呈轻尾分布的投资组合。为了保持研究的可控性，我们在所有情况下都将重点放在置信水平α=0.99和绝对收敛容差ε=0上。此外，我们考虑B=100次重复模拟运行，以提供估算量的经验95%置信区间；请注意，其中一些非常紧密，在下图中几乎看不到。仅由于算法3.1的步骤2.2）和3.2）中列的不同排列，复制才会有所不同，其他一切都是确定性的；这使我们能够研究这些（初始）随机化步骤对RA（收敛）结果的影响。